Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Espaces vectoriels et applications linéaires

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe par un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$ .

Sous-espace vectoriel (SEV) : $F \subset E$ est un SEV si $0_E \in F$ et $\forall (u, v) \in F^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda u + v \in F$ .
Base : Une famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si elle est libre et génératrice.
Dimension : Si $E$ admet une base de $n$ vecteurs, alors $\dim(E) = n$ .
Application linéaire : $f: E \to F$ est linéaire si $\forall (u, v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$ .
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .

Méthodes à maîtriser

Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble, puis prendre deux vecteurs et une combinaison linéaire pour montrer qu'elle reste dans l'ensemble.
Montrer qu'une famille est une base : Vérifier qu'elle est libre (en résolvant $\sum \alpha_i e_i = 0 \implies \alpha_i = 0$ ) et que son nombre d'éléments égale la dimension de l'espace.
Déterminer le noyau : Résoudre l'équation $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$ .
Déterminer l'image : Exprimer $f(x, y, z)$ comme combinaison linéaire des images des vecteurs de la base canonique.

Exemples corrigés

SEV : Soit $F = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x + y = 0\}$ . $0 \in F$ car $0+0=0$ . Si $u, v \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ , alors $\lambda u + v$ vérifie aussi la condition. Donc $F$ est un SEV.
Noyau : Soit $f(x, y) = (x+y, x-y)$ . $f(x, y) = (0, 0) \iff x+y=0$ et $x-y=0 \iff x=0, y=0$ . Donc $\ker(f) = \{(0, 0)\}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble lors de la preuve d'un SEV.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Ne pas justifier la dimension finie avant d'utiliser le théorème du rang.

L'essentiel du cours

Un espace vectoriel $(E, +, \cdot)$ est un ensemble muni d'une addition interne et d'une multiplication externe par un scalaire $\lambda \in \mathbb{R}$.

Sous-espace vectoriel (SEV) : $F \subset E$ est un SEV si $0_E \in F$ et $\forall (u, v) \in F^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, \lambda u + v \in F$.
Base : Une famille $(e_1, \dots, e_n)$ est une base de $E$ si elle est libre et génératrice.
Dimension : Si $E$ admet une base de $n$ vecteurs, alors $\dim(E) = n$.
Application linéaire : $f: E \to F$ est linéaire si $\forall (u, v) \in E^2, \forall \lambda \in \mathbb{R}, f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$.
Théorème du rang : Si $E$ est de dimension finie, $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.

Méthodes à maîtriser

Montrer qu'un ensemble est un SEV : Vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble, puis prendre deux vecteurs et une combinaison linéaire pour montrer qu'elle reste dans l'ensemble.
Montrer qu'une famille est une base : Vérifier qu'elle est libre (en résolvant $\sum \alpha_i e_i = 0 \implies \alpha_i = 0$) et que son nombre d'éléments égale la dimension de l'espace.
Déterminer le noyau : Résoudre l'équation $f(x, y, z) = (0, 0, 0)$.
Déterminer l'image : Exprimer $f(x, y, z)$ comme combinaison linéaire des images des vecteurs de la base canonique.

Exemples corrigés

SEV : Soit $F = {(x, y, z) \in \mathbb{R}^3 / x + y = 0}$. $0 \in F$ car $0+0=0$. Si $u, v \in F$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $\lambda u + v$ vérifie aussi la condition. Donc $F$ est un SEV.
Noyau : Soit $f(x, y) = (x+y, x-y)$. $f(x, y) = (0, 0) \iff x+y=0$ et $x-y=0 \iff x=0, y=0$. Donc $\ker(f) = {(0, 0)}$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier que le vecteur nul appartient à l'ensemble lors de la preuve d'un SEV.
Confondre "famille libre" et "famille génératrice".
Ne pas justifier la dimension finie avant d'utiliser le théorème du rang.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Espaces vectoriels et applications linéaires

1/4

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3. Si une famille de 3 vecteurs est libre, alors :

❓ Questions fréquentes

Comment montrer qu'une famille de vecteurs est une base ?

Vérifier que le nombre de vecteurs est égal à la dimension de l'espace.
Montrer que la famille est libre (en résolvant l'équation $\sum \alpha_i v_i = 0$ ).
Si la famille est libre et que le nombre de vecteurs égale la dimension, alors elle est automatiquement génératrice (théorème de la base incomplète).

💡 À retenir : Une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est toujours une base.

Vérifier que le nombre de vecteurs est égal à la dimension de l'espace.
Montrer que la famille est libre (en résolvant l'équation $\sum \alpha_i v_i = 0$).
Si la famille est libre et que le nombre de vecteurs égale la dimension, alors elle est automatiquement génératrice (théorème de la base incomplète).

💡 À retenir : Une famille libre de $n$ vecteurs dans un espace de dimension $n$ est toujours une base.

Kifach n7seb l'image d'un espace vectoriel ?

Prends une base de l'espace de départ (souvent la base canonique).
Calcule l'image de chaque vecteur de cette base par l'application $f$ .
L'image de l'espace est le SEV engendré par ces vecteurs images : $\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(e_1), \dots, f(e_n))$ .
Si nécessaire, extrais une famille libre parmi ces vecteurs pour obtenir une base de $\text{Im}(f)$ .

💡 À retenir : L'image est engendrée par les images des vecteurs de la base.

Prends une base de l'espace de départ (souvent la base canonique).
Calcule l'image de chaque vecteur de cette base par l'application $f$.
L'image de l'espace est le SEV engendré par ces vecteurs images : $\text{Im}(f) = \text{Vect}(f(e_1), \dots, f(e_n))$.
Si nécessaire, extrais une famille libre parmi ces vecteurs pour obtenir une base de $\text{Im}(f)$.

💡 À retenir : L'image est engendrée par les images des vecteurs de la base.

Qu'est-ce qu'un isomorphisme ?

Un isomorphisme est une application linéaire qui est à la fois injective et surjective (bijective).

Injective : $\ker(f) = \{0_E\}$ .
Surjective : $\text{Im}(f) = F$ .

💡 À retenir : Un isomorphisme préserve la structure de l'espace vectoriel.

Un isomorphisme est une application linéaire qui est à la fois injective et surjective (bijective).

Injective : $\ker(f) = {0_E}$.
Surjective : $\text{Im}(f) = F$.

💡 À retenir : Un isomorphisme préserve la structure de l'espace vectoriel.

Chno hiya l'dimension dial mathbb{R}^3 ?

La dimension de $\mathbb{R}^3$ est 3.

La base canonique est constituée des vecteurs $e_1=(1,0,0)$ , $e_2=(0,1,0)$ et $e_3=(0,0,1)$ .
Comme il y a 3 vecteurs dans cette base, la dimension est 3.

💡 À retenir : La dimension de $\mathbb{R}^n$ est toujours $n$ .

La dimension de $\mathbb{R}^3$ est 3.

La base canonique est constituée des vecteurs $e_1=(1,0,0)$, $e_2=(0,1,0)$ et $e_3=(0,0,1)$.
Comme il y a 3 vecteurs dans cette base, la dimension est 3.

💡 À retenir : La dimension de $\mathbb{R}^n$ est toujours $n$.

Est-ce que l'ensemble des vecteurs (x, y) tels que x+y=1 est un SEV ?

Non, ce n'est pas un SEV.

Un SEV doit contenir le vecteur nul $(0, 0)$ .
Ici, si $x=0$ et $y=0$ , alors $x+y = 0 \neq 1$ .
Le vecteur nul n'appartient pas à l'ensemble.

💡 À retenir : Un SEV doit toujours contenir le vecteur nul.

Non, ce n'est pas un SEV.

Un SEV doit contenir le vecteur nul $(0, 0)$.
Ici, si $x=0$ et $y=0$, alors $x+y = 0 \neq 1$.
Le vecteur nul n'appartient pas à l'ensemble.

💡 À retenir : Un SEV doit toujours contenir le vecteur nul.

Kifach n3ref wach wahed l'application hiya linéaire ?

Tu dois vérifier deux conditions pour tous vecteurs $u, v$ et tout scalaire $\lambda$ :

$f(u+v) = f(u) + f(v)$ (additivité).
$f(\lambda u) = \lambda f(u)$ (homogénéité).

💡 À retenir : On peut aussi vérifier en une seule fois : $f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$ .

Tu dois vérifier deux conditions pour tous vecteurs $u, v$ et tout scalaire $\lambda$ :

$f(u+v) = f(u) + f(v)$ (additivité).
$f(\lambda u) = \lambda f(u)$ (homogénéité).

💡 À retenir : On peut aussi vérifier en une seule fois : $f(\lambda u + v) = \lambda f(u) + f(v)$.

Peut-on avoir une famille libre avec le vecteur nul ?

Non, jamais.

Si une famille contient le vecteur nul $0_E$ , alors $1 \cdot 0_E = 0_E$ .
Comme le coefficient est non nul (1), la famille est liée par définition.

💡 À retenir : Toute famille contenant le vecteur nul est liée.

Non, jamais.

Si une famille contient le vecteur nul $0_E$, alors $1 \cdot 0_E = 0_E$.
Comme le coefficient est non nul (1), la famille est liée par définition.

💡 À retenir : Toute famille contenant le vecteur nul est liée.

Quelle est la différence entre noyau et image ?

Le noyau est un sous-ensemble de l'espace de départ ( $E$ ). Il contient les vecteurs qui sont "écrasés" par $f$ vers zéro.
L'image est un sous-ensemble de l'espace d'arrivée ( $F$ ). Elle contient tous les vecteurs qui sont atteints par $f$ .

💡 À retenir : $\ker(f) \subset E$ et $\text{Im}(f) \subset F$ .

Le noyau est un sous-ensemble de l'espace de départ ($E$). Il contient les vecteurs qui sont "écrasés" par $f$ vers zéro.
L'image est un sous-ensemble de l'espace d'arrivée ($F$). Elle contient tous les vecteurs qui sont atteints par $f$.

💡 À retenir : $\ker(f) \subset E$ et $\text{Im}(f) \subset F$.

Si dim(E) = 3 et dim(ker(f)) = 1, quelle est la dimension de l'image ?

D'après le théorème du rang : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$ .

$3 = 1 + \dim(\text{Im}(f))$ .
Donc $\dim(\text{Im}(f)) = 2$ .

💡 À retenir : Le théorème du rang est indispensable pour relier ces dimensions.

D'après le théorème du rang : $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(\text{Im}(f))$.

$3 = 1 + \dim(\text{Im}(f))$.
Donc $\dim(\text{Im}(f)) = 2$.

💡 À retenir : Le théorème du rang est indispensable pour relier ces dimensions.

Est-ce que tout espace vectoriel a une base ?

Oui, tout espace vectoriel de dimension finie possède au moins une base.

Si l'espace est réduit au vecteur nul $\{0\}$ , il n'a pas de base (ou base vide).
Sinon, on peut toujours construire une base par le procédé de complétion.

💡 À retenir : La base est le "squelette" de l'espace vectoriel.

Oui, tout espace vectoriel de dimension finie possède au moins une base.

Si l'espace est réduit au vecteur nul ${0}$, il n'a pas de base (ou base vide).
Sinon, on peut toujours construire une base par le procédé de complétion.

💡 À retenir : La base est le "squelette" de l'espace vectoriel.

Comment montrer qu'une famille est génératrice ?

Prends un vecteur quelconque $v = (x, y, z)$ dans l'espace.
Montre qu'il existe des scalaires $a, b, c$ tels que $v = a v_1 + b v_2 + c v_3$ .
Cela revient à résoudre un système linéaire.

💡 À retenir : Si le système a toujours une solution, la famille est génératrice.

Prends un vecteur quelconque $v = (x, y, z)$ dans l'espace.
Montre qu'il existe des scalaires $a, b, c$ tels que $v = a v_1 + b v_2 + c v_3$.
Cela revient à résoudre un système linéaire.