Mouvement des satellites et des planètes

1. On applique la 2ème loi de Newton : $\sum \vec{F} = m \vec{a}$.
2. La seule force est la force gravitationnelle $\vec{F} = G \frac{M m}{r^2} \vec{n}$.
3. Donc $\vec{a} = \frac{G M}{r^2} \vec{n}$.
4. Comme l'accélération est purement normale ($\vec{a} = a_n \vec{n}$), l'accélération tangentielle $a_t = \frac{dv}{dt} = 0$.
5. Si $a_t = 0$, alors $v = \text{constante}$. Le mouvement est donc uniforme.

💡 À retenir : L'accélération tangentielle nulle implique une vitesse constante.

1. D'abord, détermine le rayon de l'orbite $r = R_T + h$.
2. Utilise la 2ème loi de Newton : $a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{F}{m} = \frac{G M_T}{r^2}$.
3. Simplifie par $r$ : $v^2 = \frac{G M_T}{r}$.
4. Calcule $v = \sqrt{\frac{G M_T}{R_T + h}}$.

💡 À retenir : La vitesse ne dépend pas de la masse du satellite.

Non. Dans la formule de la 3ème loi de Kepler $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G M}$, seule la masse du corps central ($M$) apparaît. La masse du satellite ($m$) se simplifie lors de l'établissement de l'équation du mouvement.

💡 À retenir : Tous les satellites sur la même orbite ont la même période.

1. Il doit tourner dans le plan équatorial de la Terre.
2. Il doit tourner dans le même sens que la Terre (d'Ouest en Est).
3. Sa période de révolution doit être égale à la période de rotation propre de la Terre ($T \approx 24h$).

💡 À retenir : Un satellite géostationnaire semble immobile pour un observateur terrestre.

Le satellite "tombe" en permanence vers la Terre à cause de la gravité, mais sa vitesse horizontale est telle que la courbure de sa trajectoire correspond exactement à la courbure de la Terre. Il est en état d'impesanteur.

💡 À retenir : La chute libre orbitale est un équilibre dynamique.

1. Utilise la 3ème loi de Kepler : $T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{G M_T}$.
2. Isole $r^3$ : $r^3 = \frac{T^2 G M_T}{4\pi^2}$.
3. Calcule $r = \sqrt[3]{\frac{T^2 G M_T}{4\pi^2}}$.
4. Trouve $h = r - R_T$.

💡 À retenir : Attention aux unités (T en secondes, r en mètres).

Elle est constante en intensité si le mouvement est circulaire (car $r$ est constant), mais elle change de direction à chaque instant car elle est toujours dirigée vers le centre de l'astre attracteur.

💡 À retenir : C'est une force centrale.

C'est un référentiel dont l'origine est le centre du Soleil et dont les trois axes pointent vers trois étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est idéal pour étudier le mouvement des planètes.

💡 À retenir : Le Soleil est considéré comme fixe dans ce référentiel.

Oui, dans le cas d'un mouvement circulaire, le vecteur accélération est purement normal (centripète), donc il est dirigé vers le centre de la trajectoire (le centre de l'astre attracteur).

💡 À retenir : $\vec{a} = \vec{a}_n$.

La vitesse $v = \sqrt{\frac{G M}{R_T + h}}$. Plus l'altitude $h$ augmente, plus le dénominateur augmente, donc plus la vitesse orbitale diminue.

💡 À retenir : Plus on est loin, plus on tourne lentement.

Parce que le mouvement est curviligne. Le repère de Frenet $(\vec{u}, \vec{n})$ permet de séparer l'accélération en deux composantes : tangentielle ($a_t = dv/dt$) et normale ($a_n = v^2/r$), ce qui simplifie énormément les calculs.

💡 À retenir : Indispensable pour les mouvements circulaires.

Oui, elle est valable pour tout corps en orbite autour d'un même astre central, à condition que la trajectoire soit circulaire (ou elliptique avec le demi-grand axe $a$).

💡 À retenir : $T^2/r^3 = Cte$ pour un astre central donné.