Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Le circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité $C$, d'une bobine d'inductance $L$ et de résistance $r$, et d'un conducteur ohmique de résistance $R$.
Équation différentielle : En appliquant la loi d'additivité des tensions ($u_L + u_R + u_C = 0$), on obtient :
$$LC \frac{d^2u_C}{dt^2} + (RC + rC) \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$$
Énergie : L'énergie totale est $E_e = E_C + E_m = \frac{1}{2}Cu_C^2 + \frac{1}{2}Li^2$.
Amortissement : Si $R+r > 0$, l'énergie diminue par effet Joule.
Méthodes à maîtriser
Établir l'équation différentielle à partir de la loi des mailles.
Déterminer graphiquement la pseudo-période $T$ sur un oscillogramme.
Calculer la perte d'énergie entre deux instants : $\Delta E = E(t_2) - E(t_1)$.
Utiliser un dispositif d'entretien pour obtenir des oscillations sinusoïdales.
Exemples corrigés
Calcul de $L$ : Si $T \approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$, alors $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.
Énergie dissipée : $\Delta E = E(T) - E(0)$.
Erreurs fréquentes
Oublier la résistance interne $r$ de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la période propre $T_0$ (théorique) et la pseudo-période $T$ (mesurée).
Croire que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC réel.
🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR
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Est-ce que le condensateur se décharge totalement ?
Dans un régime pseudo-périodique, la tension $u_C$ oscille autour de zéro et finit par s'annuler après un temps très long.
💡 À retenir : L'amortissement finit par stopper le mouvement.
Kifach n-3rf wach l'amortissement kbir wla sghir?
Regarde la courbe de $u_C(t)$.
Si tu vois des oscillations qui diminuent, c'est un régime pseudo-périodique (amortissement faible).
Si la courbe revient à zéro sans osciller, c'est un régime apériodique ou critique (amortissement fort).
💡 À retenir : Plus la résistance totale $(R+r)$ est grande, plus l'amortissement est fort.
Est-ce que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC ?
Non, dans un circuit RLC réel, l'énergie totale diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule dans les résistances $R$ et $r$. Elle se transforme en chaleur.
💡 À retenir : $dE/dt = -(R+r)i^2 < 0$.
Chno hiya l'utilité dyal l'entretien des oscillations ?
L'entretien permet de compenser l'énergie perdue par effet Joule. On utilise un générateur qui délivre une tension proportionnelle à l'intensité $u_G = k \cdot i$. Cela permet d'obtenir des oscillations sinusoïdales entretenues.
💡 À retenir : L'entretien annule l'effet de la résistance totale.
Kifach n-7seb l'inductance L mn l'oscillogramme ?
Mesure la pseudo-période $T$ sur le graphe (distance entre deux sommets).
Utilise la relation $T \approx 2\pi\sqrt{LC}$.
Isole $L$ : $L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}$.
💡 À retenir : Cette formule n'est valable que si l'amortissement est faible.
Pourquoi on dit "oscillations libres" ?
On dit "libres" car le circuit n'est soumis à aucune tension extérieure imposée (générateur de tension) une fois le condensateur chargé. Le système évolue selon ses propres caractéristiques ($L, C, R$).
💡 À retenir : "Libre" = pas d'excitation extérieure.
Est-ce que la période propre T0 dépend de la résistance ?
Non, la période propre $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ne dépend que de $L$ et $C$. La résistance influence seulement l'amortissement et la pseudo-période $T$ (si l'amortissement est très fort).
💡 À retenir : $T_0$ est une caractéristique intrinsèque du circuit LC.
Comment varie l'énergie totale E au cours du temps ?
L'énergie totale $E(t)$ est une fonction décroissante du temps. Elle atteint ses valeurs maximales aux instants où l'énergie est soit purement électrique, soit purement magnétique.
💡 À retenir : La pente de $E(t)$ est toujours négative.
C'est quoi la différence entre T et T0 ?
$T_0$ est la période théorique d'un circuit LC idéal (sans résistance). $T$ est la pseudo-période mesurée dans un circuit RLC réel. En pratique, $T \approx T_0$ si la résistance est faible.
💡 À retenir : $T$ est toujours légèrement supérieure à $T_0$.
Est-ce que le courant i est nul quand uC est maximal ?
Oui, car $i = \frac{dq}{dt} = C \frac{du_C}{dt}$. Si $u_C$ est maximal, sa dérivée est nulle, donc $i = 0$. À cet instant, toute l'énergie est stockée dans le condensateur.
💡 À retenir : $u_C$ max $\implies$ $i = 0$.
Comment calculer la résistance totale d'un circuit ?
Si on connaît la constante de temps ou le taux d'amortissement, on peut l'extraire de l'équation différentielle. Sinon, on utilise la mesure de la pente de la décroissance de l'énergie.
💡 À retenir : $R_{tot} = R + r$.
Pourquoi on utilise un oscilloscope ?
Pour visualiser l'évolution temporelle de la tension $u_C(t)$ et mesurer directement la pseudo-période $T$ et l'amplitude des oscillations.
💡 À retenir : L'oscilloscope est l'outil indispensable pour l'étude expérimentale.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Un circuit RLC série comporte un condensateur de $C = 10 \mu F$, une bobine de $L = 0,5 H$ et une résistance $R = 10 \Omega$. 1) Établir l'équation différentielle. 2) Calculer la période propre $T_0$.
Le circuit RLC série est constitué d'un condensateur de capacité C, d'une bobine d'inductance L et de résistance r, et d'un conducteur ohmique de résistance R.
Équation différentielle : En appliquant la loi d'additivité des tensions (uL+uR+uC=0), on obtient :
LCdt2d2uC+(RC+rC)dtduC+uC=0
Énergie : L'énergie totale est Ee=EC+Em=21CuC2+21Li2.
Amortissement : Si R+r>0, l'énergie diminue par effet Joule.
Méthodes à maîtriser
Établir l'équation différentielle à partir de la loi des mailles.
Déterminer graphiquement la pseudo-période T sur un oscillogramme.
Calculer la perte d'énergie entre deux instants : ΔE=E(t2)−E(t1).
Utiliser un dispositif d'entretien pour obtenir des oscillations sinusoïdales.
Exemples corrigés
Calcul de L : Si T≈T0=2πLC, alors L=4π2CT2.
Énergie dissipée : ΔE=E(T)−E(0).
Erreurs fréquentes
Oublier la résistance interne r de la bobine dans l'équation différentielle.
Confondre la période propre T0 (théorique) et la pseudo-période T (mesurée).
Croire que l'énergie totale se conserve dans un circuit RLC réel.
Quelle est l'unité de la constante LC ?
s−2
s2
F⋅H
Dans un régime pseudo-périodique, la tension uC oscille autour de zéro et finit par s'annuler après un temps très long.
💡 À retenir : L'amortissement finit par stopper le mouvement.
Regarde la courbe de uC(t).
Si tu vois des oscillations qui diminuent, c'est un régime pseudo-périodique (amortissement faible).
Si la courbe revient à zéro sans osciller, c'est un régime apériodique ou critique (amortissement fort).
💡 À retenir : Plus la résistance totale (R+r) est grande, plus l'amortissement est fort.
Non, dans un circuit RLC réel, l'énergie totale diminue au cours du temps à cause de l'effet Joule dans les résistances R et r. Elle se transforme en chaleur.
💡 À retenir : dE/dt=−(R+r)i2<0.
L'entretien permet de compenser l'énergie perdue par effet Joule. On utilise un générateur qui délivre une tension proportionnelle à l'intensité uG=k⋅i. Cela permet d'obtenir des oscillations sinusoïdales entretenues.
💡 À retenir : L'entretien annule l'effet de la résistance totale.
Mesure la pseudo-période T sur le graphe (distance entre deux sommets).
Utilise la relation T≈2πLC.
Isole L : L=4π2CT2.
💡 À retenir : Cette formule n'est valable que si l'amortissement est faible.
On dit "libres" car le circuit n'est soumis à aucune tension extérieure imposée (générateur de tension) une fois le condensateur chargé. Le système évolue selon ses propres caractéristiques (L,C,R).
💡 À retenir : "Libre" = pas d'excitation extérieure.
Non, la période propre T0=2πLC ne dépend que de L et C. La résistance influence seulement l'amortissement et la pseudo-période T (si l'amortissement est très fort).
💡 À retenir : T0 est une caractéristique intrinsèque du circuit LC.
L'énergie totale E(t) est une fonction décroissante du temps. Elle atteint ses valeurs maximales aux instants où l'énergie est soit purement électrique, soit purement magnétique.
💡 À retenir : La pente de E(t) est toujours négative.
T0 est la période théorique d'un circuit LC idéal (sans résistance). T est la pseudo-période mesurée dans un circuit RLC réel. En pratique, T≈T0 si la résistance est faible.
💡 À retenir : T est toujours légèrement supérieure à T0.
Oui, car i=dtdq=CdtduC. Si uC est maximal, sa dérivée est nulle, donc i=0. À cet instant, toute l'énergie est stockée dans le condensateur.
💡 À retenir : uC max ⟹i=0.
Si on connaît la constante de temps ou le taux d'amortissement, on peut l'extraire de l'équation différentielle. Sinon, on utilise la mesure de la pente de la décroissance de l'énergie.
💡 À retenir : Rtot=R+r.
Pour visualiser l'évolution temporelle de la tension uC(t) et mesurer directement la pseudo-période T et l'amplitude des oscillations.
💡 À retenir : L'oscilloscope est l'outil indispensable pour l'étude expérimentale.
Exercice 1
Un circuit RLC série comporte un condensateur de C=10μF, une bobine de L=0,5H et une résistance R=10Ω. 1) Établir l'équation différentielle. 2) Calculer la période propre T0.
Exercice 2
Un circuit RLC a une énergie totale E0=1mJ à t=0. À t=T, l'énergie est E1=0,8mJ. Calculer l'énergie dissipée par effet Joule.
Exercice 3
Soit un circuit RLC. On donne L=0,1H, C=10μF. On veut entretenir les oscillations. Quel dispositif ajouter ?