Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

المعادلات و المتراجحات

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une équation du premier degré à une inconnue $x$ s'écrit sous la forme $ax + b = 0$ (avec $a \neq 0$ ). Sa solution est $x = -\frac{b}{a}$ . Pour les inéquations, on utilise les propriétés de l'ordre : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. L'équation produit $A(x) \times B(x) = 0$ équivaut à $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Résoudre $ax+b=0$ : Isoler $x$ en déplaçant les nombres sans $x$ à droite.
Développer et factoriser : Utiliser les identités $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ et $(a-b)(a+b)$ .
Tableau de signe : Pour résoudre $ax+b \geq 0$ , on cherche d'abord la racine $-b/a$ puis on applique la règle du signe (contraire de $a$ avant la racine, signe de $a$ après).

Exemples corrigés

Équation : $3x - 6 = 0 \iff 3x = 6 \iff x = \frac{6}{3} = 2$ .
Inéquation : $-2x + 4 \geq 0 \iff -2x \geq -4 \iff x \leq \frac{-4}{-2} \iff x \leq 2$ . L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, 2]$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors d'une division par un nombre négatif.
Se tromper dans les signes lors du développement d'une expression avec un signe « - » devant une parenthèse.
Confondre l'ensemble des solutions d'une équation (un nombre) et d'une inéquation (un intervalle).

L'essentiel du cours

Une équation du premier degré à une inconnue $x$ s'écrit sous la forme $ax + b = 0$ (avec $a \neq 0$). Sa solution est $x = -\frac{b}{a}$. Pour les inéquations, on utilise les propriétés de l'ordre : si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l'inégalité change. L'équation produit $A(x) \times B(x) = 0$ équivaut à $A(x) = 0$ ou $B(x) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Résoudre $ax+b=0$ : Isoler $x$ en déplaçant les nombres sans $x$ à droite.
Développer et factoriser : Utiliser les identités $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $(a-b)(a+b)$.
Tableau de signe : Pour résoudre $ax+b \geq 0$, on cherche d'abord la racine $-b/a$ puis on applique la règle du signe (contraire de $a$ avant la racine, signe de $a$ après).

Exemples corrigés

Équation : $3x - 6 = 0 \iff 3x = 6 \iff x = \frac{6}{3} = 2$.
Inéquation : $-2x + 4 \geq 0 \iff -2x \geq -4 \iff x \leq \frac{-4}{-2} \iff x \leq 2$. L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, 2]$.

Erreurs fréquentes

Oublier de changer le sens de l'inégalité lors d'une division par un nombre négatif.
Se tromper dans les signes lors du développement d'une expression avec un signe « - » devant une parenthèse.
Confondre l'ensemble des solutions d'une équation (un nombre) et d'une inéquation (un intervalle).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 المعادلات و المتراجحات

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La solution de $x + 5 = 10$ est :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l'equation 3ndha 7al wla la ?

Résous l'équation normalement.
Si tu trouves une valeur pour $x$ (ex: $x=5$ ), alors elle a une solution unique.
Si tu tombes sur une absurdité comme $0 = 5$ , alors il n'y a pas de solution ( $S = \emptyset$ ).
Si tu trouves $0 = 0$ , alors tout nombre réel est solution ( $S = \mathbb{R}$ ).

💡 À retenir : Une équation du premier degré a soit une solution unique, soit aucune, soit une infinité.

Résous l'équation normalement.
Si tu trouves une valeur pour $x$ (ex: $x=5$), alors elle a une solution unique.
Si tu tombes sur une absurdité comme $0 = 5$, alors il n'y a pas de solution ($S = \emptyset$).
Si tu trouves $0 = 0$, alors tout nombre réel est solution ($S = \mathbb{R}$).

💡 À retenir : Une équation du premier degré a soit une solution unique, soit aucune, soit une infinité.

Est-ce que je dois toujours faire un tableau de signe pour une inéquation ?

Pas forcément pour le premier degré. Si l'inéquation est simple comme $ax+b \geq 0$ , tu peux isoler $x$ directement. Le tableau de signe est indispensable quand tu as un produit ou un quotient de plusieurs expressions (ex: $(x-1)(x+2) \geq 0$ ).

💡 À retenir : Le tableau de signe est ton meilleur outil pour ne pas te tromper sur les intervalles.

Pas forcément pour le premier degré. Si l'inéquation est simple comme $ax+b \geq 0$, tu peux isoler $x$ directement. Le tableau de signe est indispensable quand tu as un produit ou un quotient de plusieurs expressions (ex: $(x-1)(x+2) \geq 0$).

💡 À retenir : Le tableau de signe est ton meilleur outil pour ne pas te tromper sur les intervalles.

Chno hiya l'farq bin l'equation w l'inéquation ?

L'équation utilise le signe « = » : on cherche la valeur exacte de $x$ .
L'inéquation utilise « <, >, $\leq, \geq$ » : on cherche tous les nombres qui vérifient la condition.

💡 À retenir : L'équation donne un point, l'inéquation donne un intervalle.

L'équation utilise le signe « = » : on cherche la valeur exacte de $x$.
L'inéquation utilise « <, >, $\leq, \geq$ » : on cherche tous les nombres qui vérifient la condition.

💡 À retenir : L'équation donne un point, l'inéquation donne un intervalle.

Comment résoudre x^2 = 9 ?

Ne dis pas juste $x=3$ .
$x^2 = 9$ signifie $x^2 - 9 = 0$ .
On utilise l'identité remarquable $(x-3)(x+3) = 0$ .
Donc $x-3=0$ ou $x+3=0$ .
Les solutions sont $x=3$ ou $x=-3$ .

💡 À retenir : Un carré a toujours deux racines opposées (si le nombre est positif).

Ne dis pas juste $x=3$.
$x^2 = 9$ signifie $x^2 - 9 = 0$.
On utilise l'identité remarquable $(x-3)(x+3) = 0$.
Donc $x-3=0$ ou $x+3=0$.
Les solutions sont $x=3$ ou $x=-3$.

💡 À retenir : Un carré a toujours deux racines opposées (si le nombre est positif).

Wach momkin n9sm 3la x ?

Non, jamais ! Tu ne sais pas si $x$ est nul ou non. Si tu divises par $x$ et que $x=0$ , tu fais une erreur mathématique grave. Il faut toujours factoriser pour résoudre.

💡 À retenir : On ne divise jamais par une inconnue.

Non, jamais ! Tu ne sais pas si $x$ est nul ou non. Si tu divises par $x$ et que $x=0$, tu fais une erreur mathématique grave. Il faut toujours factoriser pour résoudre.

💡 À retenir : On ne divise jamais par une inconnue.

Comment représenter x 3 sur une droite ?

Trace une droite graduée.
Place le nombre 3.
Hachure la partie à droite de 3.
Utilise un crochet ouvert « ] » vers l'extérieur du côté du 3 car le signe est « > » (strict).

💡 À retenir : Crochet ouvert pour « strict », crochet fermé pour « large ».

Est-ce que l'ordre des étapes est important dans une inéquation ?

Oui, il faut regrouper les $x$ d'un côté et les nombres de l'autre. L'étape la plus critique est la division par un nombre négatif : c'est là que la plupart des élèves oublient d'inverser le symbole.

💡 À retenir : Si tu divises par un négatif, le symbole « $\leq$ » devient « $\geq$ ».

Pourquoi on écrit S = emptyset ?

C'est le symbole mathématique pour dire « ensemble vide ». On l'utilise quand, après calcul, on arrive à une contradiction comme $0 = 7$ . Cela signifie qu'aucun nombre réel ne peut vérifier l'équation.

💡 À retenir : $\emptyset$ signifie « aucune solution ».

C'est le symbole mathématique pour dire « ensemble vide ». On l'utilise quand, après calcul, on arrive à une contradiction comme $0 = 7$. Cela signifie qu'aucun nombre réel ne peut vérifier l'équation.

💡 À retenir : $\emptyset$ signifie « aucune solution ».

Comment savoir si j'ai bien factorisé ?

Développe ton résultat mentalement. Si tu retrouves l'expression de départ, alors ta factorisation est correcte.

💡 À retenir : Le développement est la preuve de la factorisation.

Est-ce que x^2 + 1 = 0 a une solution ?

Non, car $x^2$ est toujours positif ou nul. Donc $x^2 + 1$ sera toujours au moins égal à 1. Il ne peut jamais être égal à 0.

💡 À retenir : Un carré plus un nombre positif n'est jamais nul.

Non, car $x^2$ est toujours positif ou nul. Donc $x^2 + 1$ sera toujours au moins égal à 1. Il ne peut jamais être égal à 0.

💡 À retenir : Un carré plus un nombre positif n'est jamais nul.

Comment gérer les parenthèses avec un signe moins devant ?

Le signe moins devant la parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur. Exemple : $-(2x - 3) = -2x + 3$ .

💡 À retenir : Le « moins » distribue son effet sur tout le contenu.

Le signe moins devant la parenthèse change le signe de tous les termes à l'intérieur. Exemple : $-(2x - 3) = -2x + 3$.

💡 À retenir : Le « moins » distribue son effet sur tout le contenu.

C'est quoi la différence entre x in [2, 5] et x in {2, 5} ?

$[2, 5]$ est un intervalle : cela contient tous les nombres entre 2 et 5 (ex: 2.1, 3, 4.99). $\{2, 5\}$ est un ensemble qui ne contient que deux nombres précis : 2 et 5.

💡 À retenir : Les crochets désignent un intervalle continu.

$[2, 5]$ est un intervalle : cela contient tous les nombres entre 2 et 5 (ex: 2.1, 3, 4.99). ${2, 5}$ est un ensemble qui ne contient que deux nombres précis : 2 et 5.