Prépa TAFEM — ENCG · ENCG (TAFEM)

Logarithmes et exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Fonction exponentielle ( $exp$ ) : Définie sur $\mathbb{R}$ , elle est strictement croissante et positive. $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,718$ .
Fonction logarithme népérien ( $\ln$ ) : Définie sur $]0, +\infty[$ . $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$ .
Propriétés algébriques :
- $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ .
- $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$ .
- $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour $a > 0$ .
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ .
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations : Pour $e^{f(x)} = e^{g(x)}$ , on résout $f(x) = g(x)$ . Pour $\ln(f(x)) = \ln(g(x))$ , on résout $f(x) = g(x)$ avec la condition $f(x) > 0$ .
Étude de signe : Utiliser la croissance des fonctions. $e^x > 1 \iff x > 0$ . $\ln(x) > 0 \iff x > 1$ .
Dérivation : $(e^{u})' = u' e^u$ et $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ . Poser $X = e^x$ . On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$ . Racines $X=1$ ou $X=2$ . Donc $e^x=1 \implies x=0$ ou $e^x=2 \implies x=\ln(2)$ .
Inéquation : $\ln(x+1) \leq 0 \iff \ln(x+1) \leq \ln(1) \iff x+1 \leq 1 \iff x \leq 0$ . Avec la condition $x+1 > 0$ , l'ensemble solution est $]-1, 0]$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition pour $\ln(x)$ (toujours $x > 0$ ).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

L'essentiel du cours

Fonction exponentielle ($exp$) : Définie sur $\mathbb{R}$, elle est strictement croissante et positive. $e^0 = 1$ et $e^1 = e \approx 2,718$.
Fonction logarithme népérien ($\ln$) : Définie sur $]0, +\infty[$. $\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.
Propriétés algébriques :
- $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$.
- $\ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$ et $\ln(\frac{a}{b}) = \ln(a) - \ln(b)$.
- $\ln(a^n) = n \ln(a)$ pour $a > 0$.
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$.
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x^n} = 0$ et $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations : Pour $e^{f(x)} = e^{g(x)}$, on résout $f(x) = g(x)$. Pour $\ln(f(x)) = \ln(g(x))$, on résout $f(x) = g(x)$ avec la condition $f(x) > 0$.
Étude de signe : Utiliser la croissance des fonctions. $e^x > 1 \iff x > 0$. $\ln(x) > 0 \iff x > 1$.
Dérivation : $(e^{u})' = u' e^u$ et $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. Poser $X = e^x$. On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Racines $X=1$ ou $X=2$. Donc $e^x=1 \implies x=0$ ou $e^x=2 \implies x=\ln(2)$.
Inéquation : $\ln(x+1) \leq 0 \iff \ln(x+1) \leq \ln(1) \iff x+1 \leq 1 \iff x \leq 0$. Avec la condition $x+1 > 0$, l'ensemble solution est $]-1, 0]$.

Erreurs fréquentes

Oublier le domaine de définition pour $\ln(x)$ (toujours $x > 0$).
Confondre $\ln(a+b)$ avec $\ln(a) + \ln(b)$ (c'est faux !).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Logarithmes et exponentielles

1/4

Quelle est la valeur de $\ln(e^3)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que ln(x^2) = 2ln(x) est toujours vrai ?

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$ .
Si $x < 0$ , $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ existe, mais $\ln(x)$ n'existe pas.
La formule correcte est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : La condition de validité d'une formule logarithmique est primordiale.

Non, ce n'est vrai que si $x > 0$.
Si $x < 0$, $x^2$ est positif, donc $\ln(x^2)$ existe, mais $\ln(x)$ n'existe pas.
La formule correcte est $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : La condition de validité d'une formule logarithmique est primordiale.

kifach n7seb lim x vers 0 de xln(x)?

C'est une forme indéterminée du type $0 \times (-\infty)$ .
Il faut connaître la limite usuelle du cours : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$ .
Ici, avec $n=1$ , le résultat est directement $0$ .

💡 À retenir : Les croissances comparées sont vos meilleures alliées pour lever les indéterminations.

C'est une forme indéterminée du type $0 \times (-\infty)$.
Il faut connaître la limite usuelle du cours : $\lim_{x \to 0^+} x^n \ln(x) = 0$ pour tout $n > 0$.
Ici, avec $n=1$, le résultat est directement $0$.

💡 À retenir : Les croissances comparées sont vos meilleures alliées pour lever les indéterminations.

Est-ce que ln(e^x) = x pour tout x ?

Oui, car la fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ et prend des valeurs strictement positives.
Le logarithme peut donc s'appliquer à $e^x$ sans aucune restriction.
On a bien $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$ .

Oui, car la fonction exponentielle est définie sur $\mathbb{R}$ et prend des valeurs strictement positives.
Le logarithme peut donc s'appliquer à $e^x$ sans aucune restriction.
On a bien $\ln(e^x) = x$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

💡 À retenir : La fonction $\ln$ est la réciproque de la fonction $\exp$.

c'est quoi la dérivée de ln(3x+2) ?

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$ .
Ici, $u = 3x+2$ , donc $u' = 3$ .
La dérivée est donc $\frac{3}{3x+2}$ .

💡 À retenir : Identifiez toujours $u$ avant de dériver.

On utilise la formule $(\ln(u))' = \frac{u'}{u}$.
Ici, $u = 3x+2$, donc $u' = 3$.
La dérivée est donc $\frac{3}{3x+2}$.

💡 À retenir : Identifiez toujours $u$ avant de dériver.

wach n9der nkhrej x mn e^x + x = 5 ?

Non, cette équation est dite "transcendante".
On ne peut pas isoler $x$ avec les opérations algébriques classiques.
Pour ce type d'équation, on utilise généralement le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'il existe une solution unique.

💡 À retenir : Si vous ne pouvez pas isoler $x$ , cherchez une étude de fonction.

Non, cette équation est dite "transcendante".
On ne peut pas isoler $x$ avec les opérations algébriques classiques.
Pour ce type d'équation, on utilise généralement le théorème des valeurs intermédiaires (TVI) pour montrer qu'il existe une solution unique.

💡 À retenir : Si vous ne pouvez pas isoler $x$, cherchez une étude de fonction.

Comment dériver x cdot e^x ?

On utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ .
Ici $u = x$ (donc $u' = 1$ ) et $v = e^x$ (donc $v' = e^x$ ).
La dérivée est $1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$ .

💡 À retenir : Ne confondez pas la dérivée d'un produit avec le produit des dérivées.

On utilise la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.
Ici $u = x$ (donc $u' = 1$) et $v = e^x$ (donc $v' = e^x$).
La dérivée est $1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x(1+x)$.

💡 À retenir : Ne confondez pas la dérivée d'un produit avec le produit des dérivées.

kifach n3ref wach e^x kber mn 1 ?

Il suffit de résoudre $e^x > 1$ .
Comme $1 = e^0$ , l'inéquation devient $e^x > e^0$ .
La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a $x > 0$ .

💡 À retenir : $e^x > 1$ quand $x > 0$ et $e^x < 1$ quand $x < 0$ .

Il suffit de résoudre $e^x > 1$.
Comme $1 = e^0$, l'inéquation devient $e^x > e^0$.
La fonction exponentielle étant strictement croissante, on a $x > 0$.

💡 À retenir : $e^x > 1$ quand $x > 0$ et $e^x < 1$ quand $x < 0$.

Peut-on simplifier frac{ln(8)}{ln(2)} ?

Oui, on sait que $8 = 2^3$ .
Donc $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$ .
Le rapport devient $\frac{3\ln(2)}{\ln(2)} = 3$ .

💡 À retenir : Cherchez toujours à faire apparaître la même base dans le log.

Oui, on sait que $8 = 2^3$.
Donc $\ln(8) = \ln(2^3) = 3\ln(2)$.
Le rapport devient $\frac{3\ln(2)}{\ln(2)} = 3$.

💡 À retenir : Cherchez toujours à faire apparaître la même base dans le log.

Quelle est la limite de e^x quand x tend vers -infty ?

Par définition, la courbe de $e^x$ possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $-\infty$ .
Donc, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

💡 À retenir : L'exponentielle "s'écrase" très vite vers 0 en $-\infty$ .

Par définition, la courbe de $e^x$ possède une asymptote horizontale d'équation $y=0$ en $-\infty$.
Donc, $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

💡 À retenir : L'exponentielle "s'écrase" très vite vers 0 en $-\infty$.

Est-ce que ln(a) + ln(b) = ln(a+b) ?

Absolument pas. C'est l'erreur la plus classique.
La règle est $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b)$ .
Exemple : $\ln(2) + \ln(3) = \ln(6)$ , pas $\ln(5)$ .

💡 À retenir : Le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme.

Absolument pas. C'est l'erreur la plus classique.
La règle est $\ln(a) + \ln(b) = \ln(a \times b)$.
Exemple : $\ln(2) + \ln(3) = \ln(6)$, pas $\ln(5)$.

💡 À retenir : Le logarithme transforme le produit en somme, pas la somme en somme.

Comment étudier le signe de ln(x) - 1 ?

On cherche quand $\ln(x) - 1 = 0$ , soit $\ln(x) = 1$ .
Comme $1 = \ln(e)$ , on a $\ln(x) = \ln(e)$ , donc $x = e$ .
Comme $\ln$ est croissante, $\ln(x) - 1 > 0$ pour $x > e$ et négatif pour $x \in ]0, e[$ .

💡 À retenir : Utilisez la valeur charnière où l'expression s'annule.

On cherche quand $\ln(x) - 1 = 0$, soit $\ln(x) = 1$.
Comme $1 = \ln(e)$, on a $\ln(x) = \ln(e)$, donc $x = e$.
Comme $\ln$ est croissante, $\ln(x) - 1 > 0$ pour $x > e$ et négatif pour $x \in ]0, e[$.

💡 À retenir : Utilisez la valeur charnière où l'expression s'annule.

Pourquoi ln(0) n'existe pas ?

La fonction logarithme est la réciproque de l'exponentielle.
Comme $e^x$ est toujours strictement positif, son image ne peut jamais être 0.
Donc, par symétrie, la fonction $\ln$ n'est pas définie en 0 (elle tend vers $-\infty$ ).

💡 À retenir : Le domaine de définition de $\ln$ est $]0, +\infty[$ .

La fonction logarithme est la réciproque de l'exponentielle.
Comme $e^x$ est toujours strictement positif, son image ne peut jamais être 0.
Donc, par symétrie, la fonction $\ln$ n'est pas définie en 0 (elle tend vers $-\infty$).