Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

La dérivation

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$ .
Équation de la tangente : $T_a : y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ , $(ku)' = ku'$ , $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$ , $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ .
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$ , $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , $(\sin x)' = \cos x$ , $(\cos x)' = -\sin x$ .
Condition d'extremum : Si $f$ admet un extremum en $a$ et est dérivable, alors $f'(a) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé par la limite.
Déterminer l'équation de la tangente.
Calculer la fonction dérivée d'une expression complexe.
Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour détecter un point anguleux.

Exemples corrigés

Tangente : $f(x) = x^2$ en $a=1$ . $f(1)=1$ , $f'(x)=2x \Rightarrow f'(1)=2$ . $T: y = 2(x-1)+1 = 2x-1$ .
Dérivée : $f(x) = x^3 + 4x$ . $f'(x) = 3x^2 + 4$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant la dérivabilité.
Confusion entre $(uv)' = u'v + uv'$ et $(uv)' = u'v'$ .
Ne pas mettre les parenthèses lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

L'essentiel du cours

Nombre dérivé : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a) \in \mathbb{R}$.
Équation de la tangente : $T_a : y = f'(a)(x-a) + f(a)$.
Opérations : $(u+v)' = u'+v'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $(ku)' = ku'$, $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$, $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Dérivées usuelles : $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$.
Condition d'extremum : Si $f$ admet un extremum en $a$ et est dérivable, alors $f'(a) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Calculer le nombre dérivé par la limite.
Déterminer l'équation de la tangente.
Calculer la fonction dérivée d'une expression complexe.
Étudier la dérivabilité à droite et à gauche pour détecter un point anguleux.

Exemples corrigés

Tangente : $f(x) = x^2$ en $a=1$. $f(1)=1$, $f'(x)=2x \Rightarrow f'(1)=2$. $T: y = 2(x-1)+1 = 2x-1$.
Dérivée : $f(x) = x^3 + 4x$. $f'(x) = 3x^2 + 4$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant la dérivabilité.
Confusion entre $(uv)' = u'v + uv'$ et $(uv)' = u'v'$.
Ne pas mettre les parenthèses lors du calcul de la dérivée d'un quotient.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 La dérivation

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La dérivée de $f(x) = 5x^4$ est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre la fonction dérivée et le nombre dérivé ?

Le nombre dérivé $f'(a)$ est un réel fixe qui représente la pente de la tangente en un point précis $a$ .
La fonction dérivée $f'$ est une nouvelle fonction qui, à chaque $x$ , associe le nombre dérivé $f'(x)$ .

💡 À retenir : Le nombre dérivé est un résultat numérique, la fonction dérivée est une expression algébrique.

Le nombre dérivé $f'(a)$ est un réel fixe qui représente la pente de la tangente en un point précis $a$.
La fonction dérivée $f'$ est une nouvelle fonction qui, à chaque $x$, associe le nombre dérivé $f'(x)$.

💡 À retenir : Le nombre dérivé est un résultat numérique, la fonction dérivée est une expression algébrique.

Kifach n3ref wach l'fonction dérivable f wa7d no9ta wla la ?

Tu calcules la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ .
Si la limite donne un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable.
Si la limite donne $\pm \infty$ , alors $f$ n'est pas dérivable.

💡 À retenir : Si la limite est infinie, la courbe admet une tangente verticale.

Tu calcules la limite $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
Si la limite donne un nombre réel fini, alors $f$ est dérivable.
Si la limite donne $\pm \infty$, alors $f$ n'est pas dérivable.

💡 À retenir : Si la limite est infinie, la courbe admet une tangente verticale.

Chno hiya l'fayda dial l'approximation affine ?

Elle permet de remplacer une fonction compliquée par une fonction affine (droite) au voisinage d'un point $a$ . On utilise la formule $f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)$ . C'est très utile pour faire des calculs approchés rapidement.

💡 À retenir : L'approximation affine est la tangente elle-même.

Elle permet de remplacer une fonction compliquée par une fonction affine (droite) au voisinage d'un point $a$. On utilise la formule $f(x) \approx f'(a)(x-a) + f(a)$. C'est très utile pour faire des calculs approchés rapidement.

💡 À retenir : L'approximation affine est la tangente elle-même.

Kifach n7seb l'dérivée dial f(x) = frac{1}{x^2+1} ?

On utilise la formule $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$ .
Ici $u = x^2+1$ , donc $u' = 2x$ .
$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ .

💡 À retenir : Identifie toujours $u$ avant d'appliquer la formule.

On utilise la formule $(\frac{1}{u})' = -\frac{u'}{u^2}$.
Ici $u = x^2+1$, donc $u' = 2x$.
$f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$.

💡 À retenir : Identifie toujours $u$ avant d'appliquer la formule.

Est-ce qu'une fonction continue est toujours dérivable ?

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 car elle présente un point anguleux.

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Non. Par exemple, la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$ est continue en 0, mais elle n'est pas dérivable en 0 car elle présente un point anguleux.

💡 À retenir : La dérivabilité implique la continuité, mais la réciproque est fausse.

Comment savoir si j'ai un point anguleux ?

Si la dérivée à droite $f'_d(a)$ est différente de la dérivée à gauche $f'_g(a)$ , alors la courbe présente un point anguleux en $a$ .

💡 À retenir : Il n'y a pas de tangente unique en un point anguleux.

Si la dérivée à droite $f'_d(a)$ est différente de la dérivée à gauche $f'_g(a)$, alors la courbe présente un point anguleux en $a$.

💡 À retenir : Il n'y a pas de tangente unique en un point anguleux.

Est-ce que la dérivée d'une constante est toujours nulle ?

Oui, car une constante ne varie pas, donc sa pente est nulle. $(k)' = 0$ .

💡 À retenir : La dérivée mesure la variation ; pas de variation, pas de dérivée.

Oui, car une constante ne varie pas, donc sa pente est nulle. $(k)' = 0$.

💡 À retenir : La dérivée mesure la variation ; pas de variation, pas de dérivée.

Chno l'far9 bin l'dérivée dial x^n w l'dérivée dial n^x ?

$x^n$ est une puissance (dérivée $nx^{n-1}$ ), alors que $n^x$ est une fonction exponentielle (non étudiée en 1ère Bac, à éviter).

💡 À retenir : Ne confonds pas la base et l'exposant.

$x^n$ est une puissance (dérivée $nx^{n-1}$), alors que $n^x$ est une fonction exponentielle (non étudiée en 1ère Bac, à éviter).

💡 À retenir : Ne confonds pas la base et l'exposant.

Pourquoi on calcule la dérivée pour étudier les variations ?

Parce que le signe de $f'(x)$ nous indique si la fonction monte ( $f' > 0$ ) ou descend ( $f' < 0$ ).

💡 À retenir : $f' > 0 \Rightarrow$ croissante, $f' < 0 \Rightarrow$ décroissante.

Parce que le signe de $f'(x)$ nous indique si la fonction monte ($f' > 0$) ou descend ($f' < 0$).

💡 À retenir : $f' > 0 \Rightarrow$ croissante, $f' < 0 \Rightarrow$ décroissante.

Comment dériver une fonction composée comme (2x+1)^3 ?

On utilise la formule $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ . Ici $u = 2x+1$ , donc $u' = 2$ . $f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$ .

💡 À retenir : N'oublie jamais de multiplier par la dérivée de ce qu'il y a dans la parenthèse.

On utilise la formule $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$. Ici $u = 2x+1$, donc $u' = 2$. $f'(x) = 3 \cdot 2 \cdot (2x+1)^2 = 6(2x+1)^2$.

💡 À retenir : N'oublie jamais de multiplier par la dérivée de ce qu'il y a dans la parenthèse.

Est-ce que la dérivée d'un produit est le produit des dérivées ?

Non, c'est une erreur classique ! $(uv)' = u'v + uv'$ .

💡 À retenir : La dérivée est une opération complexe, pas une simple multiplication.

Non, c'est une erreur classique ! $(uv)' = u'v + uv'$.

💡 À retenir : La dérivée est une opération complexe, pas une simple multiplication.

Comment trouver l'extremum d'une fonction ?

Tu calcules la dérivée $f'(x)$ .
Tu résous l'équation $f'(x) = 0$ .
Tu étudies le changement de signe de $f'(x)$ autour de ces points.

💡 À retenir : Un extremum se trouve là où la dérivée s'annule en changeant de signe.

Tu calcules la dérivée $f'(x)$.
Tu résous l'équation $f'(x) = 0$.
Tu étudies le changement de signe de $f'(x)$ autour de ces points.

💡 À retenir : Un extremum se trouve là où la dérivée s'annule en changeant de signe.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$ .

Calculer $f'(x)$ .
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a=2$ .

Exercice 1

Soit $f(x) = x^2 - 4x + 3$.

Calculer $f'(x)$.
Déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse $a=2$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$ .

Déterminer $D_f$ .
Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D_f$ .

Exercice 2

Soit $f(x) = \frac{2x-1}{x+1}$.

Déterminer $D_f$.
Calculer $f'(x)$ pour tout $x \in D_f$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x-1|$ en $a=1$ .

Exercice 3

Étudier la dérivabilité de $f(x) = |x-1|$ en $a=1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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