Prépa TAFEM — ENCG · ENCG (TAFEM)

Équations, inéquations et systèmes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équations du 1er degré : $ax + b = 0$ ( $a \neq 0$ ) admet une solution unique $x = -b/a$ .
Équations du 2nd degré : $ax^2 + bx + c = 0$ $a x^{2} + b x + c = 0$ . On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
- Si $\Delta = 0$ : une solution unique $x_0 = -b/2a$ .
- Si $\Delta < 0$ : pas de solution réelle.
Inéquations : Attention au changement de sens du symbole lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
Systèmes linéaires (2x2) : Résolution par substitution ou combinaison linéaire (méthode de Cramer au programme).

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Toujours chercher un facteur commun ou une identité remarquable avant de résoudre.
Tableau de signes : Indispensable pour les inéquations produit ou quotient.
Changement de variable : Pour les équations bicarrées ( $ax^4 + bx^2 + c = 0$ ), poser $X = x^2$ .

Exemples corrigés

Équation : $x^2 - 5x + 6 = 0$ . $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$ . $x_1 = (5-1)/2 = 2$ et $x_2 = (5+1)/2 = 3$ .
Inéquation : $2x - 4 \geq 0 \iff 2x \geq 4 \iff x \geq 2$ . Solution : $S = [2, +\infty[$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité en multipliant par un nombre négatif.
Ne pas définir le domaine de définition pour les équations avec des fractions (dénominateur $\neq 0$ ).
Confusion entre $\Delta < 0$ (pas de solution) et $\Delta = 0$ (une solution).

L'essentiel du cours

Équations du 1er degré : $ax + b = 0$ ($a \neq 0$) admet une solution unique $x = -b/a$.
Équations du 2nd degré : $ax^2 + bx + c = 0$. On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles $x_1 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une solution unique $x_0 = -b/2a$.
- Si $\Delta < 0$ : pas de solution réelle.
Inéquations : Attention au changement de sens du symbole lors de la multiplication ou division par un nombre négatif.
Systèmes linéaires (2x2) : Résolution par substitution ou combinaison linéaire (méthode de Cramer au programme).

Méthodes à maîtriser

Factorisation : Toujours chercher un facteur commun ou une identité remarquable avant de résoudre.
Tableau de signes : Indispensable pour les inéquations produit ou quotient.
Changement de variable : Pour les équations bicarrées ($ax^4 + bx^2 + c = 0$), poser $X = x^2$.

Exemples corrigés

Équation : $x^2 - 5x + 6 = 0$. $\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$. $x_1 = (5-1)/2 = 2$ et $x_2 = (5+1)/2 = 3$.
Inéquation : $2x - 4 \geq 0 \iff 2x \geq 4 \iff x \geq 2$. Solution : $S = [2, +\infty[$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité en multipliant par un nombre négatif.
Ne pas définir le domaine de définition pour les équations avec des fractions (dénominateur $\neq 0$).
Confusion entre $\Delta < 0$ (pas de solution) et $\Delta = 0$ (une solution).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations, inéquations et systèmes

1/4

Quelle est la solution de $3x - 7 = 5x + 1$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois utiliser le discriminant ou la factorisation ?

Regarde d'abord si tu peux factoriser par un facteur commun ou une identité remarquable (ex: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ ). C'est beaucoup plus rapide.
Si l'équation est sous la forme $ax^2+bx+c=0$ et que la factorisation n'est pas évidente, utilise le discriminant $\Delta$ .

💡 À retenir : La factorisation est une astuce de gain de temps, le discriminant est la méthode universelle.

Regarde d'abord si tu peux factoriser par un facteur commun ou une identité remarquable (ex: $x^2-9 = (x-3)(x+3)$). C'est beaucoup plus rapide.
Si l'équation est sous la forme $ax^2+bx+c=0$ et que la factorisation n'est pas évidente, utilise le discriminant $\Delta$.

💡 À retenir : La factorisation est une astuce de gain de temps, le discriminant est la méthode universelle.

kifach n7seb l'ensemble de définition ila kan 3ndi l'inéquation fiha l'fraction ?

Identifie le dénominateur de ta fraction.
Pose la condition : dénominateur $\neq 0$ .
Résous cette petite équation pour trouver les valeurs interdites.
Exclus ces valeurs de ton intervalle final.

💡 À retenir : Une fraction n'existe que si son dénominateur est non nul.

Identifie le dénominateur de ta fraction.
Pose la condition : dénominateur $\neq 0$.
Résous cette petite équation pour trouver les valeurs interdites.
Exclus ces valeurs de ton intervalle final.

💡 À retenir : Une fraction n'existe que si son dénominateur est non nul.

Est-ce que je peux multiplier les deux côtés d'une inéquation par x ?

Non, c'est une erreur grave. Tu ne connais pas le signe de $x$ .

Si $x > 0$ , le sens reste le même.
Si $x < 0$ , le sens change.
Si $x = 0$ , tu ne peux pas multiplier.

💡 À retenir : Ne multiplie jamais par une inconnue, préfère passer tous les termes d'un côté et réduire au même dénominateur.

Non, c'est une erreur grave. Tu ne connais pas le signe de $x$.

Si $x > 0$, le sens reste le même.
Si $x < 0$, le sens change.
Si $x = 0$, tu ne peux pas multiplier.

💡 À retenir : Ne multiplie jamais par une inconnue, préfère passer tous les termes d'un côté et réduire au même dénominateur.

wach l'ordre dyal les solutions f'l'intervalle kayhem ?

Oui, absolument. Un intervalle s'écrit toujours sous la forme $[a, b]$ avec $a < b$ . Si tu écris $[3, 2]$ , c'est mathématiquement faux.

💡 À retenir : Toujours mettre la plus petite valeur à gauche.

Oui, absolument. Un intervalle s'écrit toujours sous la forme $[a, b]$ avec $a < b$. Si tu écris $[3, 2]$, c'est mathématiquement faux.

💡 À retenir : Toujours mettre la plus petite valeur à gauche.

Comment résoudre un système si les coefficients sont très grands ?

Simplifie les équations en divisant par un PGCD si possible.
Utilise la méthode par combinaison (élimination) pour supprimer une inconnue.
Si les nombres restent complexes, utilise la méthode de Cramer (déterminants).

💡 À retenir : La simplification préalable est la clé pour éviter les erreurs de calcul.

3lach f'l'inéquation produit on utilise le tableau de signes ?

Parce qu'un produit est positif si les deux facteurs sont de même signe, et négatif s'ils sont de signes opposés. Le tableau permet de visualiser ces changements de signe pour chaque facteur.

💡 À retenir : Le tableau de signes est l'outil le plus fiable pour ne pas se tromper sur les intervalles.

Est-ce que sqrt{x^2} = x ?

Non, $\sqrt{x^2} = |x|$ . C'est une erreur très courante. Si $x$ est négatif, $\sqrt{x^2}$ sera positif.

💡 À retenir : La racine carrée d'un carré est toujours positive.

Non, $\sqrt{x^2} = |x|$. C'est une erreur très courante. Si $x$ est négatif, $\sqrt{x^2}$ sera positif.

💡 À retenir : La racine carrée d'un carré est toujours positive.

kifach n3ref wach l'équation 3ndha 7al wla la bla ma n7seb Delta kaml ?

Tu peux regarder le signe de $a$ et $c$ . Si $a$ et $c$ sont de signes opposés, alors $ac < 0$ , donc $-4ac > 0$ , donc $\Delta > 0$ . L'équation a forcément deux solutions.

💡 À retenir : Si $a$ et $c$ sont de signes opposés, $\Delta$ est forcément positif.

Tu peux regarder le signe de $a$ et $c$. Si $a$ et $c$ sont de signes opposés, alors $ac < 0$, donc $-4ac > 0$, donc $\Delta > 0$. L'équation a forcément deux solutions.

💡 À retenir : Si $a$ et $c$ sont de signes opposés, $\Delta$ est forcément positif.

Peut-on avoir une inéquation avec une valeur absolue ?

Oui. Rappelle-toi que $|x| \leq a$ équivaut à $-a \leq x \leq a$ (pour $a > 0$ ).

💡 À retenir : La valeur absolue mesure une distance, transforme toujours l'inéquation en encadrement.

Oui. Rappelle-toi que $|x| \leq a$ équivaut à $-a \leq x \leq a$ (pour $a > 0$).

💡 À retenir : La valeur absolue mesure une distance, transforme toujours l'inéquation en encadrement.

Est-ce que le discriminant est utile pour les équations du 3ème degré ?

Non, le discriminant classique est réservé au 2nd degré. Pour le 3ème degré, il faut chercher une racine évidente (souvent -1, 0, 1) puis factoriser.

💡 À retenir : Au TAFEM, on ne te demandera que des racines évidentes pour les degrés supérieurs.

Pourquoi le sens de l'inégalité change quand on divise par un nombre négatif ?

C'est une propriété fondamentale de l'ordre dans $\mathbb{R}$ . Si $a < b$ et $c < 0$ , alors $ac > bc$ . C'est comme si tu inversais la position des nombres sur la droite graduée.

💡 À retenir : Multiplication/Division par un négatif = inversion du sens.

C'est une propriété fondamentale de l'ordre dans $\mathbb{R}$. Si $a < b$ et $c < 0$, alors $ac > bc$. C'est comme si tu inversais la position des nombres sur la droite graduée.

💡 À retenir : Multiplication/Division par un négatif = inversion du sens.

Est-ce que les systèmes peuvent avoir aucune solution ?

Oui. Si après simplification tu obtiens une absurdité comme $0 = 5$ , alors le système n'a pas de solution (droites parallèles).

💡 À retenir : Si les variables s'annulent et qu'il reste une égalité fausse, l'ensemble des solutions est vide.

Oui. Si après simplification tu obtiens une absurdité comme $0 = 5$, alors le système n'a pas de solution (droites parallèles).

💡 À retenir : Si les variables s'annulent et qu'il reste une égalité fausse, l'ensemble des solutions est vide.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $\frac{2x-1}{x+3} \leq 1$ .

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $\frac{2x-1}{x+3} \leq 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre le système suivant : $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases}$

Exercice 2

Résoudre le système suivant : $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \ 3x - 2y = 1 \end{cases}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ .

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$.

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