Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques
Géométrie dans l'espace
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ : Tout point $M(x, y, z)$ est défini par $\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$.
Produit vectoriel : $\vec{u} \wedge \vec{v}$ est un vecteur orthogonal à $\vec{u}$ et $\vec{v}$. Sa norme est $|\vec{u} \wedge \vec{v}| = |\vec{u}| |\vec{v}| \sin \theta$.
Plan : Défini par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$. Équation : $ax + by + cz + d = 0$.
Droite : Définie par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$. Représentation : $x=x_A+at, y=y_A+bt, z=z_A+ct$.
Sphère : Ensemble des points $M$ tels que $IM = R$. Équation : $(x-x_I)^2 + (y-y_I)^2 + (z-z_I)^2 = R^2$.
Méthodes à maîtriser
Vérifier l'appartenance : Remplacer les coordonnées du point dans l'équation du plan ou de la sphère.
Déterminer un plan : Trouver un vecteur normal en faisant le produit vectoriel de deux vecteurs directeurs du plan.
Calcule la distance $d$ du centre de la sphère $I$ à la droite $(D)$.
Si $d < R$, la droite coupe la sphère en deux points.
Si $d = R$, la droite est tangente.
Si $d > R$, pas d'intersection.
💡 À retenir : Compare toujours la distance $d(I, (D))$ au rayon $R$.
Comment démontrer que deux plans sont parallèles ?
Identifie les vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$.
Vérifie s'ils sont colinéaires : $\vec{n_1} = k \vec{n_2}$.
💡 À retenir : Des plans parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires.
Peut-on utiliser le produit vectoriel pour des droites ?
Non, le produit vectoriel est spécifique à l'espace 3D pour trouver un vecteur orthogonal à deux vecteurs donnés. On l'utilise pour trouver le vecteur normal d'un plan.
💡 À retenir : Le produit vectoriel crée un vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs.
Quelle est la condition pour que trois points soient alignés ?
Les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ doivent être colinéaires, c'est-à-dire $\vec{AB} \wedge \vec{AC} = \vec{0}$.
💡 À retenir : Si le produit vectoriel est nul, les points sont alignés.
Comment trouver l'équation d'une sphère connaissant son diamètre [AB] ?
Le centre $I$ est le milieu de $[AB]$ : $I = \frac{A+B}{2}$.
💡 À retenir : Le centre est toujours le milieu du diamètre.
Est-ce que le produit scalaire est nul pour des vecteurs colinéaires ?
Non, le produit scalaire est nul si les vecteurs sont orthogonaux. Pour des vecteurs colinéaires, le produit scalaire est égal au produit des normes (ou l'opposé).
💡 À retenir : Orthogonalité $\iff$ produit scalaire nul.
Comment montrer qu'une droite est perpendiculaire à un plan ?
Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite $\vec{u}$ est colinéaire au vecteur normal du plan $\vec{n}$ ($\vec{u} = k\vec{n}$).
💡 À retenir : Vecteur directeur // Vecteur normal.
Comment calculer l'intersection d'une droite et d'un plan ?
Remplace $x, y, z$ de la droite par les expressions en $t$ dans l'équation du plan.
Résous l'équation pour trouver $t$.
Remplace $t$ dans la représentation paramétrique pour trouver les coordonnées du point.
💡 À retenir : L'intersection est un point si l'équation en $t$ a une solution unique.
Est-ce que l'équation x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0 est toujours une sphère ?
Il faut compléter les carrés pour obtenir $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = K$. C'est une sphère si $K > 0$.
💡 À retenir : Si $K < 0$, l'ensemble est vide.
Comment déterminer la position relative de deux droites ?
Vérifie si les vecteurs directeurs sont colinéaires (parallèles).
Sinon, vérifie s'ils sont coplanaires (le produit mixte est nul).
Sinon, elles sont non coplanaires.
💡 À retenir : Utilise le produit mixte pour tester la coplanarité.
Intersection droite-plan : Injecter la représentation paramétrique de la droite dans l'équation du plan pour trouver t.
Exemples corrigés
Plan passant par 3 points : Soient A,B,C. Le vecteur AB∧AC est normal au plan (ABC).
Distance point-plan : Pour A(1,0,2) et (P):x+y+z−1=0, d=12+12+12∣1+0+2−1∣=32.
Erreurs fréquentes
Oublier la racine carrée dans la formule de la distance.
Confondre vecteur normal (plan) et vecteur directeur (droite).
Se tromper dans le signe du terme constant d dans l'équation cartésienne.
Le vecteur normal au plan 2x−y+3z−5=0 est :
(2,−1,3)
(2,1,3)
(−2,1,3)
(1,−2,3)
Pour calculer u(x,y,z)∧v(x′,y′,z′) :
Écris les coordonnées en colonne deux fois.
Utilise le déterminant :
X=yz′−zy′
Y=zx′−xz′
Z=xy′−yx′
💡 À retenir : Le résultat est toujours un vecteur.
Le plan est défini par une équation cartésienne unique : ax+by+cz+d=0.
La droite est définie par un système de deux équations (intersection de deux plans) ou une représentation paramétrique.
💡 À retenir : Un plan a un vecteur normal, une droite a un vecteur directeur.
Calcule la distance d du centre de la sphère I à la droite (D).
Si d<R, la droite coupe la sphère en deux points.
Si d=R, la droite est tangente.
Si d>R, pas d'intersection.
💡 À retenir : Compare toujours la distance d(I,(D)) au rayon R.
Identifie les vecteurs normaux n1 et n2.
Vérifie s'ils sont colinéaires : n1=kn2.
💡 À retenir : Des plans parallèles ont des vecteurs normaux colinéaires.
Les vecteurs AB et AC doivent être colinéaires, c'est-à-dire AB∧AC=0.
💡 À retenir : Si le produit vectoriel est nul, les points sont alignés.
Le centre I est le milieu de [AB] : I=2A+B.
Le rayon R est IA=2AB.
Applique (x−xI)2+(y−yI)2+(z−zI)2=R2.
💡 À retenir : Le centre est toujours le milieu du diamètre.
Non, le produit scalaire est nul si les vecteurs sont orthogonaux. Pour des vecteurs colinéaires, le produit scalaire est égal au produit des normes (ou l'opposé).
💡 À retenir : Orthogonalité ⟺ produit scalaire nul.
Il faut montrer que le vecteur directeur de la droite u est colinéaire au vecteur normal du plan n (u=kn).
💡 À retenir : Vecteur directeur // Vecteur normal.
Remplace x,y,z de la droite par les expressions en t dans l'équation du plan.
Résous l'équation pour trouver t.
Remplace t dans la représentation paramétrique pour trouver les coordonnées du point.
💡 À retenir : L'intersection est un point si l'équation en t a une solution unique.
Il faut compléter les carrés pour obtenir (x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2=K. C'est une sphère si K>0.
💡 À retenir : Si K<0, l'ensemble est vide.
Exercice 1
Soient A(1,0,1), B(0,1,1) et C(1,1,0).
Déterminer le produit vectoriel AB∧AC.
En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).
Exercice 2
Soit (S):x2+y2+z2−2x+4y−6z+5=0.
Déterminer le centre I et le rayon R de (S).
Soit (P):x+y+z=0. Calculer d(I,(P)).
Exercice 3
Soit (D):⎩⎨⎧x=ty=1+tz=2−t et (P):x+y+z−3=0.
Étudier l'intersection de (D) et (P).