Mathématiques · Tronc Commun — Lettres

الإحصاء 2 : وسيطات الوضع و وسيطات التشتت

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

1. Les paramètres de position (وسيطات الوضع)

Ils servent à résumer une série statistique par une seule valeur centrale.

Le Mode : C'est la valeur de la miza qui a le plus grand effectif.
La Moyenne arithmétique ( $\bar{x}$ ) : C'est la somme des produits des valeurs par leurs effectifs, divisée par l'effectif total. $\bar{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_px_p}{N}$
La Médiane ( $M$ ) : C'est la valeur de la miza telle que au moins 50% de la population a une valeur inférieure ou égale à $M$ .

2. Les paramètres de dispersion (وسيطات التشتت)

Ils servent à mesurer si les données sont proches ou éloignées de la moyenne.

L'Étendue : La différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
La Variance ( $V$ ) : Elle mesure l'écart des carrés par rapport à la moyenne. $V = \frac{n_1x_1^2 + n_2x_2^2 + ... + n_px_p^2}{N} - \bar{x}^2$
L'Écart-type ( $\sigma$ ) : C'est la racine carrée de la variance. $\sigma = \sqrt{V}$

Méthodes à maîtriser

Calculer la Médiane

Calculer les effectifs cumulés.
Calculer la moitié de l'effectif total : $\frac{N}{2}$ .
Chercher le premier effectif cumulé supérieur ou égal à $\frac{N}{2}$ .
La valeur de la miza correspondante est la médiane.

Cas des classes (groupes)

Pour calculer la moyenne d'une série avec des classes $[a, b[$ , on utilise le centre de la classe $c = \frac{a+b}{2}$ comme valeur $x_i$ .

Exemples corrigés

Série : Notes (2 ; 5 ; 5 ; 8)

Effectif total $N = 4$ .
Mode = 5 (car il apparaît 2 fois).
Moyenne $\bar{x} = \frac{2 + 5 + 5 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5$ .
Médiane : $\frac{N}{2} = 2$ . Le 2ème effectif cumulé correspond à la note 5. $M = 5$ .

Erreurs fréquentes

Confondre l'effectif (nombre de personnes) et la miza (la note, l'âge...).
Oublier de diviser par $N$ dans le calcul de la moyenne ou de la variance.
Prendre le plus grand effectif comme étant le mode (le mode est la valeur correspondante, pas l'effectif lui-même).

L'essentiel du cours

1. Les paramètres de position (وسيطات الوضع)

Ils servent à résumer une série statistique par une seule valeur centrale.

Le Mode : C'est la valeur de la miza qui a le plus grand effectif.
La Moyenne arithmétique ($\bar{x}$) : C'est la somme des produits des valeurs par leurs effectifs, divisée par l'effectif total. $$\bar{x} = \frac{n_1x_1 + n_2x_2 + ... + n_px_p}{N}$$
La Médiane ($M$) : C'est la valeur de la miza telle que au moins 50% de la population a une valeur inférieure ou égale à $M$.

2. Les paramètres de dispersion (وسيطات التشتت)

Ils servent à mesurer si les données sont proches ou éloignées de la moyenne.

L'Étendue : La différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
La Variance ($V$) : Elle mesure l'écart des carrés par rapport à la moyenne. $$V = \frac{n_1x_1^2 + n_2x_2^2 + ... + n_px_p^2}{N} - \bar{x}^2$$
L'Écart-type ($\sigma$) : C'est la racine carrée de la variance. $$\sigma = \sqrt{V}$$

Méthodes à maîtriser

Calculer la Médiane

Calculer les effectifs cumulés.
Calculer la moitié de l'effectif total : $\frac{N}{2}$.
Chercher le premier effectif cumulé supérieur ou égal à $\frac{N}{2}$.
La valeur de la miza correspondante est la médiane.

Cas des classes (groupes)

Pour calculer la moyenne d'une série avec des classes $[a, b[$, on utilise le centre de la classe $c = \frac{a+b}{2}$ comme valeur $x_i$.

Exemples corrigés

Série : Notes (2 ; 5 ; 5 ; 8)

Effectif total $N = 4$.
Mode = 5 (car il apparaît 2 fois).
Moyenne $\bar{x} = \frac{2 + 5 + 5 + 8}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
Médiane : $\frac{N}{2} = 2$. Le 2ème effectif cumulé correspond à la note 5. $M = 5$.

Erreurs fréquentes

Confondre l'effectif (nombre de personnes) et la miza (la note, l'âge...).
Oublier de diviser par $N$ dans le calcul de la moyenne ou de la variance.
Prendre le plus grand effectif comme étant le mode (le mode est la valeur correspondante, pas l'effectif lui-même).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 الإحصاء 2 : وسيطات الوضع و وسيطات التشتت

1/4

Quel est le mode de la série suivante : 5 ; 7 ; 7 ; 8 ; 10 ; 10 ; 10 ?

❓ Questions fréquentes

Kifach n7seb l'moyenne arithmétique bar{x} ila 3ndi jadwal?

Pour calculer la moyenne $\bar{x}$ , on suit ces étapes :

Multiplier chaque valeur de la miza ( $x_i$ ) par son effectif ( $n_i$ ).
Faire la somme de tous ces résultats.
Diviser cette somme par l'effectif total ( $N$ ).

Exemple : Si on a (Note 10, Effectif 2) et (Note 15, Effectif 3). $N = 2 + 3 = 5$ . $\bar{x} = \frac{(10 \times 2) + (15 \times 3)}{5} = \frac{20 + 45}{5} = \frac{65}{5} = 13$ .

💡 À retenir : $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$ .

Pour calculer la moyenne $\bar{x}$, on suit ces étapes :

Multiplier chaque valeur de la miza ($x_i$) par son effectif ($n_i$).
Faire la somme de tous ces résultats.
Diviser cette somme par l'effectif total ($N$).

Exemple : Si on a (Note 10, Effectif 2) et (Note 15, Effectif 3). $N = 2 + 3 = 5$. $\bar{x} = \frac{(10 \times 2) + (15 \times 3)}{5} = \frac{20 + 45}{5} = \frac{65}{5} = 13$.

💡 À retenir : $\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}$.

Chno l'farq bin l'mode o l'médiane?

La différence est simple :

Le Mode est la valeur la plus "populaire" (celle qui a le plus grand effectif). On le voit directement dans le tableau.
La Médiane est la valeur qui coupe la série en deux groupes égaux (50% au-dessus, 50% en-dessous). Elle nécessite de calculer les effectifs cumulés.

💡 À retenir : Le mode indique la fréquence maximale, la médiane indique le milieu de la série.

3lach kandiro l'écart-type sigma f l'i7sae?

L'écart-type sert à mesurer la dispersion (tachtout) :

Si $\sigma$ est petit, cela veut dire que les notes sont serrées autour de la moyenne (le groupe est homogène).
Si $\sigma$ est grand, cela veut dire que les notes sont très différentes les unes des autres (le groupe est hétérogène).

💡 À retenir : Plus l'écart-type est petit, plus la série est régulière.

L'écart-type sert à mesurer la dispersion (tachtout) :

Si $\sigma$ est petit, cela veut dire que les notes sont serrées autour de la moyenne (le groupe est homogène).
Si $\sigma$ est grand, cela veut dire que les notes sont très différentes les unes des autres (le groupe est hétérogène).

💡 À retenir : Plus l'écart-type est petit, plus la série est régulière.

Comment trouver le mode si deux valeurs ont le même effectif maximal ?

Dans ce cas, on dit que la série a deux modes (elle est bimodale).

Identifier l'effectif le plus élevé.
Si deux miza (ou plus) partagent cet effectif, listez-les toutes comme étant les modes de la série.

💡 À retenir : Une série peut avoir un seul mode, plusieurs modes, ou aucun mode.

C'est quoi l'effectif cumulé (الحصيص المتراكم) ?

C'est la somme des effectifs de proche en proche :

Pour la première valeur, l'effectif cumulé est son propre effectif.
Pour la deuxième, c'est son effectif + celui de la première.
On continue ainsi jusqu'à la dernière valeur, où l'on doit trouver l'effectif total $N$ .

💡 À retenir : Il sert principalement à trouver la médiane.

C'est la somme des effectifs de proche en proche :

Pour la première valeur, l'effectif cumulé est son propre effectif.
Pour la deuxième, c'est son effectif + celui de la première.
On continue ainsi jusqu'à la dernière valeur, où l'on doit trouver l'effectif total $N$.

💡 À retenir : Il sert principalement à trouver la médiane.

Comment calculer la médiane si N/2 ne tombe pas pile sur un effectif cumulé ?

C'est le cas le plus fréquent :

Calculez $N/2$ .
Regardez la colonne des effectifs cumulés croissants.
Cherchez la première valeur qui est juste supérieure à $N/2$ .
La miza correspondante est votre médiane $M$ .

💡 À retenir : On prend toujours la valeur de la miza, jamais l'effectif.

C'est le cas le plus fréquent :

Calculez $N/2$.
Regardez la colonne des effectifs cumulés croissants.
Cherchez la première valeur qui est juste supérieure à $N/2$.
La miza correspondante est votre médiane $M$.

💡 À retenir : On prend toujours la valeur de la miza, jamais l'effectif.

Pourquoi l'étendue est-elle une mesure de dispersion ?

L'étendue ( $Max - Min$ ) donne une idée rapide de l'étalement des données.

Si l'étendue est petite, les données sont regroupées.
Si elle est grande, il y a un grand écart entre les extrêmes. C'est la mesure de dispersion la plus simple, mais elle est sensible aux valeurs aberrantes (très grandes ou très petites).

💡 À retenir : Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale.

L'étendue ($Max - Min$) donne une idée rapide de l'étalement des données.

Si l'étendue est petite, les données sont regroupées.
Si elle est grande, il y a un grand écart entre les extrêmes. C'est la mesure de dispersion la plus simple, mais elle est sensible aux valeurs aberrantes (très grandes ou très petites).

💡 À retenir : Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale.

La variance peut-elle être négative ?

Non, jamais.

La variance est une moyenne de carrés (ou une différence où le premier terme est toujours supérieur ou égal au carré de la moyenne).
Si vous trouvez un résultat négatif, c'est qu'il y a une erreur de calcul, souvent dans le terme $\bar{x}^2$ ou dans la somme des $n_i x_i^2$ .

💡 À retenir : $V \ge 0$ et $\sigma \ge 0$ .

Non, jamais.

La variance est une moyenne de carrés (ou une différence où le premier terme est toujours supérieur ou égal au carré de la moyenne).
Si vous trouvez un résultat négatif, c'est qu'il y a une erreur de calcul, souvent dans le terme $\bar{x}^2$ ou dans la somme des $n_i x_i^2$.

💡 À retenir : $V \ge 0$ et $\sigma \ge 0$.

Comment faire si les données sont présentées sous forme de classes [a, b[ ?

On transforme chaque classe en un point unique appelé "centre de classe" :

Calculer le centre $c = \frac{a+b}{2}$ .
Utiliser ce centre $c$ comme s'il s'agissait d'une miza classique $x_i$ pour tous les calculs (moyenne, variance).

💡 À retenir : Pour la classe $[10, 14[$ , le centre est $\frac{10+14}{2} = 12$ .

On transforme chaque classe en un point unique appelé "centre de classe" :

Calculer le centre $c = \frac{a+b}{2}$.
Utiliser ce centre $c$ comme s'il s'agissait d'une miza classique $x_i$ pour tous les calculs (moyenne, variance).

💡 À retenir : Pour la classe $[10, 14[$, le centre est $\frac{10+14}{2} = 12$.

C'est quoi la différence entre caractère qualitatif et quantitatif ?

Quantitatif : La miza est un nombre (notes, âge, salaire). On peut faire des calculs (moyenne, etc.).
Qualitatif : La miza est une qualité ou un nom (couleur des yeux, mention, ville). On ne peut calculer que le mode.

💡 À retenir : Ce chapitre traite surtout du caractère quantitatif.

Est-ce que la moyenne est toujours égale à la médiane ?

Non, c'est rarement le cas.

La moyenne est influencée par les valeurs extrêmes (une très bonne note augmente beaucoup la moyenne).
La médiane ne dépend que de la position centrale. Si la série est parfaitement symétrique, elles sont égales.

💡 À retenir : Ce sont deux regards différents sur la même série.

Comment interpréter l'écart-type dans un examen ?

On vous demande souvent de comparer deux classes :

Calculez $\sigma_1$ et $\sigma_2$ .
La classe qui a l'écart-type le plus petit est la plus "homogène" ou "équilibrée".
La classe avec le plus grand écart-type a des niveaux très disparates.

💡 À retenir : Petit écart-type = Stabilité / Homogénéité.

On vous demande souvent de comparer deux classes :

Calculez $\sigma_1$ et $\sigma_2$.
La classe qui a l'écart-type le plus petit est la plus "homogène" ou "équilibrée".
La classe avec le plus grand écart-type a des niveaux très disparates.

💡 À retenir : Petit écart-type = Stabilité / Homogénéité.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Voici les notes obtenues par 10 élèves lors d'un contrôle de mathématiques : $8 ; 12 ; 10 ; 8 ; 15 ; 10 ; 8 ; 14 ; 10 ; 15$ .

Organiser ces données dans un tableau statistique (Miza, Effectif, Effectif cumulé).
Déterminer le mode de cette série.
Calculer la moyenne arithmétique $\bar{x}$ .
Déterminer la médiane $M$ .

Exercice 1

Voici les notes obtenues par 10 élèves lors d'un contrôle de mathématiques : $8 ; 12 ; 10 ; 8 ; 15 ; 10 ; 8 ; 14 ; 10 ; 15$.

Organiser ces données dans un tableau statistique (Miza, Effectif, Effectif cumulé).
Déterminer le mode de cette série.
Calculer la moyenne arithmétique $\bar{x}$.
Déterminer la médiane $M$.

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Exercice 2

Une entreprise étudie le nombre d'appels reçus par jour sur une semaine : $15, 20, 15, 25, 30, 15, 20$ .