Fonctions numériques : limites, continuité et dérivabilité

1. Identifie la forme indéterminée $0/0$.
2. Si c'est un polynôme, factorise par $(x-a)$ en haut et en bas.
3. Simplifie par $(x-a)$.
4. Calcule la limite de l'expression restante.

💡 À retenir : La factorisation est ton outil principal pour éliminer le facteur qui cause le zéro au dénominateur.

Non, pas forcément. La continuité est une condition nécessaire mais pas suffisante pour la dérivabilité.

1. Exemple classique : la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 (la courbe a un "point anguleux").

💡 À retenir : Dérivable implique continue, mais continue n'implique pas dérivable.

Le TVI sert principalement à prouver l'existence de solutions à une équation du type $f(x) = k$.

1. Vérifie que $f$ est continue sur $[a, b]$.
2. Vérifie que $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$.
3. Conclus qu'il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.

💡 À retenir : Si $f$ est strictement monotone, la solution est unique.

On utilise la formule : $(f \circ g)'(x) = g'(x) \times f'(g(x))$.

1. Dérive la fonction "intérieure" $g(x)$.
2. Dérive la fonction "extérieure" $f$ par rapport à son argument.
3. Multiplie les deux.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de multiplier par la dérivée de ce qu'il y a à l'intérieur.

Pour une asymptote oblique $y = ax + b$ en $+\infty$ :

1. Calcule $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = a$.
2. Si $a \neq 0$, calcule $\lim_{x \to +\infty} (f(x) - ax) = b$.
3. Si $a$ et $b$ sont finis, alors $y = ax + b$ est l'asymptote.

💡 À retenir : Si la limite de $f(x)/x$ est infinie, il n'y a pas d'asymptote oblique.

Oui, c'est indispensable pour dresser le tableau de variations.

1. Calcule $f'(x)$.
2. Résous $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques.
3. Étudie le signe de $f'(x)$ sur chaque intervalle.
4. Déduis les variations (croissante si $f' > 0$, décroissante si $f' < 0$).

💡 À retenir : Le signe de $f'(x)$ est le seul moyen de connaître le sens de variation.

Utilise la quantité conjuguée.

1. Multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée (ex: $\sqrt{A} - B$ devient $\sqrt{A} + B$).
2. Utilise l'identité remarquable $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
3. Simplifie l'expression pour éliminer l'indétermination.

💡 À retenir : La quantité conjuguée permet de faire apparaître des carrés et d'éliminer les racines.

La formule est : $(1/f)' = -f' / f^2$.

1. Identifie $f(x)$.
2. Calcule sa dérivée $f'(x)$.
3. Applique la formule en faisant attention au signe moins au numérateur.

💡 À retenir : Le dénominateur est toujours au carré, donc toujours positif (si $f(x) \neq 0$).

Oui, absolument.

1. Calcule $\lim_{x \to a^+} f(x) = L_1$.
2. Calcule $\lim_{x \to a^-} f(x) = L_2$.
3. Si $L_1 = L_2 = L$, alors la limite existe et vaut $L$. Sinon, la limite n'existe pas.

💡 À retenir : L'unicité de la limite est une règle fondamentale.

Calcule la limite du taux d'accroissement : $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

1. Si cette limite est un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable en $a$.
2. Si la limite est $\pm \infty$, $f$ n'est pas dérivable en $a$.

💡 À retenir : Le résultat de cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$.

On le fait quand la fonction change de définition en $a$ (ex: fonction définie par morceaux).

1. Calcule $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_d(a)$.
2. Calcule $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$.
3. Si $f'_d(a) = f'_g(a)$, alors $f$ est dérivable en $a$.

💡 À retenir : Si les deux sont différents, il y a un point anguleux.

(à vérifier par le professeur) Dans le programme marocain, on privilégie les taux d'accroissement. La règle de L'Hôpital n'est pas au programme officiel du lycée.

1. Utilise les limites usuelles.
2. Utilise les taux d'accroissement.
3. Utilise la factorisation.

💡 À retenir : Reste sur les méthodes classiques enseignées en cours pour éviter les pénalités.