Physique · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Décroissance radioactive

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Loi de décroissance : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ .
Constante radioactive : $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ (en $s^{-1}$ ).
Activité : $a(t) = \lambda N(t) = a_0 e^{-\lambda t}$ .
Demi-vie : $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.
Lois de Soddy : Conservation du nombre de charge $Z$ et du nombre de masse $A$ .

Méthodes à maîtriser

Passage de la masse $m(t)$ au nombre de noyaux $N(t)$ : $N(t) = \frac{m(t)}{M} N_A$ .
Détermination graphique de $t_{1/2}$ à partir de la courbe $N(t)$ ou $a(t)$ .
Utilisation de la calculatrice pour les fonctions exponentielles et logarithmes népériens.

Exemples corrigés

Calcul de $\lambda$ : Si $t_{1/2} = 5730$ ans, alors $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1,21 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}$ .
Calcul de $N(t)$ : Pour $t = 2 t_{1/2}$ , $N(t) = N_0 e^{-\lambda \frac{2 \ln 2}{\lambda}} = N_0 e^{-2 \ln 2} = N_0/4$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir $t_{1/2}$ en secondes si $\lambda$ est en $s^{-1}$ .
Confondre $N(t)$ (noyaux restants) et $N_{dés}(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ (noyaux désintégrés).
Utiliser la calculatrice en mode degré au lieu de radian (bien que peu fréquent ici, attention aux calculs intermédiaires).

L'essentiel du cours

Loi de décroissance : $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
Constante radioactive : $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}$ (en $s^{-1}$).
Activité : $a(t) = \lambda N(t) = a_0 e^{-\lambda t}$.
Demi-vie : $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.
Lois de Soddy : Conservation du nombre de charge $Z$ et du nombre de masse $A$.

Méthodes à maîtriser

Passage de la masse $m(t)$ au nombre de noyaux $N(t)$ : $N(t) = \frac{m(t)}{M} N_A$.
Détermination graphique de $t_{1/2}$ à partir de la courbe $N(t)$ ou $a(t)$.
Utilisation de la calculatrice pour les fonctions exponentielles et logarithmes népériens.

Exemples corrigés

Calcul de $\lambda$ : Si $t_{1/2} = 5730$ ans, alors $\lambda = \frac{\ln 2}{5730} \approx 1,21 \times 10^{-4} \text{ an}^{-1}$.
Calcul de $N(t)$ : Pour $t = 2 t_{1/2}$, $N(t) = N_0 e^{-\lambda \frac{2 \ln 2}{\lambda}} = N_0 e^{-2 \ln 2} = N_0/4$.

Erreurs fréquentes

Oublier de convertir $t_{1/2}$ en secondes si $\lambda$ est en $s^{-1}$.
Confondre $N(t)$ (noyaux restants) et $N_{dés}(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ (noyaux désintégrés).
Utiliser la calculatrice en mode degré au lieu de radian (bien que peu fréquent ici, attention aux calculs intermédiaires).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Décroissance radioactive

1/4

La demi-vie est le temps au bout duquel :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que l'activité peut devenir nulle ?

Théoriquement, l'activité tend vers zéro quand $t$ tend vers l'infini ( $a(t) = a_0 e^{-\lambda t}$ ). Pratiquement, au bout de plusieurs périodes, elle devient négligeable.

💡 À retenir : L'activité ne s'annule jamais mathématiquement.

Théoriquement, l'activité tend vers zéro quand $t$ tend vers l'infini ($a(t) = a_0 e^{-\lambda t}$). Pratiquement, au bout de plusieurs périodes, elle devient négligeable.

💡 À retenir : L'activité ne s'annule jamais mathématiquement.

Pourquoi utilise-t-on NA dans les calculs ?

Le nombre d'Avogadro $N_A$ permet de convertir la quantité de matière (en moles) en nombre de noyaux. Comme on ne peut pas compter les noyaux un par un, on passe par la masse $m$ ou la mole $n$ .

💡 À retenir : $N = n \times N_A = \frac{m}{M} \times N_A$ .

Le nombre d'Avogadro $N_A$ permet de convertir la quantité de matière (en moles) en nombre de noyaux. Comme on ne peut pas compter les noyaux un par un, on passe par la masse $m$ ou la mole $n$.

💡 À retenir : $N = n \times N_A = \frac{m}{M} \times N_A$.

Kifach n3ref wach l'nawat beta^- aw beta^+ ?

$\beta^-$ : L'nawat 3ndha fyd dyal neutronat (Z kaysgharr, A kaysbt).
$\beta^+$ : L'nawat 3ndha fyd dyal protonat (Z kaykbr, A kaysbt).

💡 À retenir : $\beta^-$ émet un électron, $\beta^+$ émet un positron.

$\beta^-$ : L'nawat 3ndha fyd dyal neutronat (Z kaysgharr, A kaysbt).
$\beta^+$ : L'nawat 3ndha fyd dyal protonat (Z kaykbr, A kaysbt).

💡 À retenir : $\beta^-$ émet un électron, $\beta^+$ émet un positron.

Est-ce que la constante radioactive dépend de la température ?

Non, la désintégration radioactive est un phénomène purement nucléaire et aléatoire. Elle ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l'état chimique de l'échantillon.

💡 À retenir : La constante $\lambda$ est propre à chaque noyau radioactif.

Non, la désintégration radioactive est un phénomène purement nucléaire et aléatoire. Elle ne dépend ni de la température, ni de la pression, ni de l'état chimique de l'échantillon.

💡 À retenir : La constante $\lambda$ est propre à chaque noyau radioactif.

Kifach n7seb t{1/2} mn l'mbyan ila kan 3ndi l'mbyan dyal N(t) ?

Chouf l'qima dyal $N_0$ (l'waqt $t=0$ ).
Qssm $N_0$ 3la 2 (ya3ni $N_0/2$ ).
Dreb l'khat l'ofqi mn $N_0/2$ hta tqiss l'mnhna.
L'isqatt dyal had noqta 3la l'mihwar dyal l'waqt (t) kaysawi $t_{1/2}$ .

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $N_0/2$ .

Chouf l'qima dyal $N_0$ (l'waqt $t=0$).
Qssm $N_0$ 3la 2 (ya3ni $N_0/2$).
Dreb l'khat l'ofqi mn $N_0/2$ hta tqiss l'mnhna.
L'isqatt dyal had noqta 3la l'mihwar dyal l'waqt (t) kaysawi $t_{1/2}$.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $N_0/2$.

Quelle est la différence entre activité et nombre de noyaux ?

Le nombre de noyaux $N(t)$ représente la quantité de matière radioactive présente à l'instant $t$ . L'activité $a(t)$ représente la vitesse de désintégration, c'est-à-dire le nombre de désintégrations par seconde.

💡 À retenir : $a(t) = \lambda N(t)$ .

Le nombre de noyaux $N(t)$ représente la quantité de matière radioactive présente à l'instant $t$. L'activité $a(t)$ représente la vitesse de désintégration, c'est-à-dire le nombre de désintégrations par seconde.

💡 À retenir : $a(t) = \lambda N(t)$.

Chno hiya l'far9 bin l'nawat li katzd (fils) w l'nawat l'asliya ?

L'nawat l'asliya (père) hiya li katftt. L'nawat l'fils hiya l'nawat jdida li katwld mora l'tftt.

💡 À retenir : La somme des $A$ et des $Z$ se conserve entre le père et le fils + particule.

L'nawat l'asliya (père) hiya li katftt. L'nawat l'fils hiya l'nawat jdida li katwld mora l'tftt.

💡 À retenir : La somme des $A$ et des $Z$ se conserve entre le père et le fils + particule.

Comment calculer le nombre de noyaux désintégrés ?

Le nombre de noyaux désintégrés $N_d(t)$ est la différence entre le nombre initial et le nombre restant : $N_d(t) = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$ .

💡 À retenir : $N_{restants} + N_{désintégrés} = N_0$ .

Le nombre de noyaux désintégrés $N_d(t)$ est la différence entre le nombre initial et le nombre restant : $N_d(t) = N_0 - N(t) = N_0(1 - e^{-\lambda t})$.

💡 À retenir : $N_{restants} + N_{désintégrés} = N_0$.

Est-ce que la masse d'un échantillon radioactif diminue ?

Oui, car les noyaux radioactifs se transforment en noyaux fils. La masse totale diminue légèrement car une partie de l'énergie est libérée sous forme de rayonnement (défaut de masse).

💡 À retenir : La masse diminue au cours du temps.

Pourquoi on utilise le logarithme népérien dans les calculs ?

On utilise le $\ln$ pour "annuler" l'exponentielle. Par exemple, pour trouver $t$ dans $N = N_0 e^{-\lambda t}$ , on fait $\ln(N/N_0) = -\lambda t$ .

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$ .

On utilise le $\ln$ pour "annuler" l'exponentielle. Par exemple, pour trouver $t$ dans $N = N_0 e^{-\lambda t}$, on fait $\ln(N/N_0) = -\lambda t$.

💡 À retenir : $\ln(e^x) = x$.

L'activité est-elle toujours en Becquerel ?

Oui, dans le système international, l'activité se mesure en Becquerel (Bq). 1 Bq correspond à une désintégration par seconde.

💡 À retenir : $1 \text{ Bq} = 1 \text{ s}^{-1}$ .

Oui, dans le système international, l'activité se mesure en Becquerel (Bq). 1 Bq correspond à une désintégration par seconde.

💡 À retenir : $1 \text{ Bq} = 1 \text{ s}^{-1}$.

Est-ce que la période radioactive change si on chauffe l'échantillon ?

Non, la période radioactive est une caractéristique intrinsèque du noyau. Elle ne dépend pas des conditions extérieures.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est une constante propre au nucléide.

Non, la période radioactive est une caractéristique intrinsèque du noyau. Elle ne dépend pas des conditions extérieures.

💡 À retenir : $t_{1/2}$ est une constante propre au nucléide.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5,27$ ans. Calculer l'activité de l'échantillon après 10 ans.

Exercice 1

Un échantillon de Cobalt 60 a une activité initiale $a_0 = 10^9$ Bq. Sa demi-vie est $t_{1/2} = 5,27$ ans. Calculer l'activité de l'échantillon après 10 ans.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Une source radioactive contient initialement $N_0 = 10^{20}$ noyaux. Après 24 heures, il reste $2,5 \times 10^{19}$ noyaux. Calculer la demi-vie $t_{1/2}$ de cet isotope.

Exercice 2

Une source radioactive contient initialement $N_0 = 10^{20}$ noyaux. Après 24 heures, il reste $2,5 \times 10^{19}$ noyaux. Calculer la demi-vie $t_{1/2}$ de cet isotope.

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Exercice 3

Un échantillon contient $m = 1$ mg de Carbone 14. Sachant que $t_{1/2} = 5730$ ans, calculer le nombre de désintégrations par seconde (activité) à $t=0$ . (Données : $M(C) = 14$ g/mol, $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ mol $^{-1}$ ).

Exercice 3

Un échantillon contient $m = 1$ mg de Carbone 14. Sachant que $t_{1/2} = 5730$ ans, calculer le nombre de désintégrations par seconde (activité) à $t=0$. (Données : $M(C) = 14$ g/mol, $N_A = 6,02 \times 10^{23}$ mol$^{-1}$).

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