Physique-Chimie · 2ème Année Bac — Sciences et Technologies Électriques

Le dipôle RC

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le condensateur : Composé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Sa capacité $C$ s'exprime en Farad ( $F$ ). La relation entre la charge $q$ et la tension $u_C$ est : $q = C \cdot u_C$ .
Intensité du courant : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$ .
Équation différentielle : Lors de la charge d'un condensateur par un générateur de tension $E$ à travers un résistor $R$ , on obtient : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ .
Constante de temps : $\tau = RC$ . Elle caractérise la rapidité de la charge ou décharge.
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ pour la charge, et $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$ pour la décharge.
Énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$ .

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions ( $u_R + u_C = E$ ) et remplacer $u_R$ par $R \cdot i$ .
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine (elle coupe l'asymptote à $t = \tau$ ) ou la valeur $u_C(\tau) \approx 0,63 E$ .
Calculer la charge : Utiliser $q = C \cdot u_C$ à un instant donné.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 \, \Omega$ et $C = 100 \, \mu F$ , alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 \, s = 10 \, ms$ .
Vérification de solution : Pour $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ , on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{RC} e^{-t/RC}$ . En remplaçant dans l'équation différentielle, on vérifie bien l'égalité.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$ , $ms$ en $s$ ).
Confondre le sens du courant $i$ avec le sens de déplacement des électrons.
Penser que le condensateur est chargé instantanément (il faut environ $5\tau$ ).

L'essentiel du cours

Le condensateur : Composé de deux armatures conductrices séparées par un isolant. Sa capacité $C$ s'exprime en Farad ($F$). La relation entre la charge $q$ et la tension $u_C$ est : $q = C \cdot u_C$.
Intensité du courant : $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$.
Équation différentielle : Lors de la charge d'un condensateur par un générateur de tension $E$ à travers un résistor $R$, on obtient : $RC \frac{du_C}{dt} + u_C = E$.
Constante de temps : $\tau = RC$. Elle caractérise la rapidité de la charge ou décharge.
Solution : $u_C(t) = E(1 - e^{-t/\tau})$ pour la charge, et $u_C(t) = E \cdot e^{-t/\tau}$ pour la décharge.
Énergie emmagasinée : $E_e = \frac{1}{2} C u_C^2$.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Appliquer la loi d'additivité des tensions ($u_R + u_C = E$) et remplacer $u_R$ par $R \cdot i$.
Déterminer $\tau$ graphiquement : Utiliser la tangente à l'origine (elle coupe l'asymptote à $t = \tau$) ou la valeur $u_C(\tau) \approx 0,63 E$.
Calculer la charge : Utiliser $q = C \cdot u_C$ à un instant donné.

Exemples corrigés

Calcul de $\tau$ : Si $R = 100 , \Omega$ et $C = 100 , \mu F$, alors $\tau = 100 \times 100 \times 10^{-6} = 0,01 , s = 10 , ms$.
Vérification de solution : Pour $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$, on dérive : $\frac{du_C}{dt} = \frac{E}{RC} e^{-t/RC}$. En remplaçant dans l'équation différentielle, on vérifie bien l'égalité.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir les unités (ex: $\mu F$ en $F$, $ms$ en $s$).
Confondre le sens du courant $i$ avec le sens de déplacement des électrons.
Penser que le condensateur est chargé instantanément (il faut environ $5\tau$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Le dipôle RC

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Quelle est l'unité de la constante de temps $\tau$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la capacité C dépend de la tension uC ?

Non, la capacité $C$ est une caractéristique géométrique du condensateur (surface des armatures, distance entre elles et nature de l'isolant). Elle reste constante quel que soit $u_C$ ou $i$ .

💡 À retenir : $C$ est une constante propre au composant.

Non, la capacité $C$ est une caractéristique géométrique du condensateur (surface des armatures, distance entre elles et nature de l'isolant). Elle reste constante quel que soit $u_C$ ou $i$.

💡 À retenir : $C$ est une constante propre au composant.

Kifach n7seb tau ila kan l'mbyan ma fihch l'mamas ?

Si tu n'as pas la tangente, cherche la valeur de la tension $u_C$ à l'instant $t = \tau$ .

Pour la charge, $u_C(\tau) = 0,63 \times E$ .
Cherche cette valeur sur l'axe des ordonnées.
Projette sur la courbe, puis sur l'axe des abscisses pour lire $\tau$ .

💡 À retenir : À $t = \tau$ , le condensateur est chargé à 63%.

Si tu n'as pas la tangente, cherche la valeur de la tension $u_C$ à l'instant $t = \tau$.

Pour la charge, $u_C(\tau) = 0,63 \times E$.
Cherche cette valeur sur l'axe des ordonnées.
Projette sur la courbe, puis sur l'axe des abscisses pour lire $\tau$.

💡 À retenir : À $t = \tau$, le condensateur est chargé à 63%.

Pourquoi le courant s'annule-t-il à la fin de la charge ?

Quand $u_C$ atteint la valeur $E$ , la tension aux bornes du résistor $u_R = E - u_C$ devient nulle. Comme $u_R = R \cdot i$ , alors $i = 0$ .

💡 À retenir : Un condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert en régime permanent.

Quand $u_C$ atteint la valeur $E$, la tension aux bornes du résistor $u_R = E - u_C$ devient nulle. Comme $u_R = R \cdot i$, alors $i = 0$.

💡 À retenir : Un condensateur chargé se comporte comme un interrupteur ouvert en régime permanent.

Chno hiya l'far9 bin régime transitoire o régime permanent ?

Le régime transitoire est la phase où les grandeurs électriques ( $u_C, i$ ) varient au cours du temps.
Le régime permanent est l'état final où les grandeurs deviennent constantes ( $u_C = E$ et $i = 0$ ).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint après environ $5\tau$ .

Le régime transitoire est la phase où les grandeurs électriques ($u_C, i$) varient au cours du temps.
Le régime permanent est l'état final où les grandeurs deviennent constantes ($u_C = E$ et $i = 0$).

💡 À retenir : Le régime permanent est atteint après environ $5\tau$.

Est-ce que l'énergie se conserve pendant la charge ?

Non, une partie de l'énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans le résistor $R$ sous forme de chaleur.

💡 À retenir : $E_{générateur} = E_{condensateur} + E_{perdue}$ .

Non, une partie de l'énergie fournie par le générateur est dissipée par effet Joule dans le résistor $R$ sous forme de chaleur.

💡 À retenir : $E_{générateur} = E_{condensateur} + E_{perdue}$.

Kifach n3ref wach l'condensateur f'7ala d'charge awla décharge ?

Regarde l'allure de la courbe $u_C(t)$ :

Si elle est croissante et tend vers $E$ , c'est une charge.
Si elle est décroissante et tend vers 0, c'est une décharge.

💡 À retenir : La charge monte, la décharge descend.

Regarde l'allure de la courbe $u_C(t)$ :

Si elle est croissante et tend vers $E$, c'est une charge.
Si elle est décroissante et tend vers 0, c'est une décharge.

💡 À retenir : La charge monte, la décharge descend.

Si je double la résistance R, que devient tau ?

Puisque $\tau = R \cdot C$ , si $R$ est multiplié par 2, alors $\tau$ est également multiplié par 2. La charge sera deux fois plus lente.

💡 À retenir : La constante de temps est proportionnelle à $R$ et à $C$ .

Puisque $\tau = R \cdot C$, si $R$ est multiplié par 2, alors $\tau$ est également multiplié par 2. La charge sera deux fois plus lente.

💡 À retenir : La constante de temps est proportionnelle à $R$ et à $C$.

L'unité de tau est bien la seconde ?

Oui, car $\tau = R \cdot C$ . Comme $R = U/I$ et $C = I \cdot t / U$ , alors $R \cdot C = (U/I) \cdot (I \cdot t / U) = t$ .

💡 À retenir : $\tau$ est une durée, elle s'exprime toujours en secondes.

Oui, car $\tau = R \cdot C$. Comme $R = U/I$ et $C = I \cdot t / U$, alors $R \cdot C = (U/I) \cdot (I \cdot t / U) = t$.

💡 À retenir : $\tau$ est une durée, elle s'exprime toujours en secondes.

Est-ce que le condensateur stocke des électrons ?

Non, il y a autant d'électrons sur une armature que sur l'autre. Il y a un transfert d'électrons d'une armature vers l'autre, créant un déséquilibre de charge ( $+q$ et $-q$ ).

💡 À retenir : La charge totale du condensateur reste nulle.

Non, il y a autant d'électrons sur une armature que sur l'autre. Il y a un transfert d'électrons d'une armature vers l'autre, créant un déséquilibre de charge ($+q$ et $-q$).

💡 À retenir : La charge totale du condensateur reste nulle.

Comment calculer l'énergie maximale stockée ?

Il suffit d'utiliser la formule $E_{max} = \frac{1}{2} C E^2$ où $E$ est la tension du générateur en régime permanent.

💡 À retenir : L'énergie maximale est atteinte quand $u_C = E$ .

Il suffit d'utiliser la formule $E_{max} = \frac{1}{2} C E^2$ où $E$ est la tension du générateur en régime permanent.

💡 À retenir : L'énergie maximale est atteinte quand $u_C = E$.

Est-ce que i est la même dans tout le circuit ?

Oui, dans un circuit série, le courant est le même en tout point, donc $i$ traversant le résistor est identique à $i$ traversant le condensateur.

💡 À retenir : $i = C \frac{du_C}{dt}$ est valable pour tout le circuit.

Oui, dans un circuit série, le courant est le même en tout point, donc $i$ traversant le résistor est identique à $i$ traversant le condensateur.

💡 À retenir : $i = C \frac{du_C}{dt}$ est valable pour tout le circuit.

Est-ce que le condensateur peut se charger avec un courant alternatif ?

Le programme se limite à l'étude de la charge par un générateur de tension continue $E$ . Le cas alternatif n'est pas au programme.

💡 À retenir : On étudie uniquement les régimes transitoires en courant continu.

Le programme se limite à l'étude de la charge par un générateur de tension continue $E$. Le cas alternatif n'est pas au programme.

💡 À retenir : On étudie uniquement les régimes transitoires en courant continu.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 \mu F$ est chargé à travers un résistor $R = 1 k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Vérifier que $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ est solution.
Calculer $\tau$ et l'énergie maximale.

Exercice 1

Un condensateur de capacité $C = 100 \mu F$ est chargé à travers un résistor $R = 1 k\Omega$ par un générateur de tension $E = 6 V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Vérifier que $u_C(t) = E(1 - e^{-t/RC})$ est solution.
Calculer $\tau$ et l'énergie maximale.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On décharge un condensateur initialement chargé sous $12V$ à travers une résistance $R$ . La courbe $u_C(t)$ montre qu'à $t = 2ms$ , $u_C = 4,4V$ . Déterminer $R$ sachant $C = 10 \mu F$ .

Exercice 2

On décharge un condensateur initialement chargé sous $12V$ à travers une résistance $R$. La courbe $u_C(t)$ montre qu'à $t = 2ms$, $u_C = 4,4V$. Déterminer $R$ sachant $C = 10 \mu F$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Un circuit comporte un générateur $E$ , un interrupteur, un résistor $R$ et un condensateur $C$ . On ferme l'interrupteur à $t=0$ .

Exprimer $i(t)$ en fonction de $E, R, C$ et $t$ .
Montrer que $i(t)$ est discontinue à $t=0$ .

Exercice 3

Un circuit comporte un générateur $E$, un interrupteur, un résistor $R$ et un condensateur $C$. On ferme l'interrupteur à $t=0$.

Exprimer $i(t)$ en fonction de $E, R, C$ et $t$.
Montrer que $i(t)$ est discontinue à $t=0$.

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