Mathématiques · 1ère Année Bac — Sciences Expérimentales

Les suites numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Définition : Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$ .
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$ . Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$ . Somme : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier} + \text{dernier})$ .
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \times u_n$ . Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$ . Somme : $S = u_p \times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ ( $q \neq 1$ ).
Raisonnement par récurrence : Initialisation ( $n=0$ ), Hérédité (supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$ ), Conclusion.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique en calculant $u_{n+1} - u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ .
Utiliser la récurrence pour montrer une inégalité ou une égalité.
Encadrer une suite pour étudier sa convergence (théorème de convergence monotone).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ avec $u_0=2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$ . Initialisation : $u_0=2 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$ , alors $u_n+2 \geq 3$ , donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} \geq 1$ .
Somme : $S = 1 + 2 + ... + 100 = \frac{100(1+100)}{2} = 5050$ .

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre le nombre de termes : pour $u_p$ à $u_n$ , il y a $n-p+1$ termes.
Affirmer qu'une suite est croissante sans justifier le signe de $u_{n+1}-u_n$ .

L'essentiel du cours

Définition : Une suite est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ ou une partie de $\mathbb{N}$.
Suite arithmétique : $u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_p + (n-p)r$. Somme : $S = \frac{\text{nombre de termes}}{2} \times (\text{premier} + \text{dernier})$.
Suite géométrique : $u_{n+1} = q \times u_n$. Terme général : $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Somme : $S = u_p \times \frac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$ ($q \neq 1$).
Raisonnement par récurrence : Initialisation ($n=0$), Hérédité (supposer $P(n)$ vraie, montrer $P(n+1)$), Conclusion.
Monotonie : Étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer qu'une suite est arithmétique ou géométrique en calculant $u_{n+1} - u_n$ ou $\frac{u_{n+1}}{u_n}$.
Utiliser la récurrence pour montrer une inégalité ou une égalité.
Encadrer une suite pour étudier sa convergence (théorème de convergence monotone).

Exemples corrigés

Récurrence : Montrer que $u_n \geq 1$ avec $u_0=2$ et $u_{n+1} = \sqrt{u_n+2}$. Initialisation : $u_0=2 \geq 1$ (vrai). Hérédité : Supposons $u_n \geq 1$, alors $u_n+2 \geq 3$, donc $\sqrt{u_n+2} \geq \sqrt{3} \geq 1$.
Somme : $S = 1 + 2 + ... + 100 = \frac{100(1+100)}{2} = 5050$.

Erreurs fréquentes

Oublier l'initialisation dans la récurrence.
Confondre le nombre de termes : pour $u_p$ à $u_n$, il y a $n-p+1$ termes.
Affirmer qu'une suite est croissante sans justifier le signe de $u_{n+1}-u_n$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Les suites numériques

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La suite $u_n = 5n + 2$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'une suite est arithmétique ?

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$ .
Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$ , alors la suite est arithmétique de raison $r$ .

💡 À retenir : La différence doit être un nombre fixe, pas une expression avec $n$ .

Calcule la différence $u_{n+1} - u_n$.
Si le résultat est une constante $r$ indépendante de $n$, alors la suite est arithmétique de raison $r$.

💡 À retenir : La différence doit être un nombre fixe, pas une expression avec $n$.

Kifach n7seb l'adad dyal l7oudoud f chi majmou3 ?

Bach t7seb ch7al mn 7ad kayn mn $u_p$ l $u_n$ , diri l'indice lkbir naqs l'indice sghir w zidi 1.
L'adad = $(n - p + 1)$ .

💡 À retenir : Dima zidi 1, matnsayhach !

Bach t7seb ch7al mn 7ad kayn mn $u_p$ l $u_n$, diri l'indice lkbir naqs l'indice sghir w zidi 1.
L'adad = $(n - p + 1)$.

💡 À retenir : Dima zidi 1, matnsayhach !

C'est quoi une suite bornée ?

Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$ ) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$ ).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$ .

Une suite $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée (il existe $M$ tel que $u_n \leq M$) et minorée (il existe $m$ tel que $u_n \geq m$).

💡 À retenir : $m \leq u_n \leq M$.

Chno hiya l'utilité dyal l'istidlal b tarajou3 ?

L'istidlal b tarajou3 (récurrence) kansta3mloh bach nbino chi khassiya li kat3allaq b $n$ (b7al $u_n \geq 0$ wla $u_n = 2^n$ ).

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour manipuler les suites définies par récurrence.

L'istidlal b tarajou3 (récurrence) kansta3mloh bach nbino chi khassiya li kat3allaq b $n$ (b7al $u_n \geq 0$ wla $u_n = 2^n$).

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour manipuler les suites définies par récurrence.

Comment étudier la monotonie d'une suite ?

Calcule $u_{n+1} - u_n$ .
Étudie le signe du résultat.
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$ , la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$ , la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe est la clé de la monotonie.

Calcule $u_{n+1} - u_n$.
Étudie le signe du résultat.
Si $u_{n+1} - u_n \geq 0$, la suite est croissante.
Si $u_{n+1} - u_n \leq 0$, la suite est décroissante.

💡 À retenir : Le signe est la clé de la monotonie.

Kifach n3ref wach suite géométrique ?

Diri l'qisma $u_{n+1} / u_n$ .
Ila lqiti chi 3adad $q$ (constant), rah suite géométrique.
Ila lqiti $n$ f natija, rah machi géométrique.

💡 À retenir : Le rapport doit être constant.

Diri l'qisma $u_{n+1} / u_n$.
Ila lqiti chi 3adad $q$ (constant), rah suite géométrique.
Ila lqiti $n$ f natija, rah machi géométrique.

💡 À retenir : Le rapport doit être constant.

Peut-on utiliser la dérivée pour une suite ?

Non, une suite est définie sur $\mathbb{N}$ (discret). On ne peut pas dériver $u_n$ . Par contre, si $u_n = f(n)$ , on peut étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$ pour déduire celles de la suite.

💡 À retenir : La suite est une fonction, mais on n'utilise pas la dérivée directement sur $u_n$ .

Non, une suite est définie sur $\mathbb{N}$ (discret). On ne peut pas dériver $u_n$. Par contre, si $u_n = f(n)$, on peut étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0, +\infty[$ pour déduire celles de la suite.

💡 À retenir : La suite est une fonction, mais on n'utilise pas la dérivée directement sur $u_n$.

Qu'est-ce qu'une suite convergente ?

Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ( $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$ ).

💡 À retenir : Si la limite est $\pm \infty$ , la suite est divergente.

Une suite est convergente si elle admet une limite finie $L$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ($\lim_{n \to +\infty} u_n = L$).

💡 À retenir : Si la limite est $\pm \infty$, la suite est divergente.

Est-ce que toute suite croissante est convergente ?

Non. Par exemple, $u_n = n$ est croissante mais elle tend vers $+\infty$ (divergente). Pour qu'elle converge, il faut qu'elle soit aussi majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Non. Par exemple, $u_n = n$ est croissante mais elle tend vers $+\infty$ (divergente). Pour qu'elle converge, il faut qu'elle soit aussi majorée.

💡 À retenir : Croissante + Majorée = Convergente.

Comment trouver le terme général d'une suite arithmétique ?

Si tu connais le premier terme $u_0$ et la raison $r$ , alors $u_n = u_0 + n \times r$ .

💡 À retenir : $u_n = u_p + (n-p)r$ .

Si tu connais le premier terme $u_0$ et la raison $r$, alors $u_n = u_0 + n \times r$.

💡 À retenir : $u_n = u_p + (n-p)r$.

Est-ce que u{n+1} = 2un + 1 est une suite géométrique ?

Non, car il y a le $+1$ . Une suite géométrique doit être de la forme $u_{n+1} = q \times u_n$ .

💡 À retenir : La présence d'une addition empêche la forme géométrique pure.

Non, car il y a le $+1$. Une suite géométrique doit être de la forme $u_{n+1} = q \times u_n$.

💡 À retenir : La présence d'une addition empêche la forme géométrique pure.

Chno lfarq bin suite arithmétique w géométrique ?

Arithmétique = katzedi nafs l'adad (addition). Géométrique = katdarbi f nafs l'adad (multiplication).

💡 À retenir : Addition = Arithmétique, Multiplication = Géométrique.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$ .

Calculer $u_1$ et $u_2$ .
Montrer que $(u_n)$ est arithmétique.
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$ .

Exercice 1

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = u_n + 3$.

Calculer $u_1$ et $u_2$.
Montrer que $(u_n)$ est arithmétique.
Déterminer $u_n$ en fonction de $n$.

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Exercice 2

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$ .

Montrer par récurrence que $v_n = 2 \times 3^n$ .
Calculer la somme $S = v_0 + v_1 + ... + v_n$ .

Exercice 2

Soit $(v_n)$ définie par $v_0 = 2$ et $v_{n+1} = 3v_n$.

Montrer par récurrence que $v_n = 2 \times 3^n$.
Calculer la somme $S = v_0 + v_1 + ... + v_n$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$ .

Montrer que $u_n < 2$ pour tout $n$ .
Étudier la monotonie de $(u_n)$ .

Exercice 3

Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.

Montrer que $u_n < 2$ pour tout $n$.
Étudier la monotonie de $(u_n)$.

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