Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Les nombres réels ( $\mathbb{R}$ ) regroupent tous les nombres utilisés au tronc commun lettres.

Priorités : On effectue d'abord les parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications/divisions, et enfin les additions/soustractions.
Puissances : Pour tout $a \in \mathbb{R}^*$ $a \in R^{*}$ et $n, m \in \mathbb{Z}$ $n, m \in Z$ :
- $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- $(a^n)^m = a^{n \times m}$
- $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
Développement : $k(a+b) = ka + kb$ et $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$ .
Factorisation : $ka + kb = k(a+b)$ .

Méthodes à maîtriser

Simplifier une expression numérique en respectant les priorités.
Utiliser les règles des puissances pour réduire une écriture.
Développer une expression littérale simple.
Factoriser en identifiant un facteur commun.

Exemples corrigés

Calcul : $A = 5 + 3 \times 2 = 5 + 6 = 11$ . (Ne pas faire $8 \times 2$ ).
Puissances : $B = 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$ .
Développement : $C = 3(x + 4) = 3x + 12$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que la multiplication est prioritaire sur l'addition.
Confondre $a^n \times a^m$ avec $a^n + a^m$ .
Oublier le signe « moins » lors du développement d'une parenthèse précédée d'un signe moins : $-(x - 2) = -x + 2$ .

L'essentiel du cours

Les nombres réels ($\mathbb{R}$) regroupent tous les nombres utilisés au tronc commun lettres.

Priorités : On effectue d'abord les parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications/divisions, et enfin les additions/soustractions.
Puissances : Pour tout $a \in \mathbb{R}^*$ et $n, m \in \mathbb{Z}$ :
- $a^n \times a^m = a^{n+m}$
- $(a^n)^m = a^{n \times m}$
- $\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$
Développement : $k(a+b) = ka + kb$ et $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
Factorisation : $ka + kb = k(a+b)$.

Méthodes à maîtriser

Simplifier une expression numérique en respectant les priorités.
Utiliser les règles des puissances pour réduire une écriture.
Développer une expression littérale simple.
Factoriser en identifiant un facteur commun.

Exemples corrigés

Calcul : $A = 5 + 3 \times 2 = 5 + 6 = 11$. (Ne pas faire $8 \times 2$).
Puissances : $B = 2^3 \times 2^2 = 2^{3+2} = 2^5 = 32$.
Développement : $C = 3(x + 4) = 3x + 12$.

Erreurs fréquentes

Oublier que la multiplication est prioritaire sur l'addition.
Confondre $a^n \times a^m$ avec $a^n + a^m$.
Oublier le signe « moins » lors du développement d'une parenthèse précédée d'un signe moins : $-(x - 2) = -x + 2$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية

1/4

Quelle est la valeur de $2 + 3 \times 4$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que 2^3 times 2^4 donne 4^7 ?

Non, c'est une erreur classique. La règle est $a^n \times a^m = a^{n+m}$ . Ici, la base est la même (2), donc on garde la base et on additionne les exposants : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ .

💡 À retenir : On ne multiplie jamais les bases si elles sont identiques, on additionne seulement les exposants.

Non, c'est une erreur classique. La règle est $a^n \times a^m = a^{n+m}$. Ici, la base est la même (2), donc on garde la base et on additionne les exposants : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.

💡 À retenir : On ne multiplie jamais les bases si elles sont identiques, on additionne seulement les exposants.

Kifach n7seb 3 - 2 times 5 wach nbdaw b 3-2 wla 2 times 5 ?

D'après les règles de priorité, la multiplication est prioritaire sur la soustraction.

Calcule d'abord $2 \times 5 = 10$ .
Ensuite, fais la soustraction : $3 - 10 = -7$ .

💡 À retenir : Multiplication et division passent toujours avant l'addition et la soustraction.

D'après les règles de priorité, la multiplication est prioritaire sur la soustraction.

Calcule d'abord $2 \times 5 = 10$.
Ensuite, fais la soustraction : $3 - 10 = -7$.

💡 À retenir : Multiplication et division passent toujours avant l'addition et la soustraction.

Est-ce que je peux simplifier frac{x+5}{5} en x+1 ?

Non, c'est interdit. Le 5 au dénominateur est lié à toute l'expression $(x+5)$ . Pour simplifier, il faut que le 5 soit un facteur commun à tous les termes du numérateur. Ici, on ne peut pas simplifier.

💡 À retenir : On ne simplifie que les facteurs (multiplications), jamais les termes (additions).

Non, c'est interdit. Le 5 au dénominateur est lié à toute l'expression $(x+5)$. Pour simplifier, il faut que le 5 soit un facteur commun à tous les termes du numérateur. Ici, on ne peut pas simplifier.

💡 À retenir : On ne simplifie que les facteurs (multiplications), jamais les termes (additions).

Chno hiya l-farq bin l-moqabil w l-maqloub ?

L'opposé de $a$ est $-a$ (leur somme est 0). Exemple : l'opposé de 5 est -5.
L'inverse de $a$ est $\frac{1}{a}$ (leur produit est 1). Exemple : l'inverse de 5 est $\frac{1}{5}$ .

💡 À retenir : Opposé = changement de signe ; Inverse = passage au dénominateur.

L'opposé de $a$ est $-a$ (leur somme est 0). Exemple : l'opposé de 5 est -5.
L'inverse de $a$ est $\frac{1}{a}$ (leur produit est 1). Exemple : l'inverse de 5 est $\frac{1}{5}$.

💡 À retenir : Opposé = changement de signe ; Inverse = passage au dénominateur.

Comment développer (x+2)(x+3) ?

On utilise la double distributivité :

$x \times x = x^2$
$x \times 3 = 3x$
$2 \times x = 2x$
$2 \times 3 = 6$ Le résultat est $x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ .

💡 À retenir : Chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde.

On utilise la double distributivité :

$x \times x = x^2$
$x \times 3 = 3x$
$2 \times x = 2x$
$2 \times 3 = 6$ Le résultat est $x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$.

💡 À retenir : Chaque terme de la première parenthèse doit multiplier chaque terme de la seconde.

Kifach n3mel 4x + 8 ?

Pour factoriser, cherche le facteur commun :

On remarque que $8 = 4 \times 2$ .
L'expression devient $4x + 4 \times 2$ .
Le facteur commun est 4, donc on le met en dehors : $4(x + 2)$ .

💡 À retenir : La factorisation est l'opération inverse du développement.

Pour factoriser, cherche le facteur commun :

On remarque que $8 = 4 \times 2$.
L'expression devient $4x + 4 \times 2$.
Le facteur commun est 4, donc on le met en dehors : $4(x + 2)$.

💡 À retenir : La factorisation est l'opération inverse du développement.

Est-ce que (-3)^2 est égal à -9 ?

Non, $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ . Le résultat est positif car le signe « moins » est inclus dans le carré. Si tu avais écrit $-3^2$ , alors le résultat serait $-9$ car seul le 3 est au carré.

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout pour les nombres négatifs au carré.

Non, $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$. Le résultat est positif car le signe « moins » est inclus dans le carré. Si tu avais écrit $-3^2$, alors le résultat serait $-9$ car seul le 3 est au carré.

💡 À retenir : Les parenthèses changent tout pour les nombres négatifs au carré.

Comment calculer 2^0 ?

Par convention, pour tout nombre réel $a$ non nul, $a^0 = 1$ . Donc $2^0 = 1$ .

💡 À retenir : N'importe quel nombre (sauf 0) à la puissance 0 vaut toujours 1.

Par convention, pour tout nombre réel $a$ non nul, $a^0 = 1$. Donc $2^0 = 1$.

💡 À retenir : N'importe quel nombre (sauf 0) à la puissance 0 vaut toujours 1.

Est-ce que a+b au carré est égal à a^2 + b^2 ?

Non, c'est une erreur très fréquente. $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$ .

💡 À retenir : Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés, il y a un terme supplémentaire $2ab$ .

Non, c'est une erreur très fréquente. $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

💡 À retenir : Le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés, il y a un terme supplémentaire $2ab$.

Est-ce que je peux diviser par zéro ?

Non, la division par zéro est impossible en mathématiques. Elle n'est pas définie.

💡 À retenir : Le dénominateur d'une fraction doit toujours être différent de zéro.

Comment calculer 10^{-2} ?

Une puissance négative signifie l'inverse : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ . Donc $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$ .

💡 À retenir : L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il le transforme en fraction.

Une puissance négative signifie l'inverse : $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$. Donc $10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} = 0,01$.

💡 À retenir : L'exposant négatif ne rend pas le nombre négatif, il le transforme en fraction.

Est-ce que x times x donne 2x ?

Non, $x \times x = x^2$ . $2x$ signifie $x + x$ .

💡 À retenir : Le produit de deux variables identiques augmente l'exposant, pas le coefficient.

Non, $x \times x = x^2$. $2x$ signifie $x + x$.

💡 À retenir : Le produit de deux variables identiques augmente l'exposant, pas le coefficient.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer les expressions suivantes : $A = 12 - 3 \times 4 + 5$ $B = 2^3 \times 2^2 \div 2^4$

Exercice 1

Calculer les expressions suivantes : $A = 12 - 3 \times 4 + 5$ $B = 2^3 \times 2^2 \div 2^4$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Développer et simplifier : $E = 3(x - 2) - 2(x + 4)$

Exercice 2

Développer et simplifier : $E = 3(x - 2) - 2(x + 4)$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Factoriser les expressions suivantes : $F = 5x + 15$ $G = x^2 + 3x$

Exercice 3

Factoriser les expressions suivantes : $F = 5x + 15$ $G = x^2 + 3x$

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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