Physique-Chimie · BTS & DUT (EST) — BTS

Circuit RLC série

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$ , d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$ , et d'un conducteur ohmique de résistance $R$ . L'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $L \frac{d^2q}{dt^2} + (R+r) \frac{dt}{dq} + \frac{1}{C}q = 0$ L'énergie totale du circuit est $E_e + E_m = \frac{1}{2C}q^2 + \frac{1}{2}Li^2$ . En présence de résistance, $E$ diminue au cours du temps par effet Joule.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$ .
Déterminer la pseudo-période $T$ : Mesurer graphiquement la distance entre deux maxima consécutifs.
Bilan énergétique : Calculer la dérivée de l'énergie totale $\frac{dE}{dt} = -(R+r)i^2$ pour montrer la dissipation.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $L = 0,1 H$ et $C = 10 \mu F$ . Calculer la période propre $T_0$ du circuit LC associé. Réponse : $T_0 = 2\pi \sqrt{LC} = 2\pi \sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi \sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28 ms$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la pseudo-période $T$ (avec amortissement) et la période propre $T_0$ (théorique).
Se tromper dans l'unité de $C$ (toujours convertir en Farads).

L'essentiel du cours

Le circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance interne $r$, et d'un conducteur ohmique de résistance $R$. L'équation différentielle vérifiée par la charge $q(t)$ est : $$L \frac{d^2q}{dt^2} + (R+r) \frac{dt}{dq} + \frac{1}{C}q = 0$$ L'énergie totale du circuit est $E_e + E_m = \frac{1}{2C}q^2 + \frac{1}{2}Li^2$. En présence de résistance, $E$ diminue au cours du temps par effet Joule.

Méthodes à maîtriser

Établir l'équation différentielle : Utiliser la loi d'additivité des tensions $u_L + u_R + u_C = 0$.
Déterminer la pseudo-période $T$ : Mesurer graphiquement la distance entre deux maxima consécutifs.
Bilan énergétique : Calculer la dérivée de l'énergie totale $\frac{dE}{dt} = -(R+r)i^2$ pour montrer la dissipation.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $L = 0,1 H$ et $C = 10 \mu F$. Calculer la période propre $T_0$ du circuit LC associé. Réponse : $T_0 = 2\pi \sqrt{LC} = 2\pi \sqrt{0,1 \times 10 \times 10^{-6}} = 2\pi \sqrt{10^{-6}} = 2\pi \times 10^{-3} \approx 6,28 ms$.

Erreurs fréquentes

Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la pseudo-période $T$ (avec amortissement) et la période propre $T_0$ (théorique).
Se tromper dans l'unité de $C$ (toujours convertir en Farads).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Circuit RLC série

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La période propre $T_0$ d'un circuit LC dépend de :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'un régime critique ?

C'est la transition entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. Le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller.

💡 À retenir : $R_{tot} = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$ .

C'est la transition entre le régime pseudo-périodique et le régime apériodique. Le système revient à l'équilibre le plus rapidement possible sans osciller.

💡 À retenir : $R_{tot} = 2\sqrt{\frac{L}{C}}$.

C'est quoi la différence entre régime libre et forcé ?

Régime libre : Le circuit évolue seul après une charge initiale du condensateur.
Régime forcé : On applique une tension sinusoïdale externe au circuit.

💡 À retenir : Le chapitre RLC série se limite aux oscillations libres (amorties ou non).

Kifach n7seb l-energie li tbdadat f-circuit RLC ?

Calculer l'énergie totale initiale $E_0 = \frac{1}{2} \frac{Q_{max}^2}{C}$ .
Calculer l'énergie totale à un instant $t$ : $E(t) = \frac{1}{2} \frac{q(t)^2}{C} + \frac{1}{2} L i(t)^2$ .
La perte d'énergie est $\Delta E = E(t) - E_0$ .

💡 À retenir : $\Delta E$ est toujours négative car l'énergie est dissipée par effet Joule.

Calculer l'énergie totale initiale $E_0 = \frac{1}{2} \frac{Q_{max}^2}{C}$.
Calculer l'énergie totale à un instant $t$ : $E(t) = \frac{1}{2} \frac{q(t)^2}{C} + \frac{1}{2} L i(t)^2$.
La perte d'énergie est $\Delta E = E(t) - E_0$.

💡 À retenir : $\Delta E$ est toujours négative car l'énergie est dissipée par effet Joule.

Est-ce que la période T dépend de la résistance R ?

Oui, dans un régime pseudo-périodique, la pseudo-période $T$ dépend de la résistance totale du circuit. Plus la résistance est grande, plus $T$ s'éloigne de $T_0$ .

💡 À retenir : Si $R$ est faible, $T \approx T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$ .

Oui, dans un régime pseudo-périodique, la pseudo-période $T$ dépend de la résistance totale du circuit. Plus la résistance est grande, plus $T$ s'éloigne de $T_0$.

💡 À retenir : Si $R$ est faible, $T \approx T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$.

Chno hiya l-fayda dyal l-bobine f-had l-circuit ?

La bobine permet de stocker l'énergie sous forme magnétique ( $E_m = \frac{1}{2}Li^2$ ) et, avec le condensateur, permet l'oscillation du courant.

💡 À retenir : Sans bobine, il n'y a pas d'oscillation, juste une décharge exponentielle.

La bobine permet de stocker l'énergie sous forme magnétique ($E_m = \frac{1}{2}Li^2$) et, avec le condensateur, permet l'oscillation du courant.

💡 À retenir : Sans bobine, il n'y a pas d'oscillation, juste une décharge exponentielle.

Comment savoir si le régime est apériodique ?

Si la résistance totale $R_{tot} = R+r$ est très grande, le condensateur se décharge sans osciller. C'est le régime apériodique.

💡 À retenir : Condition : $R_{tot} > 2\sqrt{\frac{L}{C}}$ .

Si la résistance totale $R_{tot} = R+r$ est très grande, le condensateur se décharge sans osciller. C'est le régime apériodique.

💡 À retenir : Condition : $R_{tot} > 2\sqrt{\frac{L}{C}}$.

Wach l-mouqawama r dyal l-wachi3a dima knt-hsbouha ?

Oui, si l'énoncé donne sa valeur, il faut l'inclure dans la résistance totale $R_{tot} = R + r$ dans l'équation différentielle.

💡 À retenir : Si l'énoncé dit "bobine idéale", alors $r=0$ .

Oui, si l'énoncé donne sa valeur, il faut l'inclure dans la résistance totale $R_{tot} = R + r$ dans l'équation différentielle.

💡 À retenir : Si l'énoncé dit "bobine idéale", alors $r=0$.

Pourquoi l'amplitude diminue-t-elle ?

À cause de la résistance du circuit qui transforme l'énergie électrique et magnétique en chaleur (effet Joule).

💡 À retenir : C'est le phénomène d'amortissement.

Comment tracer la courbe de l'énergie ?

Il faut calculer $E_e(t)$ et $E_m(t)$ point par point à partir des courbes $q(t)$ et $i(t)$ , puis faire la somme.

💡 À retenir : La courbe $E(t)$ est décroissante.

Il faut calculer $E_e(t)$ et $E_m(t)$ point par point à partir des courbes $q(t)$ et $i(t)$, puis faire la somme.

💡 À retenir : La courbe $E(t)$ est décroissante.

Est-ce que T0 change si on change C ?

Oui, $T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$ . Si $C$ augmente, $T_0$ augmente.

💡 À retenir : La période propre est proportionnelle à la racine carrée de $C$ .

Oui, $T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$. Si $C$ augmente, $T_0$ augmente.

💡 À retenir : La période propre est proportionnelle à la racine carrée de $C$.

Comment déterminer L graphiquement ?

On mesure $T$ sur l'oscillogramme, puis on utilise $T \approx 2\pi \sqrt{LC}$ pour isoler $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$ .

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que si l'amortissement est faible.

On mesure $T$ sur l'oscillogramme, puis on utilise $T \approx 2\pi \sqrt{LC}$ pour isoler $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.

💡 À retenir : Cette méthode n'est valable que si l'amortissement est faible.

Est-ce que le courant i est en phase avec uC ?

Non, dans un circuit RLC, le courant est en avance de phase par rapport à la tension aux bornes du condensateur.

💡 À retenir : $i = \frac{dq}{dt}$ .

Non, dans un circuit RLC, le courant est en avance de phase par rapport à la tension aux bornes du condensateur.

💡 À retenir : $i = \frac{dq}{dt}$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$ , une bobine d'inductance $L = 0,4 H$ et une résistance $R = 10 \Omega$ . Le condensateur est initialement chargé sous une tension $U_0 = 6 V$ .

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$ .
Calculer la période propre $T_0$ .
Calculer l'énergie totale initiale du circuit.

Exercice 1

Un circuit RLC série comporte un condensateur de capacité $C = 10 \mu F$, une bobine d'inductance $L = 0,4 H$ et une résistance $R = 10 \Omega$. Le condensateur est initialement chargé sous une tension $U_0 = 6 V$.

Établir l'équation différentielle vérifiée par $u_C(t)$.
Calculer la période propre $T_0$.
Calculer l'énergie totale initiale du circuit.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

On visualise la tension $u_C(t)$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit RLC. On mesure une pseudo-période $T = 20 ms$ . La capacité est $C = 50 \mu F$ .

En supposant $T \approx T_0$ , calculer l'inductance $L$ de la bobine.
Si on ajoute une résistance en série, comment évolue $T$ ?

Exercice 2

On visualise la tension $u_C(t)$ aux bornes d'un condensateur dans un circuit RLC. On mesure une pseudo-période $T = 20 ms$. La capacité est $C = 50 \mu F$.

En supposant $T \approx T_0$, calculer l'inductance $L$ de la bobine.
Si on ajoute une résistance en série, comment évolue $T$ ?

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Exercice 3

Soit un circuit LC (sans résistance). $C = 1 \mu F$ et $L = 0,1 H$ . À $t=0$ , $u_C = 10 V$ et $i = 0$ .

Donner l'expression de $u_C(t)$ .
Calculer l'intensité maximale $I_{max}$ traversant la bobine.

Exercice 3

Soit un circuit LC (sans résistance). $C = 1 \mu F$ et $L = 0,1 H$. À $t=0$, $u_C = 10 V$ et $i = 0$.

Donner l'expression de $u_C(t)$.
Calculer l'intensité maximale $I_{max}$ traversant la bobine.

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