Mathématiques · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Fonctions exponentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$ , est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$ .

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$ , $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$ , $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$ , et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$ .
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ )
- $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
Dérivée : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$ et $e^A > e^B \iff A > B$ .
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Levée d'indétermination : Utiliser les croissances comparées pour les limites en $\pm \infty$ .

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$ . Posons $X = e^x$ ( $X>0$ ). On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$ . Les racines sont $X=1$ et $X=2$ . Donc $e^x = 1 \implies x=0$ ou $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$ .
Dérivée : $f(x) = e^{-x^2}$ . $f'(x) = (-x^2)' e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $e^x$ avec une fonction puissance (ex: $x^e$ ).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.
Se tromper dans le signe de la dérivée de $e^{-x}$ (c'est $-e^{-x}$ ).

L'essentiel du cours

La fonction exponentielle, notée $\exp(x)$ ou $e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'(x) = f(x)$ et $f(0) = 1$.

Propriétés algébriques : Pour tous $a, b \in \mathbb{R}$, $e^{a+b} = e^a \cdot e^b$, $e^{-a} = \frac{1}{e^a}$, et $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$.
Limites fondamentales :
- $\lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty$
- $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$
- $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ (pour tout $n \in \mathbb{N}^*$)
- $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$
- $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$
Dérivée : $(e^{u(x)})' = u'(x)e^{u(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Résolution d'équations/inéquations : Utiliser $e^A = e^B \iff A = B$ et $e^A > e^B \iff A > B$.
Étude de fonction : Calculer la dérivée, étudier son signe, puis dresser le tableau de variations.
Levée d'indétermination : Utiliser les croissances comparées pour les limites en $\pm \infty$.

Exemples corrigés

Équation : $e^{2x} - 3e^x + 2 = 0$. Posons $X = e^x$ ($X>0$). On obtient $X^2 - 3X + 2 = 0$. Les racines sont $X=1$ et $X=2$. Donc $e^x = 1 \implies x=0$ ou $e^x = 2 \implies x = \ln(2)$.
Dérivée : $f(x) = e^{-x^2}$. $f'(x) = (-x^2)' e^{-x^2} = -2x e^{-x^2}$.

Erreurs fréquentes

Confondre $e^x$ avec une fonction puissance (ex: $x^e$).
Oublier que $e^x$ est toujours strictement positif.
Se tromper dans le signe de la dérivée de $e^{-x}$ (c'est $-e^{-x}$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions exponentielles

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Quelle est la dérivée de $f(x) = e^{x^2}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que e^x peut être négatif ?

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$ . C'est une propriété fondamentale : la courbe représentative est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Non, la fonction exponentielle est strictement positive pour tout réel $x$. C'est une propriété fondamentale : la courbe représentative est toujours située au-dessus de l'axe des abscisses.

💡 À retenir : $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Kifach n7seb la limite de e^x quand x tend vers -infty ?

C'est une limite de cours. Quand $x$ devient très grand en valeur absolue mais négatif, $e^x$ se rapproche de 0.

💡 À retenir : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$ .

C'est une limite de cours. Quand $x$ devient très grand en valeur absolue mais négatif, $e^x$ se rapproche de 0.

💡 À retenir : $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$.

Comment dériver x cdot e^x ?

Il faut utiliser la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$ .

Ici $u(x) = x$ donc $u'(x) = 1$ .
$v(x) = e^x$ donc $v'(x) = e^x$ .
$(x \cdot e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$ .

💡 À retenir : Toujours identifier $u$ et $v$ avant de dériver un produit.

Il faut utiliser la formule du produit $(uv)' = u'v + uv'$.

Ici $u(x) = x$ donc $u'(x) = 1$.
$v(x) = e^x$ donc $v'(x) = e^x$.
$(x \cdot e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$.

💡 À retenir : Toujours identifier $u$ et $v$ avant de dériver un produit.

Chno hiya l'relation bin e^x et ln(x) ?

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Cela signifie que $e^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$ .

💡 À retenir : $\exp$ et $\ln$ "s'annulent" mutuellement.

La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien. Cela signifie que $e^{\ln(x)} = x$ pour $x > 0$ et $\ln(e^x) = x$ pour tout $x$.

💡 À retenir : $\exp$ et $\ln$ "s'annulent" mutuellement.

Est-ce que e^{a+b} est égal à e^a + e^b ?

Absolument pas ! C'est une erreur très grave. La règle est $e^{a+b} = e^a \times e^b$ .

💡 À retenir : L'exponentielle transforme une somme en produit.

Absolument pas ! C'est une erreur très grave. La règle est $e^{a+b} = e^a \times e^b$.

💡 À retenir : L'exponentielle transforme une somme en produit.

Kifach n7seb la limite de frac{e^x}{x^2} en +infty ?

C'est une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$ . On utilise la règle des croissances comparées : l'exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de $x$ .

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$ .
Donc ici, la limite est $+\infty$ .

💡 À retenir : L'exponentielle "gagne" toujours face aux polynômes en $+\infty$ .

C'est une forme indéterminée du type $\frac{\infty}{\infty}$. On utilise la règle des croissances comparées : l'exponentielle l'emporte toujours sur n'importe quelle puissance de $x$.

$\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$.
Donc ici, la limite est $+\infty$.

💡 À retenir : L'exponentielle "gagne" toujours face aux polynômes en $+\infty$.

Comment résoudre e^x = -5 ?

Comme nous l'avons vu, $e^x$ est toujours strictement positif. Il est donc impossible qu'il soit égal à un nombre négatif. L'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $e^x = k$ n'a de solution que si $k > 0$ .

Comme nous l'avons vu, $e^x$ est toujours strictement positif. Il est donc impossible qu'il soit égal à un nombre négatif. L'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $e^x = k$ n'a de solution que si $k > 0$.

Est-ce que (e^x)^2 = e^{(x^2)} ?

Non. Selon les règles des puissances, $(e^a)^b = e^{a \times b}$ .

Donc $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$ .
$e^{(x^2)}$ est différent de $e^{2x}$ .

💡 À retenir : $(e^x)^n = e^{nx}$ .

Non. Selon les règles des puissances, $(e^a)^b = e^{a \times b}$.

Donc $(e^x)^2 = e^{x \times 2} = e^{2x}$.
$e^{(x^2)}$ est différent de $e^{2x}$.

💡 À retenir : $(e^x)^n = e^{nx}$.

Comment étudier le signe de f(x) = e^x - 1 ?

On résout $e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$ .
Comme la fonction exponentielle est croissante, si $x > 0$ alors $e^x > e^0 = 1$ , donc $e^x - 1 > 0$ .
Si $x < 0$ alors $e^x < 1$ , donc $e^x - 1 < 0$ .

💡 À retenir : Le signe dépend de la comparaison avec 1.

On résout $e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$.
Comme la fonction exponentielle est croissante, si $x > 0$ alors $e^x > e^0 = 1$, donc $e^x - 1 > 0$.
Si $x < 0$ alors $e^x < 1$, donc $e^x - 1 < 0$.

💡 À retenir : Le signe dépend de la comparaison avec 1.

Est-ce que la dérivée de e^{3x} est e^{3x} ?

Non, il faut appliquer la formule $(e^{u})' = u'e^u$ .

Ici $u = 3x$ , donc $u' = 3$ .
La dérivée est donc $3e^{3x}$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de l'exposant.

Non, il faut appliquer la formule $(e^{u})' = u'e^u$.

Ici $u = 3x$, donc $u' = 3$.
La dérivée est donc $3e^{3x}$.

💡 À retenir : Ne pas oublier de multiplier par la dérivée de l'exposant.

Pourquoi lim{x to -infty} x e^x = 0 ?

C'est une limite de croissance comparée. En $-\infty$ , l'exponentielle décroît vers 0 beaucoup plus vite que $x$ ne tend vers $-\infty$ . Le produit tend donc vers 0.

💡 À retenir : En $-\infty$ , l'exponentielle domine tout.

C'est une limite de croissance comparée. En $-\infty$, l'exponentielle décroît vers 0 beaucoup plus vite que $x$ ne tend vers $-\infty$. Le produit tend donc vers 0.