Le dipôle RL

La bobine possède une propriété appelée auto-induction. Lorsqu'un courant varie dans la bobine, le flux magnétique qui la traverse varie aussi. Selon la loi de Lenz, la bobine crée une force électromotrice induite qui s'oppose à la cause qui lui a donné naissance, c'est-à-dire à la variation du courant. C'est pour cela que le courant ne monte pas instantanément à sa valeur maximale.

💡 À retenir : La bobine est un composant à "inertie" électrique.

Pour trouver $\tau$ graphiquement :

1. Trace la tangente à la courbe $i(t)$ à l'instant $t=0$.
2. Identifie l'asymptote horizontale (la valeur maximale $I_0$).
3. Le point d'intersection entre la tangente et l'asymptote a pour abscisse $t = \tau$.

💡 À retenir : La tangente à l'origine coupe l'asymptote à $t = \tau$.

Non, l'énergie magnétique $E_m = \frac{1}{2} L i^2$ est toujours positive ou nulle. Comme $L > 0$ et que le carré de l'intensité $i^2$ est toujours positif, le résultat ne peut pas être négatif.

💡 À retenir : L'énergie stockée est proportionnelle au carré de l'intensité.

La bobine idéale a une résistance interne $r = 0$. La bobine réelle possède une résistance interne $r \neq 0$ (due au fil de cuivre). Dans les exercices, si on te donne $r$, tu dois toujours l'ajouter à la résistance $R$ du circuit pour calculer la résistance totale $R_T = R + r$.

💡 À retenir : $u_L = L \frac{di}{dt} + r \cdot i$ pour une bobine réelle.

1. Dérive l'expression : $\frac{di}{dt} = \frac{A}{\tau} e^{-t/\tau}$.
2. Remplace $i(t)$ et $\frac{di}{dt}$ dans l'équation différentielle $L \frac{di}{dt} + Ri = E$.
3. Regroupe les termes en $e^{-t/\tau}$ et les termes constants.
4. Pour que l'équation soit vraie pour tout $t$, les coefficients doivent être nuls. Tu trouveras alors les expressions de $A$ et $\tau$.

💡 À retenir : Une solution est valide si elle vérifie l'équation différentielle et les conditions initiales ($i(0)=0$).

C'est simple :

1. Régime transitoire : C'est la phase où le courant varie (de $t=0$ jusqu'à $t \approx 5\tau$). La dérivée $\frac{di}{dt}$ n'est pas nulle.
2. Régime permanent : C'est quand le courant devient constant ($i = I_0 = \text{constante}$). Ici, $\frac{di}{dt} = 0$, donc $u_L = r \cdot I_0$.

💡 À retenir : En régime permanent, la bobine se comporte comme un simple conducteur ohmique de résistance $r$.

Parce qu'elle empêche les variations brutales de l'intensité. Si on ouvre ou ferme un interrupteur, le courant ne saute pas instantanément de 0 à $I_0$ ou inversement ; il suit une courbe exponentielle. Elle "adoucit" la transition.

💡 À retenir : La bobine s'oppose aux variations du courant.

Non, $\tau = \frac{L}{R+r}$. Elle ne dépend que des caractéristiques du circuit (inductance et résistances). Augmenter $E$ augmente la valeur finale du courant $I_0$, mais ne change pas la vitesse à laquelle il s'établit.

💡 À retenir : $\tau$ est une caractéristique temporelle propre au circuit RL.

Si tu augmentes $R$, le dénominateur de $\tau = \frac{L}{R+r}$ augmente, donc $\tau$ diminue. Le courant s'établit plus rapidement, mais sa valeur maximale $I_0 = \frac{E}{R+r}$ sera plus faible.

💡 À retenir : Une grande résistance rend le régime transitoire plus court.

À $t=0$, $i(0) = 0$. D'après la loi des mailles $E = u_R + u_L$, on a $u_L = E - R \cdot i$. Comme $i=0$, alors $u_L = E$. C'est la valeur maximale. Ensuite, $i$ augmente, donc $u_R$ augmente, et $u_L$ diminue jusqu'à $r \cdot I_0$.

💡 À retenir : À $t=0$, la bobine "encaisse" toute la tension du générateur.

Oui. $[L] = [u] \cdot [t] / [i]$ et $[R] = [u] / [i]$. Donc $[L/R] = ([u] \cdot [t] / [i]) / ([u] / [i]) = [t]$. C'est bien une durée.

💡 À retenir : L'analyse dimensionnelle est un excellent moyen de vérifier ses formules.

Oui, si elle a une résistance interne $r$, elle dissipe de l'énergie par effet Joule ($P = r \cdot i^2$). Par contre, l'énergie magnétique stockée ($1/2 L i^2$) peut être restituée au circuit.

💡 À retenir : Seule la partie résistive dissipe de l'énergie sous forme de chaleur.