Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

المعلم في المستوى للجذع المشترك الأدبي

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans le plan, un repère est défini par un point $O$ (origine) et deux axes gradués $(OI)$ et $(OJ)$ perpendiculaires.

Tout point $M$ est repéré par un couple $(x_M, y_M)$ où $x_M$ est l'abscisse et $y_M$ l'ordonnée.
Pour deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ , le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$ .
La distance $AB$ est donnée par : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .
Les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ sont : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$ .

Méthodes à maîtriser

Lire les coordonnées d'un point : Projeter orthogonalement sur l'axe des abscisses puis sur l'axe des ordonnées.
Calculer les coordonnées d'un vecteur : Toujours faire (fin - début).
Calculer une distance : Appliquer la formule de la racine carrée en respectant les signes.
Calculer le milieu : Faire la moyenne arithmétique des abscisses et des ordonnées.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$ . $\vec{AB}(4-1, 6-2) = \vec{AB}(3, 4)$ . $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ .

Exemple 2 : Milieu $I$ de $[AB]$ : $x_I = \frac{1+4}{2} = 2,5$ ; $y_I = \frac{2+6}{2} = 4$ . Donc $I(2,5 ; 4)$ .

Erreurs fréquentes

Inverser l'abscisse et l'ordonnée dans le couple $(x, y)$ .
Oublier les parenthèses lors du calcul des coordonnées d'un vecteur avec des nombres négatifs (ex: $x_B - (-x_A)$ ).
Confondre la formule du milieu (somme divisée par 2) avec celle du vecteur (différence).

L'essentiel du cours

Dans le plan, un repère est défini par un point $O$ (origine) et deux axes gradués $(OI)$ et $(OJ)$ perpendiculaires.

Tout point $M$ est repéré par un couple $(x_M, y_M)$ où $x_M$ est l'abscisse et $y_M$ l'ordonnée.
Pour deux points $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$, le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées : $\vec{AB}(x_B - x_A, y_B - y_A)$.
La distance $AB$ est donnée par : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Les coordonnées du milieu $I$ du segment $[AB]$ sont : $I\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right)$.

Méthodes à maîtriser

Lire les coordonnées d'un point : Projeter orthogonalement sur l'axe des abscisses puis sur l'axe des ordonnées.
Calculer les coordonnées d'un vecteur : Toujours faire (fin - début).
Calculer une distance : Appliquer la formule de la racine carrée en respectant les signes.
Calculer le milieu : Faire la moyenne arithmétique des abscisses et des ordonnées.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(4, 6)$. $\vec{AB}(4-1, 6-2) = \vec{AB}(3, 4)$. $AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Exemple 2 : Milieu $I$ de $[AB]$ : $x_I = \frac{1+4}{2} = 2,5$ ; $y_I = \frac{2+6}{2} = 4$. Donc $I(2,5 ; 4)$.

Erreurs fréquentes

Inverser l'abscisse et l'ordonnée dans le couple $(x, y)$.
Oublier les parenthèses lors du calcul des coordonnées d'un vecteur avec des nombres négatifs (ex: $x_B - (-x_A)$).
Confondre la formule du milieu (somme divisée par 2) avec celle du vecteur (différence).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 المعلم في المستوى للجذع المشترك الأدبي

1/4

Si $A(2, 3)$ et $B(5, 7)$ , quelles sont les coordonnées de $\vec{AB}$ ?

Si $A(2, 3)$ et $B(5, 7)$, quelles sont les coordonnées de $\vec{AB}$ ?

❓ Questions fréquentes

C'est quoi un repère orthonormé ?

Un repère est dit orthonormé si les deux axes sont perpendiculaires (ortho) et si la graduation est la même sur les deux axes (normé, c'est-à-dire $OI = OJ = 1$ ).

💡 À retenir : Dans un repère orthonormé, on peut utiliser la formule de la distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ .

Un repère est dit orthonormé si les deux axes sont perpendiculaires (ortho) et si la graduation est la même sur les deux axes (normé, c'est-à-dire $OI = OJ = 1$).

💡 À retenir : Dans un repère orthonormé, on peut utiliser la formule de la distance $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Kifach n7seb l-i7dathiyat dyal motajiha?

Bach t7seb l-i7dathiyat dyal $\vec{AB}$ , katchouf no9ta li saliti fiha (B) o no9ta li bdit mnha (A).

Diri $x_B - x_A$ bach t9a l-afsol.
Diri $y_B - y_A$ bach t9a l-ortob.

💡 À retenir : Dima (l-kher - l-awal).

Bach t7seb l-i7dathiyat dyal $\vec{AB}$, katchouf no9ta li saliti fiha (B) o no9ta li bdit mnha (A).

Diri $x_B - x_A$ bach t9a l-afsol.
Diri $y_B - y_A$ bach t9a l-ortob.

💡 À retenir : Dima (l-kher - l-awal).

Est-ce que l'ordre des points change la distance AB ?

Non, la distance $AB$ est la même que la distance $BA$ . La formule utilise des carrés, donc le signe négatif disparaît.

💡 À retenir : La distance est toujours un nombre positif.

Non, la distance $AB$ est la même que la distance $BA$. La formule utilise des carrés, donc le signe négatif disparaît.

💡 À retenir : La distance est toujours un nombre positif.

Chno hiya l-far9 bin l-i7dathiyat dyal no9ta o l-i7dathiyat dyal motajiha?

No9ta hiya mawdi3 f-l-me3lam (b7al chi 3onwan). Motajiha hiya "tari9" awla "i9tijah" bin joj no9at.

💡 À retenir : No9ta katktab $A(x,y)$ , motajiha katktab $\vec{u}(x,y)$ (bla 9awsayn f-l-ktaba l-faransiya).

No9ta hiya mawdi3 f-l-me3lam (b7al chi 3onwan). Motajiha hiya "tari9" awla "i9tijah" bin joj no9at.

💡 À retenir : No9ta katktab $A(x,y)$, motajiha katktab $\vec{u}(x,y)$ (bla 9awsayn f-l-ktaba l-faransiya).

Comment calculer le milieu d'un segment ?

Pour le milieu $I$ du segment $[AB]$ :

Additionne les abscisses : $x_A + x_B$ .
Divise par 2.
Fais la même chose pour les ordonnées : $(y_A + y_B) / 2$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne des coordonnées.

Pour le milieu $I$ du segment $[AB]$ :

Additionne les abscisses : $x_A + x_B$.
Divise par 2.
Fais la même chose pour les ordonnées : $(y_A + y_B) / 2$.

💡 À retenir : C'est la moyenne des coordonnées.

Kifach n3ref wach no9ta katnmi l-mi7war l-afasir?

No9ta katnmi l-mi7war l-afasir ila kan l-ortob dyalha (y) kaysawi sifr.

💡 À retenir : Si $M(x, 0)$ , alors $M$ est sur l'axe des abscisses.

No9ta katnmi l-mi7war l-afasir ila kan l-ortob dyalha (y) kaysawi sifr.

💡 À retenir : Si $M(x, 0)$, alors $M$ est sur l'axe des abscisses.

Peut-on avoir des coordonnées négatives ?

Oui, bien sûr. Les axes sont gradués avec des nombres positifs à droite/en haut et négatifs à gauche/en bas.

💡 À retenir : Le signe dépend du quadrant où se trouve le point.

Est-ce que la formule de la distance marche si le repère n'est pas orthonormé ?

Non, la formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé (à vérifier par le professeur).

💡 À retenir : Vérifie toujours si l'énoncé précise "repère orthonormé".

Non, la formule $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$ n'est valable que dans un repère orthonormé (à vérifier par le professeur).

💡 À retenir : Vérifie toujours si l'énoncé précise "repère orthonormé".

Pourquoi on utilise des parenthèses dans (xB - xA) ?

Pour ne pas se tromper avec les signes. Si $x_A$ est négatif, tu auras $x_B - (-x_A)$ , ce qui devient $x_B + x_A$ .

💡 À retenir : Attention au signe "moins" devant une parenthèse !

Pour ne pas se tromper avec les signes. Si $x_A$ est négatif, tu auras $x_B - (-x_A)$, ce qui devient $x_B + x_A$.

💡 À retenir : Attention au signe "moins" devant une parenthèse !

Comment savoir si deux vecteurs sont égaux ?

Deux vecteurs $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ sont égaux si et seulement si $x = x'$ et $y = y'$ .

💡 À retenir : Ils doivent avoir la même abscisse et la même ordonnée.

Deux vecteurs $\vec{u}(x, y)$ et $\vec{v}(x', y')$ sont égaux si et seulement si $x = x'$ et $y = y'$.

💡 À retenir : Ils doivent avoir la même abscisse et la même ordonnée.

Est-ce que je peux calculer la distance avec yA - yB au lieu de yB - yA ?

Oui, car $(y_A - y_B)^2$ est égal à $(y_B - y_A)^2$ . Le résultat sera le même.

💡 À retenir : Le carré annule l'ordre de la soustraction.

Oui, car $(y_A - y_B)^2$ est égal à $(y_B - y_A)^2$. Le résultat sera le même.

💡 À retenir : Le carré annule l'ordre de la soustraction.

Chno l-fayda mn had l-me3lam?

L-me3lam kaykhlina n7eddo l-mawdi3 dyal ay 7aja f-l-wada3 o n7esbo l-masafat bin l-achya2 b-tari9a riyadiya.

💡 À retenir : C'est la base de la géométrie analytique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$ , on considère les points $A(1, 3)$ et $B(4, 7)$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$ .
Calculer la distance $AB$ .
Déterminer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[AB]$ .

Exercice 1

Dans un repère orthonormé $(O, I, J)$, on considère les points $A(1, 3)$ et $B(4, 7)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
Calculer la distance $AB$.
Déterminer les coordonnées du point $M$ milieu du segment $[AB]$.

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Exercice 2

Soient $A(-2, 1)$ et $B(2, 4)$ .

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{BA}$ .
Soit $C$ un point tel que $\vec{AC} = \vec{AB}$ . Que peut-on dire du point $C$ ?
Calculer la distance $AC$ .

Exercice 2

Soient $A(-2, 1)$ et $B(2, 4)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{BA}$.
Soit $C$ un point tel que $\vec{AC} = \vec{AB}$. Que peut-on dire du point $C$ ?
Calculer la distance $AC$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, on donne $A(0, 2)$ , $B(3, 2)$ et $C(0, 6)$ .

Calculer les distances $AB$ , $AC$ et $BC$ .
Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier.

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, on donne $A(0, 2)$, $B(3, 2)$ et $C(0, 6)$.

Calculer les distances $AB$, $AC$ et $BC$.
Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Justifier.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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