Calcul intégral

Oui, tout à fait. L'intégrale représente une "aire algébrique". Si la courbe de la fonction se situe en dessous de l'axe des abscisses sur l'intervalle $[a, b]$, alors l'intégrale sera négative.

1. Si $f(x) \geq 0$, l'intégrale est positive.
2. Si $f(x) \leq 0$, l'intégrale est négative.

💡 À retenir : L'intégrale est un nombre, pas forcément une aire géométrique (qui est toujours positive).

1. Cherche d'abord une primitive usuelle (ex: $x^n, e^x, 1/x$).
2. Si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: un polynôme avec une exponentielle ou un logarithme), pense à l'IPP.
3. La règle "ILP" (Inverses, Log, Polynômes, Exponentielles) aide à choisir $u(x)$.

💡 À retenir : L'IPP est ton outil principal quand la primitive n'est pas immédiate.

Oui, absolument. La formule est $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$.

1. Si tu inverses les bornes, le signe change : $\int_{b}^{a} f(x) dx = - \int_{a}^{b} f(x) dx$.
2. Assure-toi toujours que la borne inférieure est bien en bas.

💡 À retenir : Inverser les bornes multiplie le résultat par $-1$.

L'unité d'aire est la surface du rectangle défini par les vecteurs de la base orthonormée $(\vec{i}, \vec{j})$.

1. Si l'énoncé donne $|\vec{i}| = 1$ cm et $|\vec{j}| = 1$ cm, alors 1 u.a. = $1 \text{ cm} \times 1 \text{ cm} = 1 \text{ cm}^2$.
2. Oui, c'est obligatoire dans les questions de calcul d'aire à l'examen.

💡 À retenir : Ne jamais oublier « u.a. » à la fin d'un calcul d'aire.

Si $f$ change de signe en $c \in [a, b]$, tu dois découper l'intégrale :

1. Calcule $\int_{a}^{c} |f(x)| dx$ et $\int_{c}^{b} |f(x)| dx$ séparément.
2. Sur chaque intervalle, retire la valeur absolue en fonction du signe de $f$.
3. Additionne les deux résultats.

💡 À retenir : L'aire totale est la somme des aires sur chaque sous-intervalle.

Oui, c'est possible. Par exemple, pour $\int x^2 e^x dx$, il faut faire une IPP une première fois pour réduire $x^2$ en $x$, puis une deuxième fois pour éliminer le $x$.

1. Applique l'IPP.
2. Vérifie que la nouvelle intégrale obtenue est plus simple.

💡 À retenir : L'IPP est un processus itératif si nécessaire.

Non, la condition suffisante est que la fonction soit continue sur l'intervalle $[a, b]$.

1. Si elle est continue, elle admet des primitives.
2. Si elle a des points de discontinuité, on découpe l'intégrale.

💡 À retenir : La continuité est la clé de l'existence de l'intégrale.

Utilise la règle mnémotechnique LIPET :

1. Logarithme (priorité pour $u$).
2. Inverses trigonométriques.
3. Polynômes.
4. Exponentielles.
5. Trigonométriques. Le premier élément de cette liste que tu rencontres dans ton produit sera ton $u(x)$.

💡 À retenir : Choisis $u(x)$ pour qu'il devienne plus simple après dérivation.

Non, au niveau du Bac, tu dois trouver la primitive $F$ pour calculer $\int_a^b f(x) dx$.

1. Si tu ne trouves pas la primitive, vérifie si tu n'as pas oublié une astuce (IPP, changement de variable, ou forme $u'/u$).
2. Il n'y a pas de calculatrice pour les intégrales complexes à l'examen.

💡 À retenir : Maîtrise parfaitement ton tableau des primitives usuelles.

C'est la valeur "constante" que prendrait la fonction si elle avait la même aire sur l'intervalle.

1. Formule : $\mu = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx$.
2. C'est un nombre réel qui représente une moyenne arithmétique continue.

💡 À retenir : La valeur moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur $[a, b]$.

Oui, c'est la propriété de linéarité.

1. $\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$.
2. Cela fonctionne aussi avec la multiplication par une constante : $\int k \cdot f(x) dx = k \int f(x) dx$.

💡 À retenir : La linéarité permet de découper les calculs complexes en morceaux simples.

Parce que la constante $C$ s'annule lors de la soustraction $F(b) - F(a)$.

1. $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) + C - F(a) - C = F(b) - F(a)$.
2. Donc, on choisit toujours $C=0$ pour simplifier.

💡 À retenir : Dans une intégrale définie, la constante $C$ est inutile.