Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

Généralités sur les fonctions

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité :
- Paire : $D_f$ symétrique par rapport à 0 et $f(-x) = f(x)$ . Courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Impaire : $D_f$ symétrique par rapport à 0 et $f(-x) = -f(x)$ . Courbe symétrique par rapport à l'origine $O$ .
Sens de variation : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ $T = \frac{f ( x _{1} ) - f ( x _{2} )}{x _{1} - x _{2}}$ .
- $T > 0$ : $f$ est croissante.
- $T < 0$ : $f$ est décroissante.
Extremums : $f(a)$ est un maximum si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ (dénominateur $\neq 0$ , racine $\geq 0$ ).
Étudier la parité : calculer $f(-x)$ et comparer à $f(x)$ .
Étudier le sens de variation via le taux de variation $T$ .
Dresser le tableau de variations.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x-2}$ . $D_f = \{x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0\} = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ .
Exemple 2 : $f(x) = x^2$ . $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$ , donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre le signe de $T$ avec le signe de $f(x)$ .
Ne pas préciser l'intervalle où la fonction est croissante ou décroissante.

L'essentiel du cours

Ensemble de définition $D_f$ : L'ensemble des réels $x$ tels que $f(x)$ existe.
Parité :
- Paire : $D_f$ symétrique par rapport à 0 et $f(-x) = f(x)$. Courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
- Impaire : $D_f$ symétrique par rapport à 0 et $f(-x) = -f(x)$. Courbe symétrique par rapport à l'origine $O$.
Sens de variation : Soit $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$.
- $T > 0$ : $f$ est croissante.
- $T < 0$ : $f$ est décroissante.
Extremums : $f(a)$ est un maximum si $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer $D_f$ (dénominateur $\neq 0$, racine $\geq 0$).
Étudier la parité : calculer $f(-x)$ et comparer à $f(x)$.
Étudier le sens de variation via le taux de variation $T$.
Dresser le tableau de variations.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $f(x) = \frac{1}{x-2}$. $D_f = {x \in \mathbb{R} / x-2 \neq 0} = \mathbb{R} \setminus {2}$.
Exemple 2 : $f(x) = x^2$. $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$, donc $f$ est paire.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la symétrie de $D_f$ avant de conclure sur la parité.
Confondre le signe de $T$ avec le signe de $f(x)$.
Ne pas préciser l'intervalle où la fonction est croissante ou décroissante.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Généralités sur les fonctions

1/4

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un point appartient à la courbe ?

Un point $M(a, b)$ appartient à la courbe si et seulement si $f(a) = b$ .

💡 À retenir : Remplace $x$ par l'abscisse et vérifie si tu obtiens l'ordonnée.

Un point $M(a, b)$ appartient à la courbe si et seulement si $f(a) = b$.

💡 À retenir : Remplace $x$ par l'abscisse et vérifie si tu obtiens l'ordonnée.

Est-ce que f(x) = sqrt{x} est paire ?

Non, car $D_f = [0, +\infty[$ . Cet ensemble n'est pas symétrique par rapport à 0.

💡 À retenir : La symétrie de $D_f$ est la condition sine qua non.

Non, car $D_f = [0, +\infty[$. Cet ensemble n'est pas symétrique par rapport à 0.

💡 À retenir : La symétrie de $D_f$ est la condition sine qua non.

Kifach n7seb Df ila kant l-fonction fiha l-jdr w l-kssr?

Il faut que ce qui est sous la racine soit positif ou nul ( $A(x) \geq 0$ ).
Il faut que le dénominateur soit non nul ( $B(x) \neq 0$ ).
L'ensemble de définition est l'intersection des deux conditions.

💡 À retenir : Résous le système : $A(x) \geq 0$ ET $B(x) \neq 0$ .

Il faut que ce qui est sous la racine soit positif ou nul ($A(x) \geq 0$).
Il faut que le dénominateur soit non nul ($B(x) \neq 0$).
L'ensemble de définition est l'intersection des deux conditions.

💡 À retenir : Résous le système : $A(x) \geq 0$ ET $B(x) \neq 0$.

Est-ce qu'une fonction peut être ni paire ni impaire ?

Oui, c'est le cas le plus fréquent. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$ .

$f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$ .
$f(-x) \neq f(x)$ (donc pas paire).
$f(-x) \neq -f(x)$ (donc pas impaire).

💡 À retenir : La majorité des fonctions ne possèdent aucune parité particulière.

Oui, c'est le cas le plus fréquent. Par exemple, $f(x) = x^2 + x$.

$f(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$.
$f(-x) \neq f(x)$ (donc pas paire).
$f(-x) \neq -f(x)$ (donc pas impaire).

💡 À retenir : La majorité des fonctions ne possèdent aucune parité particulière.

Chno hiya l-farq bin l-image w l-antecedent?

L'image est le résultat du calcul $f(x)$ , tandis que l'antécédent est la valeur de $x$ qui donne ce résultat.

Pour trouver l'image de 2, tu calcules $f(2)$ .
Pour trouver l'antécédent de 5, tu résous l'équation $f(x) = 5$ .

💡 À retenir : Image = résultat ( $y$ ), Antécédent = point de départ ( $x$ ).

L'image est le résultat du calcul $f(x)$, tandis que l'antécédent est la valeur de $x$ qui donne ce résultat.

Pour trouver l'image de 2, tu calcules $f(2)$.
Pour trouver l'antécédent de 5, tu résous l'équation $f(x) = 5$.

💡 À retenir : Image = résultat ($y$), Antécédent = point de départ ($x$).

Comment prouver qu'une fonction est croissante ?

Choisis deux réels $x_1$ et $x_2$ dans l'intervalle avec $x_1 < x_2$ .
Calcule le taux de variation $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$ .
Si $T > 0$ , alors la fonction est croissante.

💡 À retenir : Si $x_1 < x_2$ implique $f(x_1) < f(x_2)$ , alors $f$ est croissante.

Choisis deux réels $x_1$ et $x_2$ dans l'intervalle avec $x_1 < x_2$.
Calcule le taux de variation $T = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2}$.
Si $T > 0$, alors la fonction est croissante.

💡 À retenir : Si $x_1 < x_2$ implique $f(x_1) < f(x_2)$, alors $f$ est croissante.

Kifach n3ref wach l-fonction m7doud (bornée)?

Une fonction est bornée si elle possède à la fois un maximum et un minimum.

Cherche s'il existe $M$ tel que $f(x) \leq M$ .
Cherche s'il existe $m$ tel que $f(x) \geq m$ .
Si les deux existent, elle est bornée.

💡 À retenir : $m \leq f(x) \leq M$ .

Une fonction est bornée si elle possède à la fois un maximum et un minimum.

Cherche s'il existe $M$ tel que $f(x) \leq M$.
Cherche s'il existe $m$ tel que $f(x) \geq m$.
Si les deux existent, elle est bornée.

💡 À retenir : $m \leq f(x) \leq M$.

Peut-on dire qu'une fonction est croissante sur Df directement ?

Non, il faut toujours préciser l'intervalle. Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre.

💡 À retenir : Précise toujours l'intervalle $I \subset D_f$ .

Non, il faut toujours préciser l'intervalle. Une fonction peut être croissante sur un intervalle et décroissante sur un autre.

💡 À retenir : Précise toujours l'intervalle $I \subset D_f$.

C'est quoi un extremum ?

C'est la valeur la plus grande (maximum) ou la plus petite (minimum) que la fonction peut atteindre.

💡 À retenir : C'est le sommet ou le creux de la courbe.

Est-ce que le taux de variation doit être constant ?

Seulement pour les fonctions affines ( $f(x) = ax+b$ ). Pour les autres, $T$ dépend de $x_1$ et $x_2$ .

💡 À retenir : Le taux de variation est une expression, pas forcément un nombre fixe.

Seulement pour les fonctions affines ($f(x) = ax+b$). Pour les autres, $T$ dépend de $x_1$ et $x_2$.

💡 À retenir : Le taux de variation est une expression, pas forcément un nombre fixe.

Comment tracer la courbe d'une fonction paire ?

Trace la courbe sur la partie positive de l'axe des abscisses.
Fais une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées (l'axe vertical).

💡 À retenir : La symétrie axiale est la clé.

Pourquoi on exclut les valeurs qui annulent le dénominateur ?

Parce que la division par zéro est impossible en mathématiques.

💡 À retenir : $x \in D_f \iff$ le calcul est possible.

Parce que la division par zéro est impossible en mathématiques.

💡 À retenir : $x \in D_f \iff$ le calcul est possible.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer le taux de variation $T$ sur $\mathbb{R}$ .
Étudier le sens de variation de $f$ sur $[2, +\infty[$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Déterminer $D_f$.
Calculer le taux de variation $T$ sur $\mathbb{R}$.
Étudier le sens de variation de $f$ sur $[2, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Étudier la parité de $f$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x}{x^2+1}$.

Déterminer $D_f$.
Étudier la parité de $f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x-1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Montrer que $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$ .

Exercice 3

Soit $f(x) = \sqrt{x-1}$.

Déterminer $D_f$.
Montrer que $f$ est croissante sur $[1, +\infty[$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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