Mathématiques · 1ère Année Collège

الأعداد الكسرية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un nombre fractionnaire est un nombre de la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur ( $b \neq 0$ ).

Égalité : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ (avec $k \neq 0$ ).
Simplification : On divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.
Addition/Soustraction : Si les dénominateurs sont identiques : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$ . Sinon, il faut réduire au même dénominateur.
Multiplication : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$ .
Division : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$ .

Méthodes à maîtriser

Réduire au même dénominateur : Chercher le plus petit multiple commun.
Simplifier une fraction : Utiliser les critères de divisibilité (2, 3, 5).
Comparer deux fractions : Mettre au même dénominateur puis comparer les numérateurs.

Exemples corrigés

Addition : $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .
Multiplication : $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8}$ .

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$ .
Oublier de simplifier le résultat final.
Inverser le mauvais nombre lors d'une division.

L'essentiel du cours

Un nombre fractionnaire est un nombre de la forme $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur ($b \neq 0$).

Égalité : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$ (avec $k \neq 0$).
Simplification : On divise le numérateur et le dénominateur par un diviseur commun.
Addition/Soustraction : Si les dénominateurs sont identiques : $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$. Sinon, il faut réduire au même dénominateur.
Multiplication : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$.
Division : Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.

Méthodes à maîtriser

Réduire au même dénominateur : Chercher le plus petit multiple commun.
Simplifier une fraction : Utiliser les critères de divisibilité (2, 3, 5).
Comparer deux fractions : Mettre au même dénominateur puis comparer les numérateurs.

Exemples corrigés

Addition : $\frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} + \frac{1}{6} = \frac{4}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
Multiplication : $\frac{3}{4} \times \frac{5}{2} = \frac{3 \times 5}{4 \times 2} = \frac{15}{8}$.

Erreurs fréquentes

Additionner les dénominateurs : $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$.
Oublier de simplifier le résultat final.
Inverser le mauvais nombre lors d'une division.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الأعداد الكسرية

1/4

Quelle est la valeur de $\frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que je peux simplifier frac{10}{15} par 2 ?

Non, car 15 n'est pas divisible par 2. Pour simplifier, il faut que le nombre divise à la fois le numérateur et le dénominateur. Ici, on divise par 5 : $10 \div 5 = 2$ et $15 \div 5 = 3$ . Le résultat est $\frac{2}{3}$ .

💡 À retenir : La simplification doit se faire par un diviseur commun exact.

kifach n7seb frac{2}{5} + frac{3}{4} ?

Il faut un dénominateur commun, ici 20 (car $5 \times 4 = 20$ ).
On multiplie la première fraction par 4 : $\frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}$ .
On multiplie la deuxième par 5 : $\frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$ .
On additionne : $\frac{8+15}{20} = \frac{23}{20}$ .

💡 À retenir : On ne peut jamais additionner des fractions sans dénominateur commun.

Il faut un dénominateur commun, ici 20 (car $5 \times 4 = 20$).
On multiplie la première fraction par 4 : $\frac{2 \times 4}{5 \times 4} = \frac{8}{20}$.
On multiplie la deuxième par 5 : $\frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$.
On additionne : $\frac{8+15}{20} = \frac{23}{20}$.

💡 À retenir : On ne peut jamais additionner des fractions sans dénominateur commun.

Est-ce qu'on peut avoir un dénominateur égal à 0 ?

Non, c'est impossible en mathématiques. La division par zéro n'existe pas. Si le dénominateur est 0, l'expression n'a pas de sens.

💡 À retenir : Le dénominateur $b$ doit toujours être différent de zéro ( $b \neq 0$ ).

Non, c'est impossible en mathématiques. La division par zéro n'existe pas. Si le dénominateur est 0, l'expression n'a pas de sens.

💡 À retenir : Le dénominateur $b$ doit toujours être différent de zéro ($b \neq 0$).

chno hiya l-far9 bin l-maqloub o l-moqabil ?

L'inverse (maqloub) de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$ . On échange le haut et le bas.
L'opposé (moqabil) de $\frac{a}{b}$ est $-\frac{a}{b}$ . On change juste le signe.

💡 À retenir : L'inverse change la position, l'opposé change le signe.

L'inverse (maqloub) de $\frac{a}{b}$ est $\frac{b}{a}$. On échange le haut et le bas.
L'opposé (moqabil) de $\frac{a}{b}$ est $-\frac{a}{b}$. On change juste le signe.

💡 À retenir : L'inverse change la position, l'opposé change le signe.

Comment savoir si deux fractions sont égales ?

On utilise le produit en croix. Pour $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ , elles sont égales si $a \times d = b \times c$ .

💡 À retenir : Le produit des extrêmes doit être égal au produit des moyens.

On utilise le produit en croix. Pour $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$, elles sont égales si $a \times d = b \times c$.

💡 À retenir : Le produit des extrêmes doit être égal au produit des moyens.

wach n9der n-khtzel b-nafs l-3dad f-l-jmi3 ?

Oui, mais seulement si c'est une multiplication. Si tu as $\frac{a \times k}{b \times k}$ , tu peux barrer le $k$ . Si c'est une addition, c'est interdit !

💡 À retenir : La simplification ne s'applique qu'aux produits (multiplications).

Oui, mais seulement si c'est une multiplication. Si tu as $\frac{a \times k}{b \times k}$, tu peux barrer le $k$. Si c'est une addition, c'est interdit !

💡 À retenir : La simplification ne s'applique qu'aux produits (multiplications).

Est-ce que frac{1}{2} est plus grand que frac{1}{3} ?

Oui. Plus le dénominateur est grand, plus la part est petite. Imagine une pizza coupée en 2 ou en 3, la part coupée en 2 est plus grande.

💡 À retenir : Si les numérateurs sont égaux, la fraction avec le plus petit dénominateur est la plus grande.

kifach n-darbo 3dad s7ih f-fraction ?

C'est simple : tu multiplies le nombre entier par le numérateur et tu gardes le même dénominateur. Exemple : $3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}$ .

💡 À retenir : Un nombre entier $n$ peut s'écrire $\frac{n}{1}$ .

C'est simple : tu multiplies le nombre entier par le numérateur et tu gardes le même dénominateur. Exemple : $3 \times \frac{2}{5} = \frac{3 \times 2}{5} = \frac{6}{5}$.

💡 À retenir : Un nombre entier $n$ peut s'écrire $\frac{n}{1}$.

Est-ce que le résultat d'une multiplication est toujours plus grand ?

Non, pas avec les fractions. Si tu multiplies par une fraction inférieure à 1, le résultat diminue. Exemple : $10 \times \frac{1}{2} = 5$ .

💡 À retenir : La multiplication par une fraction peut réduire le nombre.

Non, pas avec les fractions. Si tu multiplies par une fraction inférieure à 1, le résultat diminue. Exemple : $10 \times \frac{1}{2} = 5$.

💡 À retenir : La multiplication par une fraction peut réduire le nombre.

Comment comparer frac{2}{3} et frac{5}{6} ?

On cherche un dénominateur commun, ici 6.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$ .
Comme $4 < 5$ , alors $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$ .

💡 À retenir : Toujours comparer avec le même dénominateur.

On cherche un dénominateur commun, ici 6.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$.
Comme $4 < 5$, alors $\frac{4}{6} < \frac{5}{6}$.

💡 À retenir : Toujours comparer avec le même dénominateur.

Est-ce que je dois toujours simplifier à la fin ?

Oui, c'est une règle d'or en mathématiques. Une fraction non simplifiée est considérée comme incomplète.

💡 À retenir : Simplifie toujours jusqu'à ce que la fraction soit irréductible.

Est-ce que frac{2}{4} est la même chose que frac{1}{2} ?

Oui, ce sont des fractions équivalentes. Si tu divises 2 par 4, tu obtiens 0,5. Si tu divises 1 par 2, tu obtiens aussi 0,5.

💡 À retenir : Les fractions équivalentes représentent la même valeur.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer et simplifier si possible : $A = \frac{3}{4} + \frac{5}{8}$ et $B = \frac{7}{3} \times \frac{2}{5}$ .

Exercice 1

Calculer et simplifier si possible : $A = \frac{3}{4} + \frac{5}{8}$ et $B = \frac{7}{3} \times \frac{2}{5}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Comparer les nombres suivants : $\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{7}$ .

Exercice 2

Comparer les nombres suivants : $\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{7}$.

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Exercice 3

Calculer $C = \frac{4}{3} \div \frac{2}{9}$ .

Exercice 3

Calculer $C = \frac{4}{3} \div \frac{2}{9}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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