Prépa TAFEM — ENCG · ENCG (TAFEM)

Proportions, pourcentages et échelles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Proportions : Une proportion est le rapport $\frac{a}{b}$ d'une partie $a$ à un tout $b$ . Elle est souvent exprimée sous forme décimale ou fractionnaire.
Pourcentages : Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est 100. $p\% = \frac{p}{100}$ $p % = \frac{p}{100}$ .
- Calculer $p\%$ d'une valeur $V$ : $V \times \frac{p}{100}$ .
- Taux d'évolution : $t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$ .
- Coefficient multiplicateur : $CM = 1 + \frac{t}{100}$ (hausse) ou $CM = 1 - \frac{t}{100}$ (baisse).
Échelles : L'échelle est le rapport $\frac{\text{dimension sur le plan}}{\text{dimension réelle}}$ . Elle doit être exprimée avec les mêmes unités.

Méthodes à maîtriser

Passage d'une valeur à un pourcentage : Multiplier par 100.
Évolutions successives : Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times ... \times CM_n$ .
Calcul de l'échelle : Toujours convertir les distances en centimètres (cm) avant de faire le rapport.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Une hausse de 20% suivie d'une baisse de 10%. $CM_1 = 1 + 0,2 = 1,2$ ; $CM_2 = 1 - 0,1 = 0,9$ . $CM_{global} = 1,2 \times 0,9 = 1,08$ . Soit une hausse globale de 8%.
Exemple 2 : Une carte au 1/50 000. 4 cm sur la carte correspondent à $4 \times 50 000 = 200 000$ cm = 2 km dans la réalité.

Erreurs fréquentes

Confondre "hausse de $x\%$ " et "multiplier par $x/100$ ".
Additionner les pourcentages au lieu de multiplier les coefficients multiplicateurs.
Oublier de convertir les unités lors du calcul d'une échelle.

L'essentiel du cours

Proportions : Une proportion est le rapport $\frac{a}{b}$ d'une partie $a$ à un tout $b$. Elle est souvent exprimée sous forme décimale ou fractionnaire.
Pourcentages : Un pourcentage est une proportion dont le dénominateur est 100. $p% = \frac{p}{100}$.
- Calculer $p%$ d'une valeur $V$ : $V \times \frac{p}{100}$.
- Taux d'évolution : $t = \frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$.
- Coefficient multiplicateur : $CM = 1 + \frac{t}{100}$ (hausse) ou $CM = 1 - \frac{t}{100}$ (baisse).
Échelles : L'échelle est le rapport $\frac{\text{dimension sur le plan}}{\text{dimension réelle}}$. Elle doit être exprimée avec les mêmes unités.

Méthodes à maîtriser

Passage d'une valeur à un pourcentage : Multiplier par 100.
Évolutions successives : Le coefficient multiplicateur global est le produit des coefficients : $CM_{global} = CM_1 \times CM_2 \times ... \times CM_n$.
Calcul de l'échelle : Toujours convertir les distances en centimètres (cm) avant de faire le rapport.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Une hausse de 20% suivie d'une baisse de 10%. $CM_1 = 1 + 0,2 = 1,2$ ; $CM_2 = 1 - 0,1 = 0,9$. $CM_{global} = 1,2 \times 0,9 = 1,08$. Soit une hausse globale de 8%.
Exemple 2 : Une carte au 1/50 000. 4 cm sur la carte correspondent à $4 \times 50 000 = 200 000$ cm = 2 km dans la réalité.

Erreurs fréquentes

Confondre "hausse de $x%$" et "multiplier par $x/100$".
Additionner les pourcentages au lieu de multiplier les coefficients multiplicateurs.
Oublier de convertir les unités lors du calcul d'une échelle.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Proportions, pourcentages et échelles

1/4

Quel est le coefficient multiplicateur correspondant à une baisse de 35% ?

❓ Questions fréquentes

Comment calculer une augmentation de 15% sur un prix de 200 DH ?

Calcule le montant de l'augmentation : $200 \times 0,15 = 30$ DH.
Ajoute ce montant au prix initial : $200 + 30 = 230$ DH. Ou plus rapidement : $200 \times 1,15 = 230$ DH.

💡 À retenir : Une augmentation de $t\%$ revient à multiplier par $(1 + \frac{t}{100})$ .

Calcule le montant de l'augmentation : $200 \times 0,15 = 30$ DH.
Ajoute ce montant au prix initial : $200 + 30 = 230$ DH. Ou plus rapidement : $200 \times 1,15 = 230$ DH.

💡 À retenir : Une augmentation de $t%$ revient à multiplier par $(1 + \frac{t}{100})$.

Kifach n7seb le taux d'évolution ila tbeddel taman men 100 l 120 ?

Applique la formule : $\frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$ .
Remplace par les valeurs : $\frac{120 - 100}{100} \times 100 = \frac{20}{100} \times 100 = 20\%$ .

💡 À retenir : Le taux d'évolution mesure la variation relative en pourcentage.

Applique la formule : $\frac{V_f - V_i}{V_i} \times 100$.
Remplace par les valeurs : $\frac{120 - 100}{100} \times 100 = \frac{20}{100} \times 100 = 20%$.

💡 À retenir : Le taux d'évolution mesure la variation relative en pourcentage.

Est-ce qu'une baisse de 20% suivie d'une hausse de 20% revient au prix initial ?

Non.

Baisse de 20% : $CM_1 = 0,8$ .
Hausse de 20% : $CM_2 = 1,2$ .
$CM_{global} = 0,8 \times 1,2 = 0,96$ . Le prix final est de 96% du prix initial, soit une baisse globale de 4%.

💡 À retenir : Les pourcentages ne s'additionnent pas, on multiplie les coefficients.

Non.

Baisse de 20% : $CM_1 = 0,8$.
Hausse de 20% : $CM_2 = 1,2$.
$CM_{global} = 0,8 \times 1,2 = 0,96$. Le prix final est de 96% du prix initial, soit une baisse globale de 4%.

💡 À retenir : Les pourcentages ne s'additionnent pas, on multiplie les coefficients.

Chno hiya l'echelle ila kan 1 cm f l'carte kaymthel 5 km f l'wa9i3 ?

Convertis 5 km en cm : $5 \text{ km} = 500 000 \text{ cm}$ .
L'échelle est le rapport : $\frac{1}{500 000}$ .

💡 À retenir : L'échelle est toujours un rapport sans unité, avec le numérateur égal à 1.

Convertis 5 km en cm : $5 \text{ km} = 500 000 \text{ cm}$.
L'échelle est le rapport : $\frac{1}{500 000}$.

💡 À retenir : L'échelle est toujours un rapport sans unité, avec le numérateur égal à 1.

Comment retrouver le prix initial après une remise de 10% qui donne 90 DH ?

Le prix final correspond à $100\% - 10\% = 90\%$ du prix initial.
Soit $x$ le prix initial : $0,9 \times x = 90$ .
$x = \frac{90}{0,9} = 100$ DH.

💡 À retenir : Pour revenir en arrière, on divise par le coefficient multiplicateur.

Le prix final correspond à $100% - 10% = 90%$ du prix initial.
Soit $x$ le prix initial : $0,9 \times x = 90$.
$x = \frac{90}{0,9} = 100$ DH.

💡 À retenir : Pour revenir en arrière, on divise par le coefficient multiplicateur.

Wach momkin nkhdem b les fractions f les pourcentages ?

Oui, c'est même conseillé pour aller plus vite.

25% = 1/4.
50% = 1/2.
20% = 1/5. Si tu dois calculer 25% de 80, fais $80 \times \frac{1}{4} = 20$ .

💡 À retenir : Apprendre les équivalences fractions/pourcentages fait gagner un temps précieux au TAFEM.

Oui, c'est même conseillé pour aller plus vite.

25% = 1/4.
50% = 1/2.
20% = 1/5. Si tu dois calculer 25% de 80, fais $80 \times \frac{1}{4} = 20$.

💡 À retenir : Apprendre les équivalences fractions/pourcentages fait gagner un temps précieux au TAFEM.

Si une population augmente de 50% puis de 50%, est-ce une hausse de 100% ?

Non.

$CM_1 = 1,5$ .
$CM_2 = 1,5$ .
$CM_{global} = 1,5 \times 1,5 = 2,25$ . Cela correspond à une hausse de 125%.

💡 À retenir : Les évolutions successives se multiplient, ce qui crée un effet composé.

Non.

$CM_1 = 1,5$.
$CM_2 = 1,5$.
$CM_{global} = 1,5 \times 1,5 = 2,25$. Cela correspond à une hausse de 125%.

💡 À retenir : Les évolutions successives se multiplient, ce qui crée un effet composé.

Comment calculer le pourcentage d'une partie par rapport à un tout ?

Divise la partie par le tout.
Multiplie le résultat par 100. Exemple : 15 élèves sur 60 ont réussi. $\frac{15}{60} = 0,25$ . $0,25 \times 100 = 25\%$ .

💡 À retenir : Proportion = $\frac{\text{Partie}}{\text{Tout}} \times 100$ .

Divise la partie par le tout.
Multiplie le résultat par 100. Exemple : 15 élèves sur 60 ont réussi. $\frac{15}{60} = 0,25$. $0,25 \times 100 = 25%$.

💡 À retenir : Proportion = $\frac{\text{Partie}}{\text{Tout}} \times 100$.

C'est quoi la différence entre taux d'évolution et coefficient multiplicateur ?

Le taux d'évolution ( $t$ ) est exprimé en pourcentage (ex: 10%).
Le coefficient multiplicateur ( $CM$ ) est le nombre par lequel on multiplie (ex: 1,1).
Relation : $CM = 1 + \frac{t}{100}$ .

💡 À retenir : Le CM permet de calculer directement la valeur finale.

Le taux d'évolution ($t$) est exprimé en pourcentage (ex: 10%).
Le coefficient multiplicateur ($CM$) est le nombre par lequel on multiplie (ex: 1,1).
Relation : $CM = 1 + \frac{t}{100}$.

💡 À retenir : Le CM permet de calculer directement la valeur finale.

Est-ce que l'ordre des pourcentages change le résultat final ?

Non, la multiplication est commutative.

Hausse de 10% puis 20% : $1,1 \times 1,2 = 1,32$ .
Hausse de 20% puis 10% : $1,2 \times 1,1 = 1,32$ .

💡 À retenir : L'ordre des évolutions n'a pas d'impact sur le résultat final.

Non, la multiplication est commutative.

Hausse de 10% puis 20% : $1,1 \times 1,2 = 1,32$.
Hausse de 20% puis 10% : $1,2 \times 1,1 = 1,32$.

💡 À retenir : L'ordre des évolutions n'a pas d'impact sur le résultat final.

Comment calculer une échelle si j'ai 2 cm pour 100 km ?

100 km = 10 000 000 cm.
Échelle = $\frac{2}{10 000 000}$ .
Simplifie par 2 : $\frac{1}{5 000 000}$ .

💡 À retenir : Toujours simplifier la fraction pour avoir 1 au numérateur.

100 km = 10 000 000 cm.
Échelle = $\frac{2}{10 000 000}$.
Simplifie par 2 : $\frac{1}{5 000 000}$.

💡 À retenir : Toujours simplifier la fraction pour avoir 1 au numérateur.

Est-ce que je peux utiliser la règle de trois pour tout ?

Oui, la règle de trois est universelle pour les proportions. Exemple : 100% $\rightarrow$ 500 DH ; $x\%$ $\rightarrow$ 75 DH. $x = \frac{75 \times 100}{500} = 15\%$ .

💡 À retenir : La règle de trois est l'outil de secours si tu oublies les formules.

Oui, la règle de trois est universelle pour les proportions. Exemple : 100% $\rightarrow$ 500 DH ; $x%$ $\rightarrow$ 75 DH. $x = \frac{75 \times 100}{500} = 15%$.

💡 À retenir : La règle de trois est l'outil de secours si tu oublies les formules.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un article coûte 400 DH. Il subit une hausse de 10%, puis une baisse de 10%. Quel est son prix final ?

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Exercice 2

Sur une carte à l'échelle 1/200 000, la distance entre deux villes est de 5 cm. Quelle est la distance réelle en km ?

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Exercice 3

Le chiffre d'affaires d'une entreprise est passé de 2 millions à 2,5 millions de DH en un an. Quel est le taux d'évolution ?

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