Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Soient $A$ et $B$ deux points du plan et $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ tels que $\alpha + \beta \neq 0$. Le barycentre $G$ du système ${(A, \alpha), (B, \beta)}$ est l'unique point vérifiant :
$$\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$$
Les coordonnées de $G$ sont : $x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}$ et $y_G = \frac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha + \beta}$.
Le barycentre de trois points ${(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)}$ existe si $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$.
Méthodes à maîtriser
Déterminer les coordonnées : Appliquer directement la formule des coordonnées.
Démontrer l'alignement : Montrer que $C$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$.
Utiliser l'associativité : Remplacer deux points par leur barycentre partiel pour simplifier un système de trois points.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soient $A(1, 2)$ et $B(3, 0)$. Trouver $G$ barycentre de ${(A, 1), (B, 3)}$.
$x_G = \frac{1(1) + 3(3)}{1+3} = \frac{10}{4} = 2,5$. $y_G = \frac{1(2) + 3(0)}{4} = \frac{2}{4} = 0,5$. Donc $G(2,5 ; 0,5)$.
Erreurs fréquentes
Oublier la condition $\sum \alpha_i \neq 0$.
Confondre le vecteur $\overrightarrow{GA}$ avec $\overrightarrow{AG}$ dans la formule.
Oublier de diviser par la somme des poids.
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Est-ce que le barycentre change si on multiplie les poids par un même nombre ?
Non, le barycentre reste inchangé. C'est la propriété d'homogénéité. Si $G$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$, alors pour tout réel $k \neq 0$, $G$ est aussi le barycentre de ${(A, k\alpha), (B, k\beta)}$.
💡 À retenir : On peut simplifier les poids pour faciliter les calculs.
Kifach n3ref wach had noqat mstaqimiya bla ma nrssem?
Pour montrer que $A, B$ et $C$ sont alignés, il suffit de montrer que l'un des points est le barycentre des deux autres. Par exemple, si tu trouves que $\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$, alors ils sont alignés.
💡 À retenir : L'alignement est lié à la colinéarité des vecteurs.
Chno hiya l-associativité f had l-bab?
L'associativité permet de remplacer deux points d'un système par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs poids. Si tu as ${(A, \alpha), (B, \beta), (C, \gamma)}$, tu peux remplacer ${(A, \alpha), (B, \beta)}$ par ${(G', \alpha+\beta)}$ où $G'$ est leur barycentre.
💡 À retenir : Cela simplifie les calculs pour les systèmes de 3 points ou plus.
Oui, tout dépend des signes des poids $\alpha$ et $\beta$. Si $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe, $G$ est entre $A$ et $B$. S'ils sont de signes opposés, $G$ est à l'extérieur du segment $[AB]$.
💡 À retenir : Le signe des poids détermine la position relative.
Comment trouver le barycentre de trois points ?
Vérifier que la somme des poids $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$.
Utiliser la formule vectorielle : $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} + \gamma \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$.
💡 À retenir : La somme des poids au dénominateur est cruciale.
Kifach n7seb l-barycentre ila kan chi poids zero?
Si un poids est nul, le point associé n'intervient pas dans le calcul du barycentre. Le barycentre du système ${(A, \alpha), (B, 0)}$ est simplement le point $A$.
💡 À retenir : Un point avec un poids nul est "invisible" pour le barycentre.
Pourquoi la somme des poids doit-elle être différente de zéro ?
Si $\alpha + \beta = 0$, l'équation $\alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$ devient $\alpha \overrightarrow{GA} - \alpha \overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}$, soit $\alpha \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$. Comme $\alpha \neq 0$, cela signifierait $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{0}$, donc $A=B$, ce qui est impossible pour deux points distincts.
💡 À retenir : La division par zéro est impossible en mathématiques.
Est-ce que le barycentre dépend du repère choisi ?
Non, la position du barycentre est une propriété géométrique intrinsèque. Les coordonnées changent si on change de repère, mais le point $G$ reste le même dans le plan.
💡 À retenir : Le barycentre est une notion géométrique, pas seulement analytique.
Comment montrer qu'un point M appartient à une droite définie par un barycentre ?
Si $G$ est le barycentre de ${(A, \alpha), (B, \beta)}$, alors pour tout point $M$ du plan, on a : $\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} = (\alpha + \beta) \overrightarrow{MG}$.
💡 À retenir : Cette relation est très utile pour simplifier les expressions vectorielles.
Oui, la méthode est identique. Il suffit d'ajouter le 4ème point dans la formule : $x_G = \frac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C + \delta x_D}{\alpha + \beta + \gamma + \delta}$.
💡 À retenir : La formule se généralise à $n$ points.
Peut-on avoir des poids négatifs ?
Oui, tant que la somme des poids n'est pas nulle. Les poids peuvent être n'importe quel nombre réel.
💡 À retenir : Les poids négatifs sont fréquents dans les problèmes de géométrie affine.
Comment construire le barycentre géométriquement ?
Pour ${(A, \alpha), (B, \beta)}$, on utilise la relation $\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{AB}$. On place $G$ sur la droite $(AB)$ en respectant ce rapport.
💡 À retenir : La construction est une simple application de la relation de Chasles.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soient $A(1, 1)$ et $B(3, 5)$. Déterminer les coordonnées du barycentre $G$ du système ${(A, 1), (B, 3)}$.
Soit $ABC$ un triangle. Soit $G$ le barycentre de ${(A, 1), (B, 1), (C, 1)}$. Montrer que $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}$ et interpréter géométriquement.
Soient A et B deux points du plan et α,β∈R tels que α+β=0. Le barycentre G du système {(A,α),(B,β)} est l'unique point vérifiant :
αGA+βGB=0
Les coordonnées de G sont : xG=α+βαxA+βxB et yG=α+βαyA+βyB.
Le barycentre de trois points {(A,α),(B,β),(C,γ)} existe si α+β+γ=0.
Méthodes à maîtriser
Déterminer les coordonnées : Appliquer directement la formule des coordonnées.
Démontrer l'alignement : Montrer que C est le barycentre de {(A,α),(B,β)}.
Utiliser l'associativité : Remplacer deux points par leur barycentre partiel pour simplifier un système de trois points.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Soient A(1,2) et B(3,0). Trouver G barycentre de {(A,1),(B,3)}.
xG=1+31(1)+3(3)=410=2,5. yG=41(2)+3(0)=42=0,5. Donc G(2,5;0,5).
Erreurs fréquentes
Oublier la condition ∑αi=0.
Confondre le vecteur GA avec AG dans la formule.
Oublier de diviser par la somme des poids.
Le barycentre de {(A,2),(B,2)} est :
Le milieu de [AB]
Non, le barycentre reste inchangé. C'est la propriété d'homogénéité. Si G est le barycentre de {(A,α),(B,β)}, alors pour tout réel k=0, G est aussi le barycentre de {(A,kα),(B,kβ)}.
💡 À retenir : On peut simplifier les poids pour faciliter les calculs.
Pour montrer que A,B et C sont alignés, il suffit de montrer que l'un des points est le barycentre des deux autres. Par exemple, si tu trouves que AC=kAB, alors ils sont alignés.
💡 À retenir : L'alignement est lié à la colinéarité des vecteurs.
L'associativité permet de remplacer deux points d'un système par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs poids. Si tu as {(A,α),(B,β),(C,γ)}, tu peux remplacer {(A,α),(B,β)} par {(G′,α+β)} où G′ est leur barycentre.
💡 À retenir : Cela simplifie les calculs pour les systèmes de 3 points ou plus.
Oui, tout dépend des signes des poids α et β. Si α et β sont de même signe, G est entre A et B. S'ils sont de signes opposés, G est à l'extérieur du segment [AB].
💡 À retenir : Le signe des poids détermine la position relative.
Vérifier que la somme des poids α+β+γ=0.
Utiliser la formule vectorielle : αGA+βGB+γGC=0.
Utiliser les coordonnées : xG=α+β+γαxA+βxB+γxC (idem pour yG).
💡 À retenir : La somme des poids au dénominateur est cruciale.
Si un poids est nul, le point associé n'intervient pas dans le calcul du barycentre. Le barycentre du système {(A,α),(B,0)} est simplement le point A.
💡 À retenir : Un point avec un poids nul est "invisible" pour le barycentre.
Si α+β=0, l'équation αGA+βGB=0 devient αGA−αGB=0, soit αBA=0. Comme α=0, cela signifierait BA=0, donc A=B, ce qui est impossible pour deux points distincts.
💡 À retenir : La division par zéro est impossible en mathématiques.
Non, la position du barycentre est une propriété géométrique intrinsèque. Les coordonnées changent si on change de repère, mais le point G reste le même dans le plan.
💡 À retenir : Le barycentre est une notion géométrique, pas seulement analytique.
Si G est le barycentre de {(A,α),(B,β)}, alors pour tout point M du plan, on a : αMA+βMB=(α+β)MG.
💡 À retenir : Cette relation est très utile pour simplifier les expressions vectorielles.
Oui, la méthode est identique. Il suffit d'ajouter le 4ème point dans la formule : xG=α+β+γ+δαxA+βxB+γxC+δxD.
💡 À retenir : La formule se généralise à n points.
Pour {(A,α),(B,β)}, on utilise la relation AG=α+ββAB. On place G sur la droite (AB) en respectant ce rapport.
💡 À retenir : La construction est une simple application de la relation de Chasles.
Exercice 1
Soient A(1,1) et B(3,5). Déterminer les coordonnées du barycentre G du système {(A,1),(B,3)}.
Exercice 2
Soient A(0,1), B(2,0) et C(1,2). Déterminer le barycentre G du système {(A,1),(B,1),(C,2)}.
Exercice 3
Soit ABC un triangle. Soit G le barycentre de {(A,1),(B,1),(C,1)}. Montrer que GA+GB+GC=0 et interpréter géométriquement.