Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Fonctions réelles d'une variable réelle : Limites, Continuité, Dérivabilité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limites : Étude du comportement de $f(x)$ quand $x \to a$ ou $x \to \pm \infty$ . Utilisation des formes indéterminées (FI) : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0 \times \infty$ .
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Dérivabilité : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ . L'équation de la tangente est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ .

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Factorisation, expression conjuguée, ou utilisation des limites usuelles ( $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ).
Étude de continuité : Vérifier la continuité à gauche et à droite en un point de raccordement.
Étude de dérivabilité : Calculer $f'(x)$ et étudier son signe pour déterminer les variations.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2}$ .
Continuité : $f(x) = x^2$ pour $x \ge 0$ et $f(x) = -x$ pour $x < 0$ . En 0, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$ . $f(0)=0$ , donc $f$ est continue en 0.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre $f'(x) = 0$ (point critique) avec un extremum (il faut un changement de signe).
Mauvaise utilisation de la règle de L'Hôpital (non exigible au programme, utiliser les développements limités si nécessaire).

L'essentiel du cours

Limites : Étude du comportement de $f(x)$ quand $x \to a$ ou $x \to \pm \infty$. Utilisation des formes indéterminées (FI) : $\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty-\infty, 0 \times \infty$.
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Dérivabilité : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$. L'équation de la tangente est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$.

Méthodes à maîtriser

Levée d'indétermination : Factorisation, expression conjuguée, ou utilisation des limites usuelles ($\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$).
Étude de continuité : Vérifier la continuité à gauche et à droite en un point de raccordement.
Étude de dérivabilité : Calculer $f'(x)$ et étudier son signe pour déterminer les variations.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x+1-1}{x(\sqrt{x+1}+1)} = \frac{1}{2}$.
Continuité : $f(x) = x^2$ pour $x \ge 0$ et $f(x) = -x$ pour $x < 0$. En 0, $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$. $f(0)=0$, donc $f$ est continue en 0.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre $f'(x) = 0$ (point critique) avec un extremum (il faut un changement de signe).
Mauvaise utilisation de la règle de L'Hôpital (non exigible au programme, utiliser les développements limités si nécessaire).

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🎯 Fonctions réelles d'une variable réelle : Limites, Continuité, Dérivabilité

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La limite $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x}$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l-founction m-tassila f-wa7d n-no9ta a ?

Calcule la limite à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x)$ .
Calcule la limite à gauche : $\lim_{x \to a^-} f(x)$ .
Calcule l'image $f(a)$ .
Si les trois sont égaux, alors $f$ est continue en $a$ .

💡 À retenir : La continuité exige que la courbe ne soit pas "brisée" au point $a$ .

Calcule la limite à droite : $\lim_{x \to a^+} f(x)$.
Calcule la limite à gauche : $\lim_{x \to a^-} f(x)$.
Calcule l'image $f(a)$.
Si les trois sont égaux, alors $f$ est continue en $a$.

💡 À retenir : La continuité exige que la courbe ne soit pas "brisée" au point $a$.

Chno hiya l-far9 bin l-i-t-isal o l-i-chti9a9 ?

L'i-t-isal (continuité) signifie que tu peux tracer la courbe sans lever le stylo. L'i-chti9a9 (dérivabilité) signifie que la courbe est "lisse" (pas de pointe ou de cassure) et qu'on peut y tracer une tangente unique.

💡 À retenir : Toute fonction dérivable est continue, mais la réciproque est fausse (ex: $f(x)=|x|$ en 0).

Kifach n-t-a3mel m3a l-f-orom l-ghayr mou7adada (FI) ?

Pour $\frac{0}{0}$ : factorise par $(x-a)$ ou utilise la quantité conjuguée.
Pour $\frac{\infty}{\infty}$ : factorise par le terme de plus haut degré.
Pour $\infty-\infty$ : utilise la quantité conjuguée ou factorise.

💡 À retenir : Ne jamais écrire "FI" comme résultat final, c'est juste une étape de recherche.

Pour $\frac{0}{0}$ : factorise par $(x-a)$ ou utilise la quantité conjuguée.
Pour $\frac{\infty}{\infty}$ : factorise par le terme de plus haut degré.
Pour $\infty-\infty$ : utilise la quantité conjuguée ou factorise.

💡 À retenir : Ne jamais écrire "FI" comme résultat final, c'est juste une étape de recherche.

Est-ce que le TVI permet de trouver la valeur exacte de la solution ?

Non, le TVI prouve seulement l'existence d'au moins une solution dans l'intervalle $[a, b]$ . Pour trouver une valeur approchée, on utilise souvent la méthode de dichotomie.

💡 À retenir : Le TVI est un outil d'existence, pas de calcul algébrique direct.

Non, le TVI prouve seulement l'existence d'au moins une solution dans l'intervalle $[a, b]$. Pour trouver une valeur approchée, on utilise souvent la méthode de dichotomie.

💡 À retenir : Le TVI est un outil d'existence, pas de calcul algébrique direct.

Comment interpréter graphiquement lim{x to a} f(x) = infty ?

Cela signifie que la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$ .

💡 À retenir : Une asymptote verticale traduit une explosion de la fonction vers l'infini.

Cela signifie que la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe représentative de $f$.

💡 À retenir : Une asymptote verticale traduit une explosion de la fonction vers l'infini.

Quelle est la condition pour qu'une fonction soit dérivable sur un intervalle ?

Il faut que la fonction soit dérivable en chaque point de cet intervalle. Cela implique qu'elle soit continue et qu'elle n'admette pas de points anguleux.

💡 À retenir : La dérivabilité est une propriété locale qui, étendue à un intervalle, assure la régularité de la courbe.

Comment déterminer l'équation de la tangente au point d'abscisse a ?

La formule est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ . Il suffit de calculer la dérivée en $a$ (la pente) et l'image $f(a)$ .

💡 À retenir : La tangente est la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage de $a$ .

La formule est $y = f'(a)(x-a) + f(a)$. Il suffit de calculer la dérivée en $a$ (la pente) et l'image $f(a)$.

💡 À retenir : La tangente est la meilleure approximation linéaire de la fonction au voisinage de $a$.

Que signifie une dérivée seconde f''(x) 0 ?

Cela signifie que la fonction est convexe sur cet intervalle, c'est-à-dire que sa courbe est située au-dessus de ses tangentes.

💡 À retenir : $f''(x)$ renseigne sur la courbure (concavité/convexité).

Cela signifie que la fonction est convexe sur cet intervalle, c'est-à-dire que sa courbe est située au-dessus de ses tangentes.

💡 À retenir : $f''(x)$ renseigne sur la courbure (concavité/convexité).

Peut-on appliquer le TVI si la fonction n'est pas strictement monotone ?

Oui, le TVI s'applique dès que la fonction est continue. Cependant, si on veut prouver que la solution est unique, il faut ajouter la condition de stricte monotonie.

💡 À retenir : Continuité = existence ; Continuité + Monotonie = unicité.

Pourquoi la limite de frac{sin x}{x} en 0 est 1 ?

C'est une limite fondamentale démontrée par l'encadrement (théorème des gendarmes) en comparant les aires du triangle et du secteur circulaire.

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ est un outil indispensable pour lever les FI trigonométriques.

C'est une limite fondamentale démontrée par l'encadrement (théorème des gendarmes) en comparant les aires du triangle et du secteur circulaire.

💡 À retenir : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ est un outil indispensable pour lever les FI trigonométriques.

Comment savoir si une branche est parabolique ?

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$ , alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique sans asymptote propre.

Si $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$, alors la courbe admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées.

💡 À retenir : C'est une direction asymptotique sans asymptote propre.

Comment étudier la dérivabilité à droite et à gauche ?

On calcule $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_d(a)$ et $\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$ . Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$ , il y a un point anguleux.

💡 À retenir : La dérivabilité globale impose l'égalité des dérivées à gauche et à droite.

On calcule $\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'd(a)$ et $\lim{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'_g(a)$. Si $f'_d(a) \neq f'_g(a)$, il y a un point anguleux.

💡 À retenir : La dérivabilité globale impose l'égalité des dérivées à gauche et à droite.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 1$ .

Étudier les variations de $f$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet trois solutions dans $\mathbb{R}$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 - 3x + 1$.

Étudier les variations de $f$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet trois solutions dans $\mathbb{R}$.

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Exercice 2

Étudier la continuité et la dérivabilité de $f(x) = |x-1| \sqrt{x}$ en $x_0 = 1$ .

Exercice 2

Étudier la continuité et la dérivabilité de $f(x) = |x-1| \sqrt{x}$ en $x_0 = 1$.

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Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$ . Déterminer les asymptotes à la courbe.

Exercice 3

Soit $f(x) = \frac{x+1}{x^2+1}$. Déterminer les asymptotes à la courbe.

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