Prépa TAFEM — ENCG · ENCG (TAFEM)

Suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$ .

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$ .
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$ . Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour la monotonie.
Utiliser la forme explicite pour calculer un terme éloigné.
Calculer la limite : Utiliser les formes indéterminées (factorisation, quantité conjuguée).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_n = 3n + 2$ . $u_{n+1} - u_n = 3(n+1) + 2 - (3n + 2) = 3$ . La suite est arithmétique de raison $r=3$ . Exemple 2 : Soit $v_n = 5 \cdot 2^n$ . $v_{n+1}/v_n = (5 \cdot 2^{n+1}) / (5 \cdot 2^n) = 2$ . La suite est géométrique de raison $q=2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n = u_0 + nr$ et $u_n = u_0 \cdot r^n$ .
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

L'essentiel du cours

Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$.

Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \cdot u_n$. Terme général : $u_n = u_p \cdot q^{n-p}$.
Monotonie : On étudie le signe de $u_{n+1} - u_n$.
Convergence : Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$. Toute suite croissante et majorée est convergente.

Méthodes à maîtriser

Démontrer par récurrence : Initialisation, Hérédité, Conclusion.
Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ pour la monotonie.
Utiliser la forme explicite pour calculer un terme éloigné.
Calculer la limite : Utiliser les formes indéterminées (factorisation, quantité conjuguée).

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $u_n = 3n + 2$. $u_{n+1} - u_n = 3(n+1) + 2 - (3n + 2) = 3$. La suite est arithmétique de raison $r=3$. Exemple 2 : Soit $v_n = 5 \cdot 2^n$. $v_{n+1}/v_n = (5 \cdot 2^{n+1}) / (5 \cdot 2^n) = 2$. La suite est géométrique de raison $q=2$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre $u_n = u_0 + nr$ et $u_n = u_0 \cdot r^n$.
Affirmer qu'une suite est convergente juste parce qu'elle est majorée (il faut aussi qu'elle soit croissante).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Suites numériques

1/4

La suite $u_n = (-1)^n$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'on doit toujours utiliser la récurrence pour montrer qu'une suite est majorée ?

Pas forcément. La récurrence est l'outil standard, mais parfois l'étude de la fonction associée $f(x)$ telle que $u_{n+1} = f(u_n)$ permet de conclure. Si $f$ est croissante et $u_0 < L$ avec $f(L) < L$ , alors la suite est majorée par $L$ .

💡 À retenir : La récurrence est la méthode la plus robuste, ne l'ignorez pas.

Kifach n3ref wach suite arithmétique wla géométrique f l'examen ?

Calcule $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$ . Si c'est la même valeur, c'est arithmétique.
Calcule $u_1 / u_0$ et $u_2 / u_1$ . Si c'est le même résultat, c'est géométrique.

💡 À retenir : Si aucune des deux ne marche, la suite est probablement définie par une relation de récurrence mixte ( $u_{n+1} = au_n + b$ ).

Calcule $u_1 - u_0$ et $u_2 - u_1$. Si c'est la même valeur, c'est arithmétique.
Calcule $u_1 / u_0$ et $u_2 / u_1$. Si c'est le même résultat, c'est géométrique.

💡 À retenir : Si aucune des deux ne marche, la suite est probablement définie par une relation de récurrence mixte ($u_{n+1} = au_n + b$).

Comment calculer la limite d'une suite quand on a une forme indéterminée infty - infty ?

Si c'est un polynôme, factorise par le terme de plus haut degré.
Si c'est une racine carrée, multiplie par la quantité conjuguée.

💡 À retenir : La factorisation par le terme dominant est la clé dans 90% des cas au TAFEM.

Chno hiya la différence bin suite majorée et suite convergente ?

Une suite majorée est une suite qui ne dépasse jamais une certaine valeur $M$ . Une suite convergente est une suite qui se rapproche d'une valeur précise $L$ quand $n$ tend vers l'infini.

💡 À retenir : Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée n'est pas forcément convergente (ex: $(-1)^n$ ).

Une suite majorée est une suite qui ne dépasse jamais une certaine valeur $M$. Une suite convergente est une suite qui se rapproche d'une valeur précise $L$ quand $n$ tend vers l'infini.

💡 À retenir : Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée n'est pas forcément convergente (ex: $(-1)^n$).

Si un est croissante, est-ce qu'elle tend toujours vers +infty ?

Non. Si elle est croissante et majorée, elle converge vers une limite finie $L$ . Elle ne tend vers $+\infty$ que si elle n'est pas majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergence.

Non. Si elle est croissante et majorée, elle converge vers une limite finie $L$. Elle ne tend vers $+\infty$ que si elle n'est pas majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergence.

Kifach n7seb la somme d'une suite géométrique f l'examen bzaf d'étapes ?

Utilise la formule : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$ . Le nombre de termes est : (indice final - indice initial + 1).

💡 À retenir : Ne perds pas de temps, compte bien le nombre de termes !

Utilise la formule : $S = \text{premier terme} \times \frac{1 - \text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1 - \text{raison}}$. Le nombre de termes est : (indice final - indice initial + 1).

💡 À retenir : Ne perds pas de temps, compte bien le nombre de termes !

Est-ce que la limite d'une suite dépend du premier terme u0 ?

Pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$ , la limite (si elle existe) est souvent solution de l'équation $f(L) = L$ . Le premier terme $u_0$ détermine si la suite "atteint" cette limite ou non.

💡 À retenir : La limite dépend de la fonction $f$ , pas du point de départ.

Pour les suites définies par $u_{n+1} = f(u_n)$, la limite (si elle existe) est souvent solution de l'équation $f(L) = L$. Le premier terme $u_0$ détermine si la suite "atteint" cette limite ou non.

💡 À retenir : La limite dépend de la fonction $f$, pas du point de départ.

Si un est définie par u{n+1} = sqrt{un + 2}, comment je fais pour la limite ?

Suppose que la limite $L$ existe.
Résous l'équation $L = \sqrt{L + 2}$ .
$L^2 = L + 2 \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0$ .
Les racines sont $2$ et $-1$ . Comme $u_n > 0$ , alors $L=2$ .

💡 À retenir : Résoudre $f(L)=L$ est la méthode rapide.

Suppose que la limite $L$ existe.
Résous l'équation $L = \sqrt{L + 2}$.
$L^2 = L + 2 \Rightarrow L^2 - L - 2 = 0$.
Les racines sont $2$ et $-1$. Comme $u_n > 0$, alors $L=2$.

💡 À retenir : Résoudre $f(L)=L$ est la méthode rapide.

Comment savoir si une suite est arithmético-géométrique ?

Elle est de la forme $u_{n+1} = au_n + b$ . Pour la résoudre, on cherche le point fixe $c = ac + b$ , puis on pose $v_n = u_n - c$ . $v_n$ devient une suite géométrique.

💡 À retenir : $v_n = u_n - c$ est l'astuce magique.

Elle est de la forme $u_{n+1} = au_n + b$. Pour la résoudre, on cherche le point fixe $c = ac + b$, puis on pose $v_n = u_n - c$. $v_n$ devient une suite géométrique.

💡 À retenir : $v_n = u_n - c$ est l'astuce magique.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour trouver la limite ?

Au TAFEM, la calculatrice est interdite. Tu dois savoir manipuler les expressions algébriques.

💡 À retenir : Entraîne-toi au calcul mental et aux simplifications rapides.

Wach n9der nst3mel l'encadrement bach n7seb la limite ?

Oui, c'est le théorème des gendarmes. Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et que $v_n$ et $w_n$ tendent vers la même limite $L$ , alors $u_n$ tend vers $L$ .

💡 À retenir : Très utile pour les suites avec des sinus ou cosinus.

Oui, c'est le théorème des gendarmes. Si $v_n \leq u_n \leq w_n$ et que $v_n$ et $w_n$ tendent vers la même limite $L$, alors $u_n$ tend vers $L$.

💡 À retenir : Très utile pour les suites avec des sinus ou cosinus.

Pourquoi on étudie souvent le signe de u{n+1} - un ?

Parce que si $u_{n+1} - u_n > 0$ , alors $u_{n+1} > u_n$ , donc la suite est croissante. C'est la définition même de la monotonie.

💡 À retenir : C'est l'outil de base pour le sens de variation.

Parce que si $u_{n+1} - u_n > 0$, alors $u_{n+1} > u_n$, donc la suite est croissante. C'est la définition même de la monotonie.

💡 À retenir : C'est l'outil de base pour le sens de variation.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q=3$ et $v_0 = 2$ .

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ .
Calculer la somme $S = v_0 + v_1 + ... + v_{10}$ .

Exercice 1

Soit $(v_n)$ une suite géométrique de raison $q=3$ et $v_0 = 2$.

Exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
Calculer la somme $S = v_0 + v_1 + ... + v_{10}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer par récurrence que $u_n < 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

Exercice 2

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 3$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer par récurrence que $u_n < 6$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $w_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$ . Déterminer $\lim_{n \to +\infty} w_n$ .

Exercice 3

Soit $w_n = \frac{2n^2 + 1}{n^2 + 3}$. Déterminer $\lim_{n \to +\infty} w_n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Prépa TAFEM — ENCG pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Prépa TAFEM — ENCG

Calcul numérique et opérations de base Proportions, pourcentages et échelles Équations, inéquations et systèmes Fonctions numériques : limites, continuité et dérivabilité Logarithmes et exponentielles Calcul intégral et primitives Dénombrement et probabilités Statistiques descriptives Logique et raisonnement mathématique Tests d'aptitude verbale : synonymes, antonymes et analogies Compréhension de texte et analyse critique Grammaire, orthographe et syntaxe Tests d'organisation et de logique spatiale