Prépa TAFEM — ENCG · ENCG (TAFEM)

Dénombrement et probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter les éléments d'un ensemble fini.

Principe multiplicatif : Si une tâche se décompose en $n$ étapes, avec $p_i$ choix pour l'étape $i$ , le nombre total est $p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n$ .
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $k$ éléments parmi $n$ : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$ .
Permutations : Cas particulier où $k=n$ : $P_n = n!$ .
Combinaisons : Nombre de sous-ensembles de $k$ éléments parmi $n$ (sans ordre) : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
Probabilités : Pour un univers $\Omega$ $Ω$ d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ $P (A) = \frac{card ( A )}{card ( Ω )}$ .
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code), utiliser les arrangements. Si l'ordre ne compte pas (ex: comité, tirage simultané), utiliser les combinaisons.
Tirage avec ou sans remise : Avec remise = puissance ( $n^k$ ), sans remise = arrangements ou combinaisons.
Utiliser l'événement contraire : Dès que l'énoncé contient "au moins un", calculez $1 - P(\text{aucun})$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 jetons parmi 10 sans remise. $\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Former un mot de 3 lettres parmi 5. $\text{card}(\Omega) = A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$ . Rappel : $C_n^k$ est toujours plus petit.
Oublier que $0! = 1$ .
Ne pas vérifier si l'univers est bien en situation d'équiprobabilité avant d'utiliser la formule classique.

L'essentiel du cours

Le dénombrement permet de compter les éléments d'un ensemble fini.

Principe multiplicatif : Si une tâche se décompose en $n$ étapes, avec $p_i$ choix pour l'étape $i$, le nombre total est $p_1 \times p_2 \times \dots \times p_n$.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $k$ éléments parmi $n$ : $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Permutations : Cas particulier où $k=n$ : $P_n = n!$.
Combinaisons : Nombre de sous-ensembles de $k$ éléments parmi $n$ (sans ordre) : $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Probabilités : Pour un univers $\Omega$ d'équiprobabilité, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
- $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$
- $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium, code), utiliser les arrangements. Si l'ordre ne compte pas (ex: comité, tirage simultané), utiliser les combinaisons.
Tirage avec ou sans remise : Avec remise = puissance ($n^k$), sans remise = arrangements ou combinaisons.
Utiliser l'événement contraire : Dès que l'énoncé contient "au moins un", calculez $1 - P(\text{aucun})$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 jetons parmi 10 sans remise. $\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Former un mot de 3 lettres parmi 5. $\text{card}(\Omega) = A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^k$ et $C_n^k$. Rappel : $C_n^k$ est toujours plus petit.
Oublier que $0! = 1$.
Ne pas vérifier si l'univers est bien en situation d'équiprobabilité avant d'utiliser la formule classique.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Dénombrement et probabilités

1/4

Combien de mots de 3 lettres distinctes peut-on former avec les lettres du mot "ENCG" ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'ordre compte quand on tire des boules en même temps ?

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance.
On considère que les boules sont indiscernables au toucher, donc on utilise les combinaisons $C_n^k$ .

💡 À retenir : Tirage simultané = Combinaisons.

Non, dans un tirage simultané, l'ordre n'a aucune importance.
On considère que les boules sont indiscernables au toucher, donc on utilise les combinaisons $C_n^k$.

💡 À retenir : Tirage simultané = Combinaisons.

Kifach n3ref wach nst3mel An^k wla Cn^k f l'examen ?

Pose-toi la question : "Si j'échange deux éléments, est-ce que ça change le résultat ?"
Si oui (ex: un code secret, un classement), utilise $A_n^k$ .
Si non (ex: une main de cartes, un groupe d'amis), utilise $C_n^k$ .

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre indifférent = Combinaison.

Pose-toi la question : "Si j'échange deux éléments, est-ce que ça change le résultat ?"
Si oui (ex: un code secret, un classement), utilise $A_n^k$.
Si non (ex: une main de cartes, un groupe d'amis), utilise $C_n^k$.

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre indifférent = Combinaison.

Comment calculer Cn^k quand n est grand sans calculatrice ?

Utilise la simplification des factorielles : $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .
Simplifie les termes du numérateur avec ceux du dénominateur.
Exemple : $C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$ .

💡 À retenir : Ne développe jamais les factorielles en entier, simplifie toujours avant de multiplier.

Utilise la simplification des factorielles : $\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Simplifie les termes du numérateur avec ceux du dénominateur.
Exemple : $C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

💡 À retenir : Ne développe jamais les factorielles en entier, simplifie toujours avant de multiplier.

Wach P(A cup B) dima hiya P(A) + P(B) ?

Non, seulement si les événements $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ).
Sinon, il faut soustraire l'intersection : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : La formule générale inclut toujours la soustraction de l'intersection.

Non, seulement si les événements $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$).
Sinon, il faut soustraire l'intersection : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : La formule générale inclut toujours la soustraction de l'intersection.

Quelle est la différence entre un tirage avec remise et sans remise ?

Avec remise : le nombre de choix reste constant à chaque tirage ( $n^k$ ).
Sans remise : le nombre de choix diminue à chaque étape ( $A_n^k$ ou $C_n^k$ ).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = factorielles.

Avec remise : le nombre de choix reste constant à chaque tirage ($n^k$).
Sans remise : le nombre de choix diminue à chaque étape ($A_n^k$ ou $C_n^k$).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ; Sans remise = factorielles.

Chno hiya l'utilité dyal l'événement contraire ?

Il sert à simplifier les calculs quand l'événement direct est trop complexe.
Si on te demande "au moins un", il est presque toujours plus rapide de calculer $1 - P(\text{aucun})$ .

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$ .

Il sert à simplifier les calculs quand l'événement direct est trop complexe.
Si on te demande "au moins un", il est presque toujours plus rapide de calculer $1 - P(\text{aucun})$.

💡 À retenir : "Au moins un" = $1 - P(\text{aucun})$.

Est-ce que la somme des probabilités peut dépasser 1 ?

Non, jamais. La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1.
Si tu trouves un résultat > 1, tu as fait une erreur de calcul.

💡 À retenir : Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.

Comment on calcule le nombre de mots possibles avec les lettres du mot "MATHS" ?

Compte le nombre de lettres : ici 5.
Comme toutes les lettres sont distinctes, c'est une permutation de 5 éléments.
Résultat : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ .

💡 À retenir : Permutation de $n$ objets = $n!$ .

Compte le nombre de lettres : ici 5.
Comme toutes les lettres sont distinctes, c'est une permutation de 5 éléments.
Résultat : $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.

💡 À retenir : Permutation de $n$ objets = $n!$.

Est-ce que je dois toujours utiliser les fractions pour les probabilités ?

Oui, c'est préférable pour garder la précision.
Tu peux simplifier la fraction, mais évite les nombres décimaux sauf si demandé.

💡 À retenir : La forme fractionnaire est la plus rigoureuse en mathématiques.

Wach momkin nst3mel l'arbre de probabilité f TAFEM ?

Oui, c'est un excellent outil pour visualiser les tirages successifs.
Il est très utile pour les probabilités conditionnelles ou les tirages avec remise.

💡 À retenir : L'arbre aide à ne pas oublier de branches dans les calculs complexes.

C'est quoi un univers d'équiprobabilité ?

C'est quand chaque issue élémentaire a la même chance de se réaliser.
C'est la condition nécessaire pour utiliser la formule $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .

💡 À retenir : Si les objets sont indiscernables, on se ramène toujours à une situation d'équiprobabilité.

C'est quand chaque issue élémentaire a la même chance de se réaliser.
C'est la condition nécessaire pour utiliser la formule $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.

💡 À retenir : Si les objets sont indiscernables, on se ramène toujours à une situation d'équiprobabilité.

Est-ce que Cn^n est toujours égal à 1 ?

Oui, choisir tous les éléments parmi $n$ ne peut se faire que d'une seule façon.
De même, $C_n^0 = 1$ (choisir aucun élément).

💡 À retenir : $C_n^n = C_n^0 = 1$ .

Oui, choisir tous les éléments parmi $n$ ne peut se faire que d'une seule façon.
De même, $C_n^0 = 1$ (choisir aucun élément).

💡 À retenir : $C_n^n = C_n^0 = 1$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules bleues. On tire simultanément 2 boules. Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules de même couleur.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On forme un code de 3 chiffres avec les chiffres {1, 2, 3, 4, 5}. Les chiffres peuvent être répétés. Quelle est la probabilité que le code commence par 1 ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans une classe de 20 élèves, on veut élire un président et un secrétaire. Combien de binômes différents peut-on former ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Prépa TAFEM — ENCG pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Prépa TAFEM — ENCG

Calcul numérique et opérations de base Proportions, pourcentages et échelles Équations, inéquations et systèmes Suites numériques Fonctions numériques : limites, continuité et dérivabilité Logarithmes et exponentielles Calcul intégral et primitives Statistiques descriptives Logique et raisonnement mathématique Tests d'aptitude verbale : synonymes, antonymes et analogies Compréhension de texte et analyse critique Grammaire, orthographe et syntaxe Tests d'organisation et de logique spatiale