Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Matrices et systèmes linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une matrice $A$ de type $(n, p)$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
Le produit $A \times B$ n'est possible que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$ .
La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée de taille $n$ avec des $1$ sur la diagonale principale et $0$ ailleurs.
Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$ . Dans ce cas, $A \times A^{-1} = I_n$ .
Un système linéaire $AX = B$ admet une solution unique si $\det(A) \neq 0$ , donnée par $X = A^{-1}B$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul du déterminant d'une matrice $2 \times 2$ : $\det \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$ .
Calcul de l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .
Résolution de systèmes par la méthode de Cramer ou par substitution (pivot de Gauss).

Exemples corrigés

Calcul de produit : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(3)+2(4) \\ 0(3)+1(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \\ 4 \end{pmatrix}$ .
Inversion : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ , $\det(A) = 4 - 6 = -2$ . Donc $A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier que le produit matriciel n'est pas commutatif ( $A \times B \neq B \times A$ en général).
Confondre le déterminant avec la matrice elle-même.
Oublier de diviser par le déterminant lors du calcul de l'inverse.

L'essentiel du cours

Une matrice $A$ de type $(n, p)$ est un tableau de $n$ lignes et $p$ colonnes.
Le produit $A \times B$ n'est possible que si le nombre de colonnes de $A$ est égal au nombre de lignes de $B$.
La matrice identité $I_n$ est la matrice carrée de taille $n$ avec des $1$ sur la diagonale principale et $0$ ailleurs.
Une matrice carrée $A$ est inversible si et seulement si $\det(A) \neq 0$. Dans ce cas, $A \times A^{-1} = I_n$.
Un système linéaire $AX = B$ admet une solution unique si $\det(A) \neq 0$, donnée par $X = A^{-1}B$.

Méthodes à maîtriser

Calcul du déterminant d'une matrice $2 \times 2$ : $\det \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$.
Calcul de l'inverse d'une matrice $2 \times 2$ : $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$.
Résolution de systèmes par la méthode de Cramer ou par substitution (pivot de Gauss).

Exemples corrigés

Calcul de produit : $\begin{pmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 \ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(3)+2(4) \ 0(3)+1(4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 \ 4 \end{pmatrix}$.
Inversion : Si $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$, $\det(A) = 4 - 6 = -2$. Donc $A^{-1} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$.

Erreurs fréquentes

Oublier que le produit matriciel n'est pas commutatif ($A \times B \neq B \times A$ en général).
Confondre le déterminant avec la matrice elle-même.
Oublier de diviser par le déterminant lors du calcul de l'inverse.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Matrices et systèmes linéaires

1/4

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ . Le déterminant de $A$ est :

Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}$. Le déterminant de $A$ est :

❓ Questions fréquentes

Qu'est-ce qu'une matrice carrée ?

Une matrice est dite carrée si elle possède le même nombre de lignes et de colonnes. On dit qu'elle est d'ordre $n$ si elle a $n$ lignes et $n$ colonnes.

💡 À retenir : Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.

Une matrice est dite carrée si elle possède le même nombre de lignes et de colonnes. On dit qu'elle est d'ordre $n$ si elle a $n$ lignes et $n$ colonnes.

💡 À retenir : Seules les matrices carrées peuvent être inversibles.

Kifach n7seb l'maqloub dyal matrice 2 times 2 ?

Calcule le déterminant $D = ad - bc$ .
Si $D \neq 0$ , alors $A^{-1} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$ .
Si $D = 0$ , la matrice n'est pas inversible.

💡 À retenir : Inverse les éléments de la diagonale et change les signes des autres.

Calcule le déterminant $D = ad - bc$.
Si $D \neq 0$, alors $A^{-1} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix}$.
Si $D = 0$, la matrice n'est pas inversible.

💡 À retenir : Inverse les éléments de la diagonale et change les signes des autres.

Est-ce que A times B = B times A est toujours vrai ?

Non, le produit matriciel n'est pas commutatif. Il existe des cas particuliers, mais en général, $AB \neq BA$ .

💡 À retenir : L'ordre des matrices dans un produit est crucial.

Non, le produit matriciel n'est pas commutatif. Il existe des cas particuliers, mais en général, $AB \neq BA$.

💡 À retenir : L'ordre des matrices dans un produit est crucial.

Chno hiya l'matrice identité ?

C'est une matrice carrée qui contient des $1$ sur la diagonale principale (de haut gauche à bas droite) et des $0$ partout ailleurs. Elle joue le rôle de "1" dans la multiplication des matrices.

💡 À retenir : $A \times I = I \times A = A$ .

C'est une matrice carrée qui contient des $1$ sur la diagonale principale (de haut gauche à bas droite) et des $0$ partout ailleurs. Elle joue le rôle de "1" dans la multiplication des matrices.

💡 À retenir : $A \times I = I \times A = A$.

Comment savoir si un système a une solution unique ?

Pour un système $AX = B$ où $A$ est carrée, le système a une solution unique si et seulement si $\det(A) \neq 0$ .

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0$ signifie que $A$ est inversible.

Pour un système $AX = B$ où $A$ est carrée, le système a une solution unique si et seulement si $\det(A) \neq 0$.

💡 À retenir : $\det(A) \neq 0$ signifie que $A$ est inversible.

Wach momkin n7seb l'maqloub dyal matrice li l'mo7adid dyalha 0 ?

Non, c'est impossible. Si le déterminant est nul, la matrice n'est pas inversible (on dit qu'elle est singulière).

💡 À retenir : La division par le déterminant dans la formule de l'inverse rend le calcul impossible.

Qu'est-ce que la transposée d'une matrice ?

C'est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes. La ligne $i$ devient la colonne $i$ .

💡 À retenir : Si $A$ est $(n, p)$ , sa transposée $A^T$ est $(p, n)$ .

C'est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes. La ligne $i$ devient la colonne $i$.

💡 À retenir : Si $A$ est $(n, p)$, sa transposée $A^T$ est $(p, n)$.

Comment résoudre un système avec la méthode de Cramer ?

Calcule le déterminant principal $\Delta$ .
Calcule les déterminants $\Delta_x$ et $\Delta_y$ en remplaçant la colonne des $x$ (ou $y$ ) par les constantes.
$x = \Delta_x / \Delta$ et $y = \Delta_y / \Delta$ .

💡 À retenir : Cette méthode ne marche que si $\Delta \neq 0$ .

Calcule le déterminant principal $\Delta$.
Calcule les déterminants $\Delta_x$ et $\Delta_y$ en remplaçant la colonne des $x$ (ou $y$) par les constantes.
$x = \Delta_x / \Delta$ et $y = \Delta_y / \Delta$.

💡 À retenir : Cette méthode ne marche que si $\Delta \neq 0$.

Est-ce que le déterminant d'une matrice 3 times 3 est au programme ?

Oui, le calcul du déterminant $3 \times 3$ (développement par rapport à une ligne ou colonne) est au programme de la filière IAV.

💡 À retenir : Utilise la règle de Sarrus ou le développement par les cofacteurs.

Oui, le calcul du déterminant $3 \times 3$ (développement par rapport à une ligne ou colonne) est au programme de la filière IAV.

💡 À retenir : Utilise la règle de Sarrus ou le développement par les cofacteurs.

Pourquoi on utilise le pivot de Gauss ?

C'est une méthode efficace pour résoudre des systèmes de grande taille ou pour inverser des matrices de taille supérieure à $2 \times 2$ .

💡 À retenir : Le but est de créer des zéros sous la diagonale pour simplifier le système.

C'est une méthode efficace pour résoudre des systèmes de grande taille ou pour inverser des matrices de taille supérieure à $2 \times 2$.

💡 À retenir : Le but est de créer des zéros sous la diagonale pour simplifier le système.

Chno l'farq bin matrice w l'mo7adid ?

La matrice est un tableau de nombres, alors que le déterminant est un nombre unique calculé à partir de ce tableau.

💡 À retenir : Une matrice n'est pas un nombre, son déterminant l'est.

Est-ce que la somme de deux matrices inversibles est toujours inversible ?

Non, pas forcément. Par exemple, $A + (-A) = 0$ , et la matrice nulle n'est pas inversible.

💡 À retenir : La propriété d'inversibilité ne se conserve pas par addition.

Non, pas forcément. Par exemple, $A + (-A) = 0$, et la matrice nulle n'est pas inversible.

💡 À retenir : La propriété d'inversibilité ne se conserve pas par addition.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $\det(A)$ .
Déterminer $A^{-1}$ .
Résoudre le système : $\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}$

Exercice 1

Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \ 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $\det(A)$.
Déterminer $A^{-1}$.
Résoudre le système : $\begin{cases} 2x + y = 5 \ x + y = 3 \end{cases}$

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Exercice 2

Soit $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ .

Calculer $\det(M)$ .
La matrice $M$ est-elle inversible ? Justifier.

Exercice 2

Soit $M = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \ 0 & 2 & 0 \ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.

Calculer $\det(M)$.
La matrice $M$ est-elle inversible ? Justifier.

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Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant par la méthode de Cramer : $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \\ x + 4y = 6 \end{cases}$

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}^2$ le système suivant par la méthode de Cramer : $\begin{cases} 3x - 2y = 4 \ x + 4y = 6 \end{cases}$

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