1. Utilisons la règle : frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0. 2. Or, n'importe quel nombre divisé par lui-même donne 1. 3. Donc a^0 = 1. 💡 À retenir : C'est une convention mathématique logique.

Mathématiques · 1ère Année Collège

القوى

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $a$ un nombre relatif et $n$ un entier naturel non nul : $a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

$a^1 = a$
$a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$ )
$10^n = 100\dots0$ ( $n$ zéros)
$10^{-n} = 0,00\dots01$ ( $n$ chiffres après la virgule)

Règles de calcul :

$a^n \times a^m = a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
$(a^n)^m = a^{n \times m}$
$(a \times b)^n = a^n \times b^n$
$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Méthodes à maîtriser

Passer de l'écriture décimale à la puissance de 10.
Simplifier une expression littérale en utilisant les règles des exposants.
Écrire un nombre sous forme de notation scientifique : $a \times 10^p$ où $1 \leq a < 10$ .

Exemples corrigés

$3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$
$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
$5000 = 5 \times 10^3$
$0,007 = 7 \times 10^{-3}$

Erreurs fréquentes

Confondre $a^n$ avec $a \times n$ (ex: $2^3 = 8$ et non $6$ ).
Oublier que $a^0 = 1$ .
Appliquer les règles de puissances sur des sommes ( $a^n + a^m \neq a^{n+m}$ ).

L'essentiel du cours

Soit $a$ un nombre relatif et $n$ un entier naturel non nul : $a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

$a^1 = a$
$a^0 = 1$ (pour $a \neq 0$)
$10^n = 100\dots0$ ($n$ zéros)
$10^{-n} = 0,00\dots01$ ($n$ chiffres après la virgule)

Règles de calcul :

$a^n \times a^m = a^{n+m}$
$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
$(a^n)^m = a^{n \times m}$
$(a \times b)^n = a^n \times b^n$
$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Méthodes à maîtriser

Passer de l'écriture décimale à la puissance de 10.
Simplifier une expression littérale en utilisant les règles des exposants.
Écrire un nombre sous forme de notation scientifique : $a \times 10^p$ où $1 \leq a < 10$.

Exemples corrigés

$3^2 \times 3^4 = 3^{2+4} = 3^6$
$(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6$
$5000 = 5 \times 10^3$
$0,007 = 7 \times 10^{-3}$

Erreurs fréquentes

Confondre $a^n$ avec $a \times n$ (ex: $2^3 = 8$ et non $6$).
Oublier que $a^0 = 1$.
Appliquer les règles de puissances sur des sommes ($a^n + a^m \neq a^{n+m}$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 القوى

1/4

Combien vaut $2^4$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que (-2)^2 est égal à -2^2 ?

Non, ce n'est pas la même chose.

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$ .
$-2^2 = -(2 \times 2) = -4$ .

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout, le signe moins est inclus dans la puissance seulement s'il est entre parenthèses.

Non, ce n'est pas la même chose.

$(-2)^2 = (-2) \times (-2) = 4$.
$-2^2 = -(2 \times 2) = -4$.

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout, le signe moins est inclus dans la puissance seulement s'il est entre parenthèses.

Kifach n7seb 10^{-3} ?

L'exposant négatif signifie que c'est l'inverse de $10^3$ .
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$ .
Tu peux aussi compter 3 chiffres après la virgule.

💡 À retenir : $10^{-n}$ donne toujours un nombre avec $n$ chiffres après la virgule.

L'exposant négatif signifie que c'est l'inverse de $10^3$.
$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.
Tu peux aussi compter 3 chiffres après la virgule.

💡 À retenir : $10^{-n}$ donne toujours un nombre avec $n$ chiffres après la virgule.

Est-ce que 2^3 times 2^4 = 4^7 ?

Non, c'est une erreur classique.

La règle dit : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ .
On garde la même base. Donc $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ .

💡 À retenir : On ne multiplie jamais les bases entre elles.

Non, c'est une erreur classique.

La règle dit : $a^n \times a^m = a^{n+m}$.
On garde la même base. Donc $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.

💡 À retenir : On ne multiplie jamais les bases entre elles.

Chno hiya l-far9 bin a^n et n^a ?

$a^n$ est la puissance (base $a$ , exposant $n$ ).
$n^a$ inverse les rôles.
Exemple : $2^3 = 8$ mais $3^2 = 9$ .

💡 À retenir : L'ordre des nombres est très important.

$a^n$ est la puissance (base $a$, exposant $n$).
$n^a$ inverse les rôles.
Exemple : $2^3 = 8$ mais $3^2 = 9$.

💡 À retenir : L'ordre des nombres est très important.

Comment écrire 125 sous forme de puissance ?

On cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 125.
$5 \times 5 = 25$ .
$25 \times 5 = 125$ .
Donc $125 = 5^3$ .

💡 À retenir : Décompose le nombre en facteurs premiers pour trouver la base.

On cherche un nombre qui, multiplié par lui-même, donne 125.
$5 \times 5 = 25$.
$25 \times 5 = 125$.
Donc $125 = 5^3$.

💡 À retenir : Décompose le nombre en facteurs premiers pour trouver la base.

Kifach nkteb 0,0005 b notation scientifique ?

On déplace la virgule pour avoir un nombre entre 1 et 10 : $5$ .
On a déplacé la virgule de 4 rangs vers la droite.
Donc $0,0005 = 5 \times 10^{-4}$ .

💡 À retenir : Vers la droite = exposant négatif, vers la gauche = exposant positif.

On déplace la virgule pour avoir un nombre entre 1 et 10 : $5$.
On a déplacé la virgule de 4 rangs vers la droite.
Donc $0,0005 = 5 \times 10^{-4}$.

💡 À retenir : Vers la droite = exposant négatif, vers la gauche = exposant positif.

Est-ce que a^n + a^m = a^{n+m} ?

Non, cette règle n'existe pas.

Les puissances ne se simplifient que par la multiplication ou la division.
Pour l'addition, il faut calculer chaque terme séparément.

💡 À retenir : Ne jamais additionner les exposants lors d'une addition.

Pourquoi a^0 = 1 ?

Utilisons la règle : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$ .
Or, n'importe quel nombre divisé par lui-même donne 1.
Donc $a^0 = 1$ .

💡 À retenir : C'est une convention mathématique logique.

Utilisons la règle : $\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$.
Or, n'importe quel nombre divisé par lui-même donne 1.
Donc $a^0 = 1$.

💡 À retenir : C'est une convention mathématique logique.

Est-ce que (-3)^3 est positif ou négatif ?

$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3)$ .
$(-3) \times (-3) = 9$ .
$9 \times (-3) = -27$ .
Le résultat est négatif.

💡 À retenir : Un nombre négatif à une puissance impaire reste négatif.

$(-3)^3 = (-3) \times (-3) \times (-3)$.
$(-3) \times (-3) = 9$.
$9 \times (-3) = -27$.
Le résultat est négatif.

💡 À retenir : Un nombre négatif à une puissance impaire reste négatif.

Comment calculer (2^2)^3 ?

On utilise la règle de la puissance d'une puissance : $(a^n)^m = a^{n \times m}$ .
Ici, $2^{2 \times 3} = 2^6$ .
$2^6 = 64$ .

💡 À retenir : Quand il y a deux exposants séparés par une parenthèse, on les multiplie.

On utilise la règle de la puissance d'une puissance : $(a^n)^m = a^{n \times m}$.
Ici, $2^{2 \times 3} = 2^6$.
$2^6 = 64$.

💡 À retenir : Quand il y a deux exposants séparés par une parenthèse, on les multiplie.

Est-ce que 10^2 + 10^2 = 10^4 ?

Non.

$10^2 = 100$ .
$100 + 100 = 200$ .
$10^4 = 10000$ .
$200 \neq 10000$ .

💡 À retenir : Attention, l'addition ne respecte pas les règles des puissances.

Non.

$10^2 = 100$.
$100 + 100 = 200$.
$10^4 = 10000$.
$200 \neq 10000$.

💡 À retenir : Attention, l'addition ne respecte pas les règles des puissances.

Chno hiya l-qowa d 1 ?

$1^n = 1 \times 1 \times \dots \times 1$ .
Peu importe le nombre de fois, le résultat est toujours 1.

💡 À retenir : 1 à n'importe quelle puissance égale toujours 1.

$1^n = 1 \times 1 \times \dots \times 1$.
Peu importe le nombre de fois, le résultat est toujours 1.

💡 À retenir : 1 à n'importe quelle puissance égale toujours 1.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer les expressions suivantes : $A = 2^3 \times 2^2$ $B = (3^2)^3$ $C = \frac{5^4}{5^2}$

Exercice 1

Calculer les expressions suivantes : $A = 2^3 \times 2^2$ $B = (3^2)^3$ $C = \frac{5^4}{5^2}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Écrire sous forme de puissance de 10 : $D = 1000 \times 0,01$ $E = \frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4}$

Exercice 2

Écrire sous forme de puissance de 10 : $D = 1000 \times 0,01$ $E = \frac{10^5 \times 10^{-2}}{10^4}$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Donner l'écriture scientifique de : $F = 45000$ $G = 0,000072$ $H = 3 \times 10^2 \times 2 \times 10^4$

Exercice 3

Donner l'écriture scientifique de : $F = 45000$ $G = 0,000072$ $H = 3 \times 10^2 \times 2 \times 10^4$

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