Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Dérivation et étude des fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dérivabilité en un point : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ . Géométriquement, c'est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v+uv'$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$ , $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$ .
Sens de variation : Si $f' > 0$ sur $I$ , $f$ est strictement croissante. Si $f' < 0$ , $f$ est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$ , alors $f(a)$ est un extremum relatif.
Concavité : Si $f'' > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' < 0$ , elle est concave. Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Étude complète : Déterminer le domaine, les limites aux bornes, calculer $f'$ , dresser le tableau de variations, chercher les branches infinies, tracer la courbe.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Branches infinies :
- $\lim_{x \to \infty} f(x) = b \implies$ asymptote horizontale $y=b$ .
- $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ et $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax) = b \implies$ asymptote oblique $y=ax+b$ .

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 \sqrt{x}$ . $f'(x) = (x^2)'\sqrt{x} + x^2(\sqrt{x})' = 2x\sqrt{x} + x^2 \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x\sqrt{x} + \frac{x\sqrt{x}}{2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$ .
Tangente : $f(x) = x^2$ en $a=1$ . $f(1)=1$ , $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$ . Équation : $y = 2(x-1) + 1 \implies y = 2x-1$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité avant de calculer $f'$ .
Confondre la dérivée de $f(ax+b)$ qui est $a \cdot f'(ax+b)$ .
Ne pas justifier le changement de signe de $f''$ pour un point d'inflexion.

L'essentiel du cours

Dérivabilité en un point : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$. Géométriquement, c'est la pente de la tangente au point d'abscisse $a$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v+uv'$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$, $(f \circ g)' = g' \cdot (f' \circ g)$.
Sens de variation : Si $f' > 0$ sur $I$, $f$ est strictement croissante. Si $f' < 0$, $f$ est strictement décroissante.
Extremums : Si $f'$ s'annule en changeant de signe en $a$, alors $f(a)$ est un extremum relatif.
Concavité : Si $f'' > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut). Si $f'' < 0$, elle est concave. Un point d'inflexion est un point où $f''$ s'annule en changeant de signe.

Méthodes à maîtriser

Étude complète : Déterminer le domaine, les limites aux bornes, calculer $f'$, dresser le tableau de variations, chercher les branches infinies, tracer la courbe.
Équation de la tangente : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Branches infinies :
- $\lim_{x \to \infty} f(x) = b \implies$ asymptote horizontale $y=b$.
- $\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ et $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a \neq 0$ et $\lim_{x \to \infty} (f(x)-ax) = b \implies$ asymptote oblique $y=ax+b$.

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = x^2 \sqrt{x}$. $f'(x) = (x^2)'\sqrt{x} + x^2(\sqrt{x})' = 2x\sqrt{x} + x^2 \frac{1}{2\sqrt{x}} = 2x\sqrt{x} + \frac{x\sqrt{x}}{2} = \frac{5}{2}x\sqrt{x}$.
Tangente : $f(x) = x^2$ en $a=1$. $f(1)=1$, $f'(x)=2x \implies f'(1)=2$. Équation : $y = 2(x-1) + 1 \implies y = 2x-1$.

Erreurs fréquentes

Oublier de préciser le domaine de dérivabilité avant de calculer $f'$.
Confondre la dérivée de $f(ax+b)$ qui est $a \cdot f'(ax+b)$.
Ne pas justifier le changement de signe de $f''$ pour un point d'inflexion.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Dérivation et étude des fonctions

1/4

Si $f'(x) = 0$ et $f''(x) < 0$ , alors $f$ admet :

Si $f'(x) = 0$ et $f''(x) < 0$, alors $f$ admet :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la dérivabilité implique toujours la continuité ?

Oui, absolument. Si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$ , alors elle est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (exemple : la fonction valeur absolue en 0 est continue mais non dérivable).

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue.

Oui, absolument. Si une fonction $f$ est dérivable en un point $a$, alors elle est nécessairement continue en ce point. La réciproque est fausse (exemple : la fonction valeur absolue en 0 est continue mais non dérivable).

💡 À retenir : Dérivable $\implies$ Continue.

Kifach n7seb l'equation de la tangente f wahed l'point a ?

Pour trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ , tu suis ces étapes :

Calcule l'image de $a$ par la fonction : $f(a)$ .
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour avoir le coefficient directeur $f'(a)$ .
Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

💡 À retenir : La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est indispensable.

Pour trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse $a$, tu suis ces étapes :

Calcule l'image de $a$ par la fonction : $f(a)$.
Calcule la dérivée $f'(x)$ puis remplace $x$ par $a$ pour avoir le coefficient directeur $f'(a)$.
Utilise la formule : $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

💡 À retenir : La formule $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est indispensable.

Comment savoir si la courbe admet une asymptote oblique ?

Il faut calculer deux limites quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ :

Calcule $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ . Si $a$ est un nombre réel non nul, passe à l'étape 2.
Calcule $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$ . Si $b$ est un nombre réel, alors $y = ax+b$ est l'asymptote oblique.

💡 À retenir : Il faut que $a$ et $b$ soient des réels finis.

Il faut calculer deux limites quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$ :

Calcule $a = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$. Si $a$ est un nombre réel non nul, passe à l'étape 2.
Calcule $b = \lim_{x \to \infty} (f(x) - ax)$. Si $b$ est un nombre réel, alors $y = ax+b$ est l'asymptote oblique.

💡 À retenir : Il faut que $a$ et $b$ soient des réels finis.

Chno hiya l'condition bach n9olo bli wahed l'point hiya point d'inflexion ?

Pour qu'un point $A(x_0, f(x_0))$ soit un point d'inflexion, il faut deux conditions :

La dérivée seconde $f''(x_0)$ doit être égale à 0.
$f''(x)$ doit changer de signe en traversant $x_0$ .

💡 À retenir : L'annulation de $f''$ ne suffit pas, le changement de signe est obligatoire.

Pour qu'un point $A(x_0, f(x_0))$ soit un point d'inflexion, il faut deux conditions :

La dérivée seconde $f''(x_0)$ doit être égale à 0.
$f''(x)$ doit changer de signe en traversant $x_0$.

💡 À retenir : L'annulation de $f''$ ne suffit pas, le changement de signe est obligatoire.

Est-ce que je dois toujours calculer la dérivée seconde pour étudier les variations ?

Non, la dérivée seconde $f''$ sert uniquement à étudier la concavité (courbe tournée vers le haut ou le bas) et à trouver les points d'inflexion. Pour les variations, seule la dérivée première $f'$ est nécessaire.

💡 À retenir : $f'$ pour les variations, $f''$ pour la concavité.

Wach ila kan f'(x) = 0 f wahed l'intervalle, l'fonction constanta ?

Oui, si la dérivée $f'(x)$ est nulle sur tout un intervalle $I$ , alors la fonction $f$ est constante sur cet intervalle. Si elle s'annule seulement en quelques points isolés, la fonction peut rester strictement croissante ou décroissante.

💡 À retenir : $f'=0$ sur $I \implies f$ est constante sur $I$ .

Oui, si la dérivée $f'(x)$ est nulle sur tout un intervalle $I$, alors la fonction $f$ est constante sur cet intervalle. Si elle s'annule seulement en quelques points isolés, la fonction peut rester strictement croissante ou décroissante.

💡 À retenir : $f'=0$ sur $I \implies f$ est constante sur $I$.

Comment interpréter graphiquement lim{x to a} frac{f(x)-f(a)}{x-a} = infty ?

Cela signifie que la courbe de la fonction $f$ admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse $a$ . La courbe "monte" ou "descend" verticalement en ce point.

💡 À retenir : Limite infinie du taux d'accroissement = tangente verticale.

Cela signifie que la courbe de la fonction $f$ admet une demi-tangente verticale au point d'abscisse $a$. La courbe "monte" ou "descend" verticalement en ce point.

💡 À retenir : Limite infinie du taux d'accroissement = tangente verticale.

Est-ce que la dérivée d'un produit (uv)' est égale à u'v' ?

C'est une erreur très courante ! La formule correcte est $(uv)' = u'v + uv'$ . Tu ne dois jamais multiplier les dérivées entre elles.

💡 À retenir : $(uv)' = u'v + uv'$ .

C'est une erreur très courante ! La formule correcte est $(uv)' = u'v + uv'$. Tu ne dois jamais multiplier les dérivées entre elles.

💡 À retenir : $(uv)' = u'v + uv'$.

Comment étudier la position relative de la courbe Cf et d'une droite D ?

Il faut étudier le signe de la différence $f(x) - y_D$ :

Si $f(x) - y_D > 0$ , alors $C_f$ est au-dessus de $D$ .
Si $f(x) - y_D < 0$ , alors $C_f$ est en dessous de $D$ .

💡 À retenir : Signe de $f(x) - y_D$ donne la position relative.

Il faut étudier le signe de la différence $f(x) - y_D$ :

Si $f(x) - y_D > 0$, alors $C_f$ est au-dessus de $D$.
Si $f(x) - y_D < 0$, alors $C_f$ est en dessous de $D$.

💡 À retenir : Signe de $f(x) - y_D$ donne la position relative.

Chno l'far9 bin extremum relatif et extremum absolu ?

Un extremum relatif est une valeur maximale ou minimale sur un petit voisinage d'un point. Un extremum absolu (ou global) est la valeur la plus grande ou la plus petite que la fonction atteint sur tout son domaine de définition.

💡 À retenir : Global = sur tout le domaine, Relatif = localement.

Si f est strictement croissante, est-ce que f'(x) doit être strictement positif ?

Pas forcément. Si $f$ est strictement croissante, on a $f'(x) \geq 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en des points isolés. Si $f'(x) > 0$ partout, alors elle est strictement croissante, mais la réciproque n'exige pas une inégalité stricte partout.

💡 À retenir : $f' \geq 0$ suffit pour la croissance stricte (si $f'$ ne s'annule pas sur un intervalle).

Pourquoi on étudie les branches infinies ?

On étudie les branches infinies pour savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand ou très petit (vers $+\infty$ ou $-\infty$ ). Cela nous aide à tracer la courbe avec précision.

💡 À retenir : Les branches infinies donnent la direction de la courbe à l'infini.

On étudie les branches infinies pour savoir comment la courbe se comporte quand $x$ devient très grand ou très petit (vers $+\infty$ ou $-\infty$). Cela nous aide à tracer la courbe avec précision.

💡 À retenir : Les branches infinies donnent la direction de la courbe à l'infini.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$ .

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ .
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $x=0$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 2$.

Calculer $f'(x)$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$.
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $x=0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ .