Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Équation du premier ordre : $y' = ay + b$ $y^{'} = a y + b$ (où $a \in \mathbb{R}^*$ $a \in R^{*}$ et $b \in \mathbb{R}$ $b \in R$ ).
- La solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $C \in \mathbb{R}$ .
Équation du second ordre : $ay'' + by' + cy = 0$ $a y^{''} + b y^{'} + cy = 0$ (où $a \in \mathbb{R}^*$ $a \in R^{*}$ ).
- Équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$ .
- Si $\Delta > 0$ : deux racines $r_1, r_2$ . Solution : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$ .
- Si $\Delta = 0$ : une racine double $r_0$ . Solution : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x}$ .
- Si $\Delta < 0$ : racines complexes $p \pm iq$ . Solution : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation et ses coefficients.
Résoudre l'équation caractéristique pour le second ordre.
Déterminer les constantes $\alpha$ et $\beta$ (ou $C$ ) en utilisant les conditions initiales $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_1$ .

Exemples corrigés

$y' = 3y + 2$ : $a=3, b=2$ . Solution : $y(x) = Ce^{3x} - \frac{2}{3}$ .
$y'' - 5y' + 6y = 0$ : $r^2 - 5r + 6 = 0 \implies \Delta = 1$ . Racines $r_1=2, r_2=3$ . Solution : $y(x) = \alpha e^{2x} + \beta e^{3x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ ou $\alpha, \beta$ .
Se tromper dans le signe du discriminant $\Delta$ .
Confondre la forme de la solution selon le signe de $\Delta$ .

L'essentiel du cours

Équation du premier ordre : $y' = ay + b$ (où $a \in \mathbb{R}^*$ et $b \in \mathbb{R}$).
- La solution générale est $y(x) = C e^{ax} - \frac{b}{a}$ avec $C \in \mathbb{R}$.
Équation du second ordre : $ay'' + by' + cy = 0$ (où $a \in \mathbb{R}^*$).
- Équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0$.
- Si $\Delta > 0$ : deux racines $r_1, r_2$. Solution : $y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$.
- Si $\Delta = 0$ : une racine double $r_0$. Solution : $y(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_0 x}$.
- Si $\Delta < 0$ : racines complexes $p \pm iq$. Solution : $y(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre de l'équation et ses coefficients.
Résoudre l'équation caractéristique pour le second ordre.
Déterminer les constantes $\alpha$ et $\beta$ (ou $C$) en utilisant les conditions initiales $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = y'_1$.

Exemples corrigés

$y' = 3y + 2$ : $a=3, b=2$. Solution : $y(x) = Ce^{3x} - \frac{2}{3}$.
$y'' - 5y' + 6y = 0$ : $r^2 - 5r + 6 = 0 \implies \Delta = 1$. Racines $r_1=2, r_2=3$. Solution : $y(x) = \alpha e^{2x} + \beta e^{3x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante $C$ ou $\alpha, \beta$.
Se tromper dans le signe du discriminant $\Delta$.
Confondre la forme de la solution selon le signe de $\Delta$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Équations différentielles

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Quelle est la solution de $y' = 5y$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la solution d'une équation différentielle est toujours une fonction ?

Oui, dans le cadre du programme de 2ème année Bac, la solution est toujours une fonction dérivable (ou deux fois dérivable) définie sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Une équation différentielle cherche une fonction inconnue $y(x)$ .

Oui, dans le cadre du programme de 2ème année Bac, la solution est toujours une fonction dérivable (ou deux fois dérivable) définie sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$.

💡 À retenir : Une équation différentielle cherche une fonction inconnue $y(x)$.

Kifach n7eddo l'hal l'khas ila 3tani condition initiale ?

Tu trouves d'abord la solution générale avec les constantes $C$ ou $\alpha, \beta$ .
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée (ex: $x=0$ ) et $y(x)$ par la valeur donnée.
Tu résous l'équation pour trouver la valeur de la constante.

💡 À retenir : Les conditions initiales servent à fixer les constantes.

Tu trouves d'abord la solution générale avec les constantes $C$ ou $\alpha, \beta$.
Tu remplaces $x$ par la valeur donnée (ex: $x=0$) et $y(x)$ par la valeur donnée.
Tu résous l'équation pour trouver la valeur de la constante.

💡 À retenir : Les conditions initiales servent à fixer les constantes.

C'est quoi la différence entre y' et y'' ?

$y'$ est la dérivée première de la fonction $y$ , tandis que $y''$ est la dérivée seconde (la dérivée de la dérivée).

💡 À retenir : L'ordre de l'équation est déterminé par la dérivée la plus élevée présente.

$y'$ est la dérivée première de la fonction $y$, tandis que $y''$ est la dérivée seconde (la dérivée de la dérivée).

💡 À retenir : L'ordre de l'équation est déterminé par la dérivée la plus élevée présente.

Wach darouri n7fo les formules dyal Delta < 0 ?

Oui, c'est indispensable car c'est un cas classique au bac. La solution fait intervenir $\cos$ et $\sin$ .

💡 À retenir : Pour $\Delta < 0$ , la solution est $e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$ .

Oui, c'est indispensable car c'est un cas classique au bac. La solution fait intervenir $\cos$ et $\sin$.

💡 À retenir : Pour $\Delta < 0$, la solution est $e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$.

Comment savoir si une fonction est solution d'une équation ?

Il suffit de calculer sa dérivée (et sa dérivée seconde), puis de remplacer $y, y'$ et $y''$ dans l'équation. Si le résultat est égal à zéro (ou au second membre), alors c'est une solution.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs.

Il suffit de calculer sa dérivée (et sa dérivée seconde), puis de remplacer $y, y'$ et $y''$ dans l'équation. Si le résultat est égal à zéro (ou au second membre), alors c'est une solution.

💡 À retenir : La vérification est le meilleur moyen d'éviter les erreurs.

Chno hiya l'equation caractéristique ?

C'est une équation algébrique du second degré ( $ar^2 + br + c = 0$ ) associée à l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$ . Ses racines permettent d'écrire la solution.

💡 À retenir : L'équation caractéristique transforme un problème d'analyse en un problème d'algèbre.

C'est une équation algébrique du second degré ($ar^2 + br + c = 0$) associée à l'équation différentielle $ay'' + by' + cy = 0$. Ses racines permettent d'écrire la solution.

💡 À retenir : L'équation caractéristique transforme un problème d'analyse en un problème d'algèbre.

Est-ce qu'il y a des équations sans solution ?

Dans le cadre de notre programme, les équations linéaires à coefficients constants ont toujours des solutions définies sur $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : L'ensemble des solutions est toujours un espace vectoriel.

Dans le cadre de notre programme, les équations linéaires à coefficients constants ont toujours des solutions définies sur $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : L'ensemble des solutions est toujours un espace vectoriel.

Est-ce que y(x) = e^{2x} est solution de y' - 2y = 0 ?

On calcule $y'(x) = 2e^{2x}$ .
On remplace : $y' - 2y = 2e^{2x} - 2(e^{2x}) = 0$ .
Oui, c'est bien une solution.

💡 À retenir : Vérifier par substitution est une méthode rapide et efficace.

On calcule $y'(x) = 2e^{2x}$.
On remplace : $y' - 2y = 2e^{2x} - 2(e^{2x}) = 0$.
Oui, c'est bien une solution.

💡 À retenir : Vérifier par substitution est une méthode rapide et efficace.

Pourquoi on met alpha et beta ?

Ce sont des constantes réelles arbitraires. Comme l'équation est du second ordre, il faut deux constantes pour couvrir toutes les solutions possibles.

💡 À retenir : Le nombre de constantes dépend de l'ordre de l'équation.

Est-ce que y'' + y = 0 a des solutions avec Delta < 0 ?

Oui. $r^2 + 1 = 0 \implies r^2 = -1$ . Ici $\Delta = -4 < 0$ . Les racines sont $0 \pm 1i$ .

💡 À retenir : $p=0$ et $q=1$ , donc $y(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$ .

Oui. $r^2 + 1 = 0 \implies r^2 = -1$. Ici $\Delta = -4 < 0$. Les racines sont $0 \pm 1i$.

💡 À retenir : $p=0$ et $q=1$, donc $y(x) = \alpha \cos(x) + \beta \sin(x)$.

Kifach n3ref wach l'equation homogène ou la ?

Une équation est homogène si le second membre est nul (ex: $ay'' + by' + cy = 0$ ). S'il y a une fonction $f(x)$ après le signe égal, elle n'est pas homogène.

💡 À retenir : Le terme "homogène" signifie que le résultat est zéro.

Une équation est homogène si le second membre est nul (ex: $ay'' + by' + cy = 0$). S'il y a une fonction $f(x)$ après le signe égal, elle n'est pas homogène.

💡 À retenir : Le terme "homogène" signifie que le résultat est zéro.

Est-ce que je peux utiliser les primitives pour résoudre y' = ay ?

Oui, on peut écrire $\frac{y'}{y} = a$ , puis intégrer des deux côtés pour obtenir $\ln|y| = ax + C$ , ce qui donne $y = Ke^{ax}$ .

💡 À retenir : C'est la méthode de séparation des variables.

Oui, on peut écrire $\frac{y'}{y} = a$, puis intégrer des deux côtés pour obtenir $\ln|y| = ax + C$, ce qui donne $y = Ke^{ax}$.

💡 À retenir : C'est la méthode de séparation des variables.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y' - 4y = 0$ .

Exercice 1

Résoudre l'équation différentielle suivante : $y' - 4y = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre l'équation : $y'' - 3y' + 2y = 0$ .

Exercice 2

Résoudre l'équation : $y'' - 3y' + 2y = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Résoudre l'équation $y'' + 4y = 0$ avec les conditions $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$ .

Exercice 3

Résoudre l'équation $y'' + 4y = 0$ avec les conditions $y(0) = 1$ et $y'(0) = 0$.

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