Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Probabilités

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Univers ( $\Omega$ ) : L'ensemble des résultats possibles.
Probabilité ( $P$ ) : Une application de $\mathcal{P}(\Omega)$ vers $[0, 1]$ telle que $P(\Omega)=1$ et pour tout événement $A$ et $B$ incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Équiprobabilité : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$ .
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$ .
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .
Variable aléatoire ( $X$ ) : Application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$ .
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$ .

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les arrangements, permutations ou combinaisons selon l'ordre et la répétition.
Arbres de probabilités : Indispensables pour les probabilités conditionnelles.
Formule des probabilités totales : Si $(A_i)$ est une partition de $\Omega$ , $P(B) = \sum P(B \cap A_i) = \sum P(A_i) \times P_{A_i}(B)$ .

Exemples corrigés

Tirage successif sans remise : 3 boules parmi 10. $\text{card}(\Omega) = A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$ .
Tirage simultané : 3 boules parmi 10. $\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .

Erreurs fréquentes

Confondre tirage simultané ( $C_n^k$ ) et successif avec remise ( $n^k$ ).
Oublier que la somme des probabilités d'une loi de probabilité doit être égale à 1.
Appliquer $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans vérifier si les événements sont indépendants.

L'essentiel du cours

Univers ($\Omega$) : L'ensemble des résultats possibles.
Probabilité ($P$) : Une application de $\mathcal{P}(\Omega)$ vers $[0, 1]$ telle que $P(\Omega)=1$ et pour tout événement $A$ et $B$ incompatibles, $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Équiprobabilité : Si tous les événements élémentaires sont équiprobables, $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$.
Probabilité conditionnelle : $P_A(B) = P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ avec $P(A) > 0$.
Indépendance : $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
Variable aléatoire ($X$) : Application de $\Omega$ dans $\mathbb{R}$.
Espérance : $E(X) = \sum_{i=1}^n x_i P(X=x_i)$.

Méthodes à maîtriser

Dénombrement : Utiliser les arrangements, permutations ou combinaisons selon l'ordre et la répétition.
Arbres de probabilités : Indispensables pour les probabilités conditionnelles.
Formule des probabilités totales : Si $(A_i)$ est une partition de $\Omega$, $P(B) = \sum P(B \cap A_i) = \sum P(A_i) \times P_{A_i}(B)$.

Exemples corrigés

Tirage successif sans remise : 3 boules parmi 10. $\text{card}(\Omega) = A_{10}^3 = 10 \times 9 \times 8 = 720$.
Tirage simultané : 3 boules parmi 10. $\text{card}(\Omega) = C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

Erreurs fréquentes

Confondre tirage simultané ($C_n^k$) et successif avec remise ($n^k$).
Oublier que la somme des probabilités d'une loi de probabilité doit être égale à 1.
Appliquer $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ sans vérifier si les événements sont indépendants.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Probabilités

1/4

Dans un tirage simultané de 2 boules parmi 5, le nombre de cas possibles est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre tirage simultané et successif sans remise ?

Tirage simultané : Tu prends $k$ objets en une seule fois. L'ordre n'a pas d'importance. On utilise les combinaisons $C_n^k$ .
Tirage successif sans remise : Tu prends les objets un par un sans remettre le précédent. L'ordre compte. On utilise les arrangements $A_n^k$ .

💡 À retenir : Si l'énoncé dit "simultanément", c'est $C_n^k$ . Si c'est "successif sans remise", c'est $A_n^k$ .

Tirage simultané : Tu prends $k$ objets en une seule fois. L'ordre n'a pas d'importance. On utilise les combinaisons $C_n^k$.
Tirage successif sans remise : Tu prends les objets un par un sans remettre le précédent. L'ordre compte. On utilise les arrangements $A_n^k$.

💡 À retenir : Si l'énoncé dit "simultanément", c'est $C_n^k$. Si c'est "successif sans remise", c'est $A_n^k$.

Kifach n7seb l-ihtimal dyal "au moins une" ?

Pour calculer $P(\text{au moins une})$ , il est plus simple de passer par l'événement contraire.
L'événement contraire de "au moins une" est "aucune".
La formule est : $P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune})$ .

💡 À retenir : Dès que tu vois "au moins un", pense tout de suite à $1 - P(\text{contraire})$ .

Pour calculer $P(\text{au moins une})$, il est plus simple de passer par l'événement contraire.
L'événement contraire de "au moins une" est "aucune".
La formule est : $P(\text{au moins une}) = 1 - P(\text{aucune})$.

💡 À retenir : Dès que tu vois "au moins un", pense tout de suite à $1 - P(\text{contraire})$.

Chno hiya l-far9 bin l-ihtimal l-charte o l-istiqlal ?

L-ihtimal l-charte $P_A(B)$ kay-3ni bli l-hadat $A$ tra, o kan-choufo chhal l-hazz dyal $B$ f-had l-hala.
L-istiqlal kay-3ni bli l-wou9ou3 dyal $A$ makay-beddel walo f-l-hazz dyal $B$ .
Mathematically : $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

💡 À retenir : Indépendance = multiplication simple. Conditionnel = division par $P(A)$ .

L-ihtimal l-charte $P_A(B)$ kay-3ni bli l-hadat $A$ tra, o kan-choufo chhal l-hazz dyal $B$ f-had l-hala.
L-istiqlal kay-3ni bli l-wou9ou3 dyal $A$ makay-beddel walo f-l-hazz dyal $B$.
Mathematically : $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.

💡 À retenir : Indépendance = multiplication simple. Conditionnel = division par $P(A)$.

Comment calculer l'espérance mathématique E(X) ?

Déterminer toutes les valeurs possibles $x_i$ que peut prendre $X$ .
Calculer la probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.
Appliquer la formule : $E(X) = x_1 P(X=x_1) + x_2 P(X=x_2) + \dots + x_n P(X=x_n)$ .

💡 À retenir : L'espérance est une moyenne pondérée, elle n'est pas forcément une valeur prise par $X$ .

Déterminer toutes les valeurs possibles $x_i$ que peut prendre $X$.
Calculer la probabilité $P(X=x_i)$ pour chaque valeur.
Appliquer la formule : $E(X) = x_1 P(X=x_1) + x_2 P(X=x_2) + \dots + x_n P(X=x_n)$.

💡 À retenir : L'espérance est une moyenne pondérée, elle n'est pas forcément une valeur prise par $X$.

Est-ce que la somme des probabilités peut être supérieure à 1 ?

Non, jamais. Dans une loi de probabilité, la somme des probabilités de tous les événements élémentaires doit être strictement égale à 1. Si tu trouves plus, c'est qu'il y a une erreur dans tes calculs.

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$ .

💡 À retenir : $\sum P(X=x_i) = 1$.

Kifach n3ref wach n-khdem b-Cn^k awla n^k ?

$C_n^k$ : Tirage simultané ou sans ordre.
$n^k$ : Tirage successif avec remise (l'ordre compte et on peut répéter).
$A_n^k$ : Tirage successif sans remise (l'ordre compte et on ne peut pas répéter).

💡 À retenir : Regarde toujours si l'ordre compte et si la remise est autorisée.

$C_n^k$ : Tirage simultané ou sans ordre.
$n^k$ : Tirage successif avec remise (l'ordre compte et on peut répéter).
$A_n^k$ : Tirage successif sans remise (l'ordre compte et on ne peut pas répéter).

💡 À retenir : Regarde toujours si l'ordre compte et si la remise est autorisée.

Qu'est-ce qu'une partition de l'univers ?

C'est un ensemble d'événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ tels que :

Ils sont deux à deux incompatibles ( $A_i \cap A_j = \emptyset$ ).
Leur réunion est égale à l'univers ( $\cup A_i = \Omega$ ).

💡 À retenir : Une partition permet d'utiliser la formule des probabilités totales.

C'est un ensemble d'événements $A_1, A_2, \dots, A_n$ tels que :

Ils sont deux à deux incompatibles ($A_i \cap A_j = \emptyset$).
Leur réunion est égale à l'univers ($\cup A_i = \Omega$).

💡 À retenir : Une partition permet d'utiliser la formule des probabilités totales.

Est-ce que P(A cup B) = P(A) + P(B) est toujours vrai ?

Non, c'est vrai seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ). Sinon, il faut utiliser la formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 À retenir : Ne jamais oublier de soustraire l'intersection si les événements ne sont pas incompatibles.

Non, c'est vrai seulement si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$). Sinon, il faut utiliser la formule générale : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

💡 À retenir : Ne jamais oublier de soustraire l'intersection si les événements ne sont pas incompatibles.

Comment démontrer que deux événements sont indépendants ?

Il faut calculer $P(A)$ , $P(B)$ et $P(A \cap B)$ séparément. Ensuite, tu vérifies si le produit $P(A) \times P(B)$ est égal à $P(A \cap B)$ . Si oui, ils sont indépendants.

💡 À retenir : L'indépendance est une égalité numérique à vérifier, pas une intuition.

Il faut calculer $P(A)$, $P(B)$ et $P(A \cap B)$ séparément. Ensuite, tu vérifies si le produit $P(A) \times P(B)$ est égal à $P(A \cap B)$. Si oui, ils sont indépendants.

💡 À retenir : L'indépendance est une égalité numérique à vérifier, pas une intuition.

C'est quoi la variance d'une variable aléatoire ?

La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Elle se calcule par : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ .

💡 À retenir : $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$ .

La variance $V(X)$ mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Elle se calcule par : $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$.

💡 À retenir : $E(X^2) = \sum x_i^2 P(X=x_i)$.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise les combinaisons.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ( $C_n^k$ ).

Non, dans un tirage simultané, on considère que toutes les boules sont prises en même temps, donc l'ordre n'a aucune importance. On utilise les combinaisons.

💡 À retenir : Simultané = Combinaison ($C_n^k$).

Pourquoi on utilise souvent l'événement contraire ?

Parce que parfois, calculer directement l'événement est trop long ou complexe (ex: "au moins une boule blanche"). L'événement contraire est souvent plus simple à calculer.

💡 À retenir : $P(A) = 1 - P(\overline{A})$ .

Parce que parfois, calculer directement l'événement est trop long ou complexe (ex: "au moins une boule blanche"). L'événement contraire est souvent plus simple à calculer.

💡 À retenir : $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 blanches. On tire simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer la probabilité d'obtenir 2 boules rouges et 1 blanche.

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Exercice 2

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $X$ la variable aléatoire égale au numéro obtenu.

Donner la loi de probabilité de $X$ .
Calculer l'espérance $E(X)$ .

Exercice 2

On lance un dé équilibré à 6 faces. Soit $X$ la variable aléatoire égale au numéro obtenu.

Donner la loi de probabilité de $X$.
Calculer l'espérance $E(X)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Une urne contient 3 boules noires et 2 blanches. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on en tire une deuxième.

Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.

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