Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ tend vers $x_0$ .
Continuité : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ .
Opérations : Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, racines) sont continues sur leurs domaines de définition.
TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$ .
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique.

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué ou le taux d'accroissement.
Continuité sur un intervalle : Vérifier la continuité en chaque point de l'intervalle.
Encadrement : Utiliser les théorèmes de comparaison (gendarme) pour les limites avec sinus ou cosinus.
Recherche de solution : Appliquer le TVI pour montrer l'existence d'une solution à $f(x)=0$ .

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$ .
Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$ . $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2 = f(1)$ , donc $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'utiliser le TVI.
Confondre $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ avec une asymptote verticale.
Ne pas vérifier les conditions de signe aux bornes pour le TVI.

L'essentiel du cours

Limite en un point : $\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ tend vers $x_0$.
Continuité : $f$ est continue en $x_0$ si $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
Opérations : Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles, racines) sont continues sur leurs domaines de définition.
TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe au moins un $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
Corollaire du TVI : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, l'équation $f(x) = k$ admet une solution unique.

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Utiliser la factorisation, le conjugué ou le taux d'accroissement.
Continuité sur un intervalle : Vérifier la continuité en chaque point de l'intervalle.
Encadrement : Utiliser les théorèmes de comparaison (gendarme) pour les limites avec sinus ou cosinus.
Recherche de solution : Appliquer le TVI pour montrer l'existence d'une solution à $f(x)=0$.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 4$.
Continuité : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1)=2$. $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2 = f(1)$, donc $f$ est continue en 1.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser que la fonction est continue avant d'utiliser le TVI.
Confondre $\lim_{x \to x_0} f(x) = \infty$ avec une asymptote verticale.
Ne pas vérifier les conditions de signe aux bornes pour le TVI.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

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La limite de $\frac{\sin(x)}{x}$ en 0 est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si une fonction est continue en un point a ?

Calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ (parfois à gauche et à droite si la fonction est définie par morceaux).
Calcule l'image $f(a)$ .
Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , alors la fonction est continue.

💡 À retenir : La continuité, c'est quand le trait du graphe ne se coupe pas au point $a$ .

Calcule la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ (parfois à gauche et à droite si la fonction est définie par morceaux).
Calcule l'image $f(a)$.
Si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$, alors la fonction est continue.

💡 À retenir : La continuité, c'est quand le trait du graphe ne se coupe pas au point $a$.

Kifach n7seb lim f(x) ila kant 3ndi 0/0 ?

Si c'est un polynôme, factorise par $(x-a)$ .
Si c'est une racine carrée, multiplie par l'expression conjuguée.
Simplifie l'expression pour éliminer le facteur qui cause le zéro.

💡 À retenir : 0/0 est une forme indéterminée, il faut toujours simplifier l'expression.

Si c'est un polynôme, factorise par $(x-a)$.
Si c'est une racine carrée, multiplie par l'expression conjuguée.
Simplifie l'expression pour éliminer le facteur qui cause le zéro.

💡 À retenir : 0/0 est une forme indéterminée, il faut toujours simplifier l'expression.

Est-ce que le TVI marche si la fonction n'est pas monotone ?

Oui, le TVI (Théorème des Valeurs Intermédiaires) garantit seulement l'existence d'au moins une solution. Si la fonction n'est pas monotone, il peut y avoir plusieurs solutions, mais le TVI ne permet pas de dire qu'elle est unique.

💡 À retenir : Monotonie = unicité ; Continuité seule = existence.

Chno hiya l'asymptote verticale et kifach n3refha ?

Calcule la limite quand $x$ tend vers un nombre $a$ .
Si tu trouves $\pm \infty$ , alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Limite finie donne un point, limite infinie donne une asymptote.

Calcule la limite quand $x$ tend vers un nombre $a$.
Si tu trouves $\pm \infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale.

💡 À retenir : Limite finie donne un point, limite infinie donne une asymptote.

Kifach nbiyen bli f(x)=0 3ndha 7al wa7id f [a,b] ?

Montre que $f$ est continue sur $[a, b]$ .
Montre que $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$ .
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$ .

💡 À retenir : Le corollaire du TVI est ton meilleur ami pour l'unicité.

Montre que $f$ est continue sur $[a, b]$.
Montre que $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$.
Vérifie que $f(a) \times f(b) < 0$.

💡 À retenir : Le corollaire du TVI est ton meilleur ami pour l'unicité.

Peut-on utiliser le TVI sur un intervalle ouvert ?

Le théorème s'applique sur un intervalle fermé $[a, b]$ . Si l'intervalle est ouvert $]a, b[$ , on utilise les limites aux bornes pour vérifier si les valeurs de $f$ encadrent bien la valeur cible.

💡 À retenir : Travaille toujours sur des intervalles fermés pour être rigoureux.

Le théorème s'applique sur un intervalle fermé $[a, b]$. Si l'intervalle est ouvert $]a, b[$, on utilise les limites aux bornes pour vérifier si les valeurs de $f$ encadrent bien la valeur cible.

💡 À retenir : Travaille toujours sur des intervalles fermés pour être rigoureux.

C'est quoi une forme indéterminée ?

C'est une situation où le calcul direct de la limite ne donne pas de résultat immédiat. Les formes classiques sont : $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $+\infty - \infty$ et $0 \times \infty$ .

💡 À retenir : Une forme indéterminée ne veut pas dire que la limite n'existe pas, il faut transformer l'écriture.

C'est une situation où le calcul direct de la limite ne donne pas de résultat immédiat. Les formes classiques sont : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $+\infty - \infty$ et $0 \times \infty$.

💡 À retenir : Une forme indéterminée ne veut pas dire que la limite n'existe pas, il faut transformer l'écriture.

Est-ce que la somme de deux fonctions continues est toujours continue ?

Oui, la somme, le produit et le quotient (si le dénominateur ne s'annule pas) de deux fonctions continues en un point sont toujours des fonctions continues.

💡 À retenir : La continuité se conserve par les opérations algébriques usuelles.

Comment lever une indétermination avec une racine cubique ?

Utilise l'identité remarquable : $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ . Multiplie le numérateur et le dénominateur par $(a^2 + ab + b^2)$ .

💡 À retenir : L'expression conjuguée est différente pour les racines cubiques.

Utilise l'identité remarquable : $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$. Multiplie le numérateur et le dénominateur par $(a^2 + ab + b^2)$.

💡 À retenir : L'expression conjuguée est différente pour les racines cubiques.

Est-ce que la limite à gauche doit être égale à la limite à droite ?

Oui, pour qu'une limite existe en $a$ , il faut impérativement que $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L$ .

💡 À retenir : Si les limites sont différentes, la limite en $a$ n'existe pas.

Oui, pour qu'une limite existe en $a$, il faut impérativement que $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L$.

💡 À retenir : Si les limites sont différentes, la limite en $a$ n'existe pas.

Pourquoi on étudie la continuité avant la dérivation ?

Parce que la continuité est une condition nécessaire (mais pas suffisante) pour la dérivabilité. Une fonction non continue ne peut pas être dérivable.

💡 À retenir : Pas de continuité, pas de dérivée.

Comment faire si la fonction est définie par morceaux ?

Étudie la continuité sur chaque intervalle ouvert séparément, puis vérifie la continuité au point de raccordement en comparant les limites à gauche, à droite et l'image.

💡 À retenir : Le point de raccordement est le seul endroit où il peut y avoir une rupture.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$ . Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha \in ]0, 1[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ . Étudier la limite de $f$ en 0.

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$. Étudier la limite de $f$ en 0.

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Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -1$ .

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$ .

Exercice 3

Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \frac{x^2-3x+2}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = -1$.

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.

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