Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Nombres complexes (Partie 1)

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Forme algébrique : Tout nombre complexe $z$ s'écrit $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ . $a$ est la partie réelle ( $\text{Re}(z)$ ) et $b$ la partie imaginaire ( $\text{Im}(z)$ ).
Conjugué : Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ , $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$ .
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ , $|z^n| = |z|^n$ .
Équation du second degré : Pour $az^2 + bz + c = 0$ $a z^{2} + b z + c = 0$ ( $a, b, c \in \mathbb{R}$ $a, b, c \in R$ ), on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ $Δ = b^{2} - 4 a c$ .
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles $z_1, z_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ .
- Si $\Delta = 0$ : une solution réelle $z_0 = -\frac{b}{2a}$ .
- Si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_1, z_2 = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul algébrique : Savoir mettre sous forme $a+ib$ un quotient $\frac{z}{z'}$ en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Résolution d'équations : Maîtriser le passage de l'équation à la détermination des racines, surtout quand $\Delta < 0$ .
Interprétation géométrique : Identifier l'affixe d'un point $M(z)$ et le vecteur $\vec{u}(z)$ .

Exemples corrigés

Calcul : Soit $z = \frac{2+i}{1-i}$ . On multiplie par le conjugué $1+i$ : $z = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2+2i+i+i^2}{1^2+1^2} = \frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$ .
Équation : Résoudre $z^2 - 2z + 5 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$ . Solutions : $z_1 = \frac{2-4i}{2} = 1-2i$ et $z_2 = 1+2i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que $i^2 = -1$ lors des développements.
Confondre le signe de $\Delta$ : si $\Delta < 0$ , les racines ne sont pas réelles.
Erreur de signe lors du calcul du conjugué d'une expression complexe composée.

L'essentiel du cours

Forme algébrique : Tout nombre complexe $z$ s'écrit $z = a + ib$ avec $a, b \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$. $a$ est la partie réelle ($\text{Re}(z)$) et $b$ la partie imaginaire ($\text{Im}(z)$).
Conjugué : Le conjugué de $z = a + ib$ est $\bar{z} = a - ib$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$, $\overline{z^n} = (\bar{z})^n$.
Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$. Propriétés : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$, $|z^n| = |z|^n$.
Équation du second degré : Pour $az^2 + bz + c = 0$ ($a, b, c \in \mathbb{R}$), on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$.
- Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles $z_1, z_2 = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$ : une solution réelle $z_0 = -\frac{b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$ : deux solutions complexes conjuguées $z_1, z_2 = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul algébrique : Savoir mettre sous forme $a+ib$ un quotient $\frac{z}{z'}$ en multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur.
Résolution d'équations : Maîtriser le passage de l'équation à la détermination des racines, surtout quand $\Delta < 0$.
Interprétation géométrique : Identifier l'affixe d'un point $M(z)$ et le vecteur $\vec{u}(z)$.

Exemples corrigés

Calcul : Soit $z = \frac{2+i}{1-i}$. On multiplie par le conjugué $1+i$ : $z = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2+2i+i+i^2}{1^2+1^2} = \frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$.
Équation : Résoudre $z^2 - 2z + 5 = 0$. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 = (4i)^2$. Solutions : $z_1 = \frac{2-4i}{2} = 1-2i$ et $z_2 = 1+2i$.

Erreurs fréquentes

Oublier que $i^2 = -1$ lors des développements.
Confondre le signe de $\Delta$ : si $\Delta < 0$, les racines ne sont pas réelles.
Erreur de signe lors du calcul du conjugué d'une expression complexe composée.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Nombres complexes (Partie 1)

1/4

Quel est le module de $z = 3-4i$ ?

❓ Questions fréquentes

1. C'est quoi la différence entre le module et le conjugué ?

Le conjugué $\bar{z}$ est un nombre complexe (il a une partie réelle et une imaginaire), tandis que le module $|z|$ est un nombre réel positif qui représente une distance.

Si $z = a+ib$ , alors $\bar{z} = a-ib$ .
Si $z = a+ib$ , alors $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ .

💡 À retenir : Le conjugué change le signe de la partie imaginaire, le module mesure la "longueur" du nombre.

Le conjugué $\bar{z}$ est un nombre complexe (il a une partie réelle et une imaginaire), tandis que le module $|z|$ est un nombre réel positif qui représente une distance.

Si $z = a+ib$, alors $\bar{z} = a-ib$.
Si $z = a+ib$, alors $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$.

💡 À retenir : Le conjugué change le signe de la partie imaginaire, le module mesure la "longueur" du nombre.

2. Kifach n7seb l'inverse dyal z = a+ib ?

Pour calculer l'inverse $\frac{1}{z}$ , il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\bar{z}$ .

$\frac{1}{z} = \frac{1}{a+ib} = \frac{1(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}$ .
Comme $(a+ib)(a-ib) = a^2+b^2$ , on obtient $\frac{a-ib}{a^2+b^2}$ .
On sépare les parties : $\frac{a}{a^2+b^2} - i\frac{b}{a^2+b^2}$ .

💡 À retenir : On utilise toujours le conjugué pour éliminer les $i$ au dénominateur.

Pour calculer l'inverse $\frac{1}{z}$, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué $\bar{z}$.

$\frac{1}{z} = \frac{1}{a+ib} = \frac{1(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}$.
Comme $(a+ib)(a-ib) = a^2+b^2$, on obtient $\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.
On sépare les parties : $\frac{a}{a^2+b^2} - i\frac{b}{a^2+b^2}$.

💡 À retenir : On utilise toujours le conjugué pour éliminer les $i$ au dénominateur.

3. Est-ce que le module d'une somme est égal à la somme des modules ?

Non, en général $|z + z'| \neq |z| + |z'|$ . C'est une erreur classique. Par exemple, si $z=1$ et $z'=-1$ , alors $|z+z'| = |0| = 0$ , mais $|z|+|z'| = 1+1 = 2$ .

💡 À retenir : L'inégalité triangulaire $|z+z'| \leq |z| + |z'|$ est toujours vraie, mais l'égalité est rarement vérifiée.

Non, en général $|z + z'| \neq |z| + |z'|$. C'est une erreur classique. Par exemple, si $z=1$ et $z'=-1$, alors $|z+z'| = |0| = 0$, mais $|z|+|z'| = 1+1 = 2$.

💡 À retenir : L'inégalité triangulaire $|z+z'| \leq |z| + |z'|$ est toujours vraie, mais l'égalité est rarement vérifiée.

4. Wach darouri nkhdmo b Delta f ga3 l'équations ?

Oui, pour toute équation du second degré de la forme $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$ , le discriminant $\Delta$ est la méthode standard au programme.

💡 À retenir : $\Delta$ est ton meilleur outil, ne cherche pas à deviner les solutions.

Oui, pour toute équation du second degré de la forme $az^2 + bz + c = 0$ avec $a, b, c \in \mathbb{R}$, le discriminant $\Delta$ est la méthode standard au programme.

💡 À retenir : $\Delta$ est ton meilleur outil, ne cherche pas à deviner les solutions.

5. Comment savoir si un nombre complexe est réel ou imaginaire pur ?

Un nombre $z = a+ib$ est réel si sa partie imaginaire est nulle ( $b=0$ ).
Un nombre $z = a+ib$ est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle ( $a=0$ ).

💡 À retenir : Regarde toujours la forme $a+ib$ pour conclure.

Un nombre $z = a+ib$ est réel si sa partie imaginaire est nulle ($b=0$).
Un nombre $z = a+ib$ est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle ($a=0$).

💡 À retenir : Regarde toujours la forme $a+ib$ pour conclure.

6. Chno hiya l'affixe dyal point ?

Dans le plan complexe, chaque point $M$ est associé à un nombre complexe $z = x+iy$ . On dit que $z$ est l'affixe du point $M$ , noté $M(z)$ .

💡 À retenir : Le plan complexe est un plan cartésien où l'axe des abscisses est réel et l'axe des ordonnées est imaginaire.

Dans le plan complexe, chaque point $M$ est associé à un nombre complexe $z = x+iy$. On dit que $z$ est l'affixe du point $M$, noté $M(z)$.

💡 À retenir : Le plan complexe est un plan cartésien où l'axe des abscisses est réel et l'axe des ordonnées est imaginaire.

7. Kifach n'biyen belli z est solution d'une équation ?

Il suffit de remplacer $z$ par la valeur donnée dans l'équation. Si le résultat du calcul est égal à 0, alors c'est bien une solution.

💡 À retenir : Le calcul doit être rigoureux, attention aux puissances de $i$ .

Il suffit de remplacer $z$ par la valeur donnée dans l'équation. Si le résultat du calcul est égal à 0, alors c'est bien une solution.

💡 À retenir : Le calcul doit être rigoureux, attention aux puissances de $i$.

8. Est-ce que le carré d'un nombre complexe peut être négatif ?

Oui ! Contrairement aux nombres réels, dans les complexes, $i^2 = -1$ . Donc, le carré d'un imaginaire pur est un nombre réel négatif.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$ , tout nombre peut avoir une racine carrée.

Oui ! Contrairement aux nombres réels, dans les complexes, $i^2 = -1$. Donc, le carré d'un imaginaire pur est un nombre réel négatif.

💡 À retenir : Dans $\mathbb{C}$, tout nombre peut avoir une racine carrée.

9. Pourquoi on utilise i ?

On utilise $i$ pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$ , comme $z^2 + 1 = 0$ . Cela permet de compléter l'ensemble des nombres.

💡 À retenir : $i$ est défini par $i^2 = -1$ .

On utilise $i$ pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans $\mathbb{R}$, comme $z^2 + 1 = 0$. Cela permet de compléter l'ensemble des nombres.

💡 À retenir : $i$ est défini par $i^2 = -1$.

10. Est-ce que bar{z} = z signifie que z est réel ?

Oui, tout à fait. Si $z = a+ib$ , alors $\bar{z} = a-ib$ . Si $a+ib = a-ib$ , alors $ib = -ib$ , donc $2ib = 0$ , ce qui implique $b=0$ . Donc $z=a$ , c'est un réel.

💡 À retenir : Un nombre est réel si et seulement si il est égal à son conjugué.

Oui, tout à fait. Si $z = a+ib$, alors $\bar{z} = a-ib$. Si $a+ib = a-ib$, alors $ib = -ib$, donc $2ib = 0$, ce qui implique $b=0$. Donc $z=a$, c'est un réel.

💡 À retenir : Un nombre est réel si et seulement si il est égal à son conjugué.

11. Est-ce que le module peut être négatif ?

Jamais. Le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ est par définition une racine carrée d'une somme de carrés, donc il est toujours supérieur ou égal à 0.

💡 À retenir : Une distance est toujours positive ou nulle.

Jamais. Le module $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ est par définition une racine carrée d'une somme de carrés, donc il est toujours supérieur ou égal à 0.

💡 À retenir : Une distance est toujours positive ou nulle.

12. Wach n9der nkhrej sqrt{Delta} ila kan Delta négatif ?

Oui, si $\Delta < 0$ , on écrit $\Delta = -|\Delta| = i^2 \cdot |\Delta|$ . Donc $\sqrt{\Delta} = \sqrt{|\Delta|} \cdot i$ .

💡 À retenir : Remplace le signe moins par $i^2$ sous la racine.

Oui, si $\Delta < 0$, on écrit $\Delta = -|\Delta| = i^2 \cdot |\Delta|$. Donc $\sqrt{\Delta} = \sqrt{|\Delta|} \cdot i$.

💡 À retenir : Remplace le signe moins par $i^2$ sous la racine.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Exercice 1 : Calculer $z = \frac{3+i}{2-i}$ .

Exercice 1

Exercice 1 : Calculer $z = \frac{3+i}{2-i}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Exercice 2 : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 4z + 13 = 0$ .

Exercice 2

Exercice 2 : Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 4z + 13 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Exercice 3 : Soit $z = x+iy$ . Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-i| = |z+1|$ .

Exercice 3

Exercice 3 : Soit $z = x+iy$. Déterminer l'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z-i| = |z+1|$.

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