Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

La rotation dans le plan

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$ .

Pour tout point $M$ , son image $M'$ vérifie : $\Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha [2\pi]$ .
Si $\alpha \equiv 0 [2\pi]$ , $R$ est l'identité.
Si $\alpha \equiv \pi [2\pi]$ , $R$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$ .
Propriété fondamentale : La rotation conserve les distances, les angles orientés et les aires.
Écriture complexe : Si $z, z', \omega$ sont les affixes respectives de $M, M', \Omega$ , alors : $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$ .

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'image d'un point : Utiliser la formule complexe en remplaçant $z$ et $\omega$ et $\alpha$ .
Déterminer le centre et l'angle : Si on a $z' = az + b$ avec $|a|=1$ , le centre $\omega$ est la solution de $\omega = a\omega + b$ , et l'angle est $\arg(a)$ .
Démontrer qu'un triangle est équilatéral : Montrer que l'image d'un sommet par une rotation de centre un autre sommet et d'angle $\pm \frac{\pi}{3}$ est le troisième sommet.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $R$ de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . Image de $A(2)$ ? $z' - (1+i) = e^{i\pi/2}(2 - (1+i)) \implies z' = 1+i + i(1-i) = 1+i+i+1 = 2+2i$ . Donc $A'(2+2i)$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans les mesures d'angles.
Confondre le sens direct (positif) et indirect (négatif).
Se tromper dans le signe de l'affixe du centre dans la formule $z' - \omega$ .

L'essentiel du cours

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\alpha$.

Pour tout point $M$, son image $M'$ vérifie : $\Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \alpha [2\pi]$.
Si $\alpha \equiv 0 [2\pi]$, $R$ est l'identité.
Si $\alpha \equiv \pi [2\pi]$, $R$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$.
Propriété fondamentale : La rotation conserve les distances, les angles orientés et les aires.
Écriture complexe : Si $z, z', \omega$ sont les affixes respectives de $M, M', \Omega$, alors : $z' - \omega = e^{i\alpha}(z - \omega)$.

Méthodes à maîtriser

Déterminer l'image d'un point : Utiliser la formule complexe en remplaçant $z$ et $\omega$ et $\alpha$.
Déterminer le centre et l'angle : Si on a $z' = az + b$ avec $|a|=1$, le centre $\omega$ est la solution de $\omega = a\omega + b$, et l'angle est $\arg(a)$.
Démontrer qu'un triangle est équilatéral : Montrer que l'image d'un sommet par une rotation de centre un autre sommet et d'angle $\pm \frac{\pi}{3}$ est le troisième sommet.

Exemples corrigés

Exemple : Soit $R$ de centre $\Omega(1+i)$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Image de $A(2)$ ? $z' - (1+i) = e^{i\pi/2}(2 - (1+i)) \implies z' = 1+i + i(1-i) = 1+i+i+1 = 2+2i$. Donc $A'(2+2i)$.

Erreurs fréquentes

Oublier le modulo $2\pi$ dans les mesures d'angles.
Confondre le sens direct (positif) et indirect (négatif).
Se tromper dans le signe de l'affixe du centre dans la formule $z' - \omega$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 La rotation dans le plan

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Quelle est l'image d'un point $M$ par une rotation d'angle $2\pi$ ?

❓ Questions fréquentes

Pourquoi dit-on que la rotation est une isométrie ?

Parce qu'elle conserve la distance entre deux points. Si $M$ et $N$ sont deux points, et $M', N'$ leurs images, alors $MN = M'N'$ .

💡 À retenir : Une isométrie est une transformation qui préserve les distances.

Parce qu'elle conserve la distance entre deux points. Si $M$ et $N$ sont deux points, et $M', N'$ leurs images, alors $MN = M'N'$.

💡 À retenir : Une isométrie est une transformation qui préserve les distances.

Est-ce que la rotation change l'orientation d'une figure ?

Non, la rotation est un déplacement (isométrie directe). Elle conserve l'orientation des points (le sens de parcours du contour).

💡 À retenir : La rotation ne retourne pas la figure (contrairement à la symétrie axiale).

Est-ce que le centre de la rotation est transformé en un autre point ?

Non, le centre de la rotation est le seul point invariant. Son image par la rotation est lui-même.

💡 À retenir : $R(\Omega) = \Omega$ .

Non, le centre de la rotation est le seul point invariant. Son image par la rotation est lui-même.

💡 À retenir : $R(\Omega) = \Omega$.

Comment savoir si une rotation est une symétrie centrale ?

Une rotation est une symétrie centrale si et seulement si son angle $\alpha$ est congru à $\pi$ modulo $2\pi$ (c'est-à-dire $\alpha = \pi + 2k\pi$ ).

💡 À retenir : Une rotation d'angle $\pi$ est toujours une symétrie centrale.

Une rotation est une symétrie centrale si et seulement si son angle $\alpha$ est congru à $\pi$ modulo $2\pi$ (c'est-à-dire $\alpha = \pi + 2k\pi$).

💡 À retenir : Une rotation d'angle $\pi$ est toujours une symétrie centrale.

kifach n7seb l-markaz d-dawaran ila 3tani l-ktaba l-ouqadiya z' = az + b ?

Bach t-lqa l-markaz $\omega$ li la7q dyalo $\omega$ , khassk t-7el l-mo3adala $\omega = a\omega + b$ .

3awd $z'$ b- $\omega$ o $z$ b- $\omega$ .
3zel $\omega$ f-jiha wahda : $\omega(1-a) = b$ .
$\omega = \frac{b}{1-a}$ .

💡 À retenir : Le centre est le point invariant par la transformation.

Bach t-lqa l-markaz $\omega$ li la7q dyalo $\omega$, khassk t-7el l-mo3adala $\omega = a\omega + b$.

3awd $z'$ b-$\omega$ o $z$ b-$\omega$.
3zel $\omega$ f-jiha wahda : $\omega(1-a) = b$.
$\omega = \frac{b}{1-a}$.

💡 À retenir : Le centre est le point invariant par la transformation.

Est-ce que la rotation conserve le milieu d'un segment ?

Oui, car la rotation est une isométrie (elle conserve les distances et les formes). Si $I$ est le milieu de $[AB]$ , alors l'image $I'$ de $I$ par une rotation est le milieu du segment $[A'B']$ , où $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ .

💡 À retenir : Toute isométrie conserve le barycentre (donc le milieu).

Oui, car la rotation est une isométrie (elle conserve les distances et les formes). Si $I$ est le milieu de $[AB]$, alors l'image $I'$ de $I$ par une rotation est le milieu du segment $[A'B']$, où $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$.

💡 À retenir : Toute isométrie conserve le barycentre (donc le milieu).

chno hiya l-farq bin l-manha l-moubachir o l-ghayr moubachir ?

L-farq howa l-i-tijah d-dawaran:

L-manha l-moubachir (positif) : k-n-dorou 3aks 3aqrab s-sa3a.
L-manha ghayr moubachir (négatif) : k-n-dorou m3a 3aqrab s-sa3a.

💡 À retenir : Le sens direct est le sens trigonométrique conventionnel.

Si j'ai deux rotations, est-ce que leur composée est toujours une rotation ?

Pas forcément. La composée de deux rotations de centres différents est soit une rotation (si la somme des angles n'est pas un multiple de $2\pi$ ), soit une translation (si la somme des angles est un multiple de $2\pi$ ).

💡 À retenir : La composée de deux rotations est une rotation ou une translation.

Pas forcément. La composée de deux rotations de centres différents est soit une rotation (si la somme des angles n'est pas un multiple de $2\pi$), soit une translation (si la somme des angles est un multiple de $2\pi$).

💡 À retenir : La composée de deux rotations est une rotation ou une translation.

kifach n-biyen bli triangle motasawi l-adla (équilatéral) b-dawaran ?

Bach t-biyen bli $ABC$ motasawi l-adla, khassk t-biyen bli $B$ hiya soura d- $C$ b-dawaran markazo $A$ o zawyato $\frac{\pi}{3}$ aw $-\frac{\pi}{3}$ .

3tber $R(A, \pi/3)$ .
7seb soura d- $C$ .
Ila lqiti $B$ , rah l-mouhim t-7eqeq.

💡 À retenir : $AB=AC$ et $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \pm \pi/3$ .

Bach t-biyen bli $ABC$ motasawi l-adla, khassk t-biyen bli $B$ hiya soura d-$C$ b-dawaran markazo $A$ o zawyato $\frac{\pi}{3}$ aw $-\frac{\pi}{3}$.

3tber $R(A, \pi/3)$.
7seb soura d-$C$.
Ila lqiti $B$, rah l-mouhim t-7eqeq.

💡 À retenir : $AB=AC$ et $(\vec{AB}, \vec{AC}) = \pm \pi/3$.

L'angle de la rotation doit-il être toujours en radians ?

Oui, dans les calculs avec les nombres complexes (formule $e^{i\alpha}$ ), l'angle $\alpha$ doit impérativement être exprimé en radians.

💡 À retenir : $e^{i\alpha}$ ne fonctionne qu'avec $\alpha$ en radians.

Oui, dans les calculs avec les nombres complexes (formule $e^{i\alpha}$), l'angle $\alpha$ doit impérativement être exprimé en radians.

💡 À retenir : $e^{i\alpha}$ ne fonctionne qu'avec $\alpha$ en radians.

Est-ce que l'image d'une droite par une rotation est toujours une droite ?

Oui, la rotation est une transformation affine qui conserve l'alignement des points. L'image d'une droite est donc une droite qui lui est sécante (sauf si l'angle est un multiple de $2\pi$ ).

💡 À retenir : La rotation conserve le parallélisme et l'alignement.

Oui, la rotation est une transformation affine qui conserve l'alignement des points. L'image d'une droite est donc une droite qui lui est sécante (sauf si l'angle est un multiple de $2\pi$).

💡 À retenir : La rotation conserve le parallélisme et l'alignement.

Peut-on utiliser la rotation pour démontrer qu'un quadrilatère est un carré ?

Oui, on peut montrer que deux côtés consécutifs sont égaux et perpendiculaires en utilisant une rotation de centre le sommet commun et d'angle $\pm \frac{\pi}{2}$ .

💡 À retenir : Une rotation de $\pm \frac{\pi}{2}$ transforme un vecteur en un vecteur orthogonal de même norme.

Oui, on peut montrer que deux côtés consécutifs sont égaux et perpendiculaires en utilisant une rotation de centre le sommet commun et d'angle $\pm \frac{\pi}{2}$.

💡 À retenir : Une rotation de $\pm \frac{\pi}{2}$ transforme un vecteur en un vecteur orthogonal de même norme.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = 1+i$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ . Déterminer l'affixe $z'$ de l'image du point $A$ d'affixe $z_A = 3+2i$ .

Exercice 1

Soit $R$ la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega = 1+i$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Déterminer l'affixe $z'$ de l'image du point $A$ d'affixe $z_A = 3+2i$.

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Exercice 2

Dans le plan complexe, soit $A$ d'affixe $1$ et $B$ d'affixe $i$ . Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$ . Déterminer l'image $C$ du point $B$ par $R$ .

Exercice 2

Dans le plan complexe, soit $A$ d'affixe $1$ et $B$ d'affixe $i$. Soit $R$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{3}$. Déterminer l'image $C$ du point $B$ par $R$.

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Exercice 3

Soit $f$ une transformation définie par $z' = iz + 1 - i$ . Montrer que $f$ est une rotation et déterminer ses éléments caractéristiques.

Exercice 3

Soit $f$ une transformation définie par $z' = iz + 1 - i$. Montrer que $f$ est une rotation et déterminer ses éléments caractéristiques.

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