Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Nombres complexes

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$ .
Conjugué : $\bar{z} = x - iy$ . Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$ , $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$ .
Module : $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ . Propriété : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$ .
Forme trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta \equiv \arg(z) [2\pi]$ .
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$ .
Équations du second degré : Pour $az^2+bz+c=0$ , on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$ . Si $\Delta < 0$ , les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ .

Méthodes à maîtriser

Passage de algébrique à trigonométrique : Calculer le module $r$ , puis factoriser par $r$ pour identifier $\cos \theta$ et $\sin \theta$ .
Résolution d'équations : Utiliser le discriminant $\Delta$ même si les coefficients sont complexes (si $\Delta$ est complexe, chercher sa racine carrée).
Interprétation géométrique : $|z_A - z_B| = AB$ et $\arg(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire $z = 1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$ . $z = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ .
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$ . $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$ . $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$ .

Erreurs fréquentes

Oublier le $i$ dans la forme algébrique.
Confondre $\arg(z)$ et $\cos \theta$ .
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ avant de calculer les racines.

L'essentiel du cours

Forme algébrique : $z = x + iy$ avec $x, y \in \mathbb{R}$ et $i^2 = -1$.
Conjugué : $\bar{z} = x - iy$. Propriétés : $\overline{z+z'} = \bar{z} + \bar{z'}$, $\overline{z \cdot z'} = \bar{z} \cdot \bar{z'}$.
Module : $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Propriété : $|z \cdot z'| = |z| \cdot |z'|$.
Forme trigonométrique : $z = r(\cos \theta + i\sin \theta)$ avec $r = |z|$ et $\theta \equiv \arg(z) [2\pi]$.
Forme exponentielle : $z = re^{i\theta}$.
Équations du second degré : Pour $az^2+bz+c=0$, on calcule $\Delta = b^2 - 4ac$. Si $\Delta < 0$, les solutions sont $z = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$.

Méthodes à maîtriser

Passage de algébrique à trigonométrique : Calculer le module $r$, puis factoriser par $r$ pour identifier $\cos \theta$ et $\sin \theta$.
Résolution d'équations : Utiliser le discriminant $\Delta$ même si les coefficients sont complexes (si $\Delta$ est complexe, chercher sa racine carrée).
Interprétation géométrique : $|z_A - z_B| = AB$ et $\arg(\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AC}) [2\pi]$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Écrire $z = 1 + i\sqrt{3}$ sous forme exponentielle. $|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$. $z = 2(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$.
Exemple 2 : Résoudre $z^2 - 2z + 2 = 0$. $\Delta = (-2)^2 - 4(1)(2) = 4 - 8 = -4 = (2i)^2$. $z_1 = \frac{2 - 2i}{2} = 1-i$ et $z_2 = 1+i$.

Erreurs fréquentes

Oublier le $i$ dans la forme algébrique.
Confondre $\arg(z)$ et $\cos \theta$.
Ne pas vérifier le signe de $\Delta$ avant de calculer les racines.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Nombres complexes

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Le module du nombre complexe $z = 3 - 4i$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre complexe est réel ou imaginaire pur ?

Un nombre $z = x + iy$ est réel si sa partie imaginaire est nulle ( $y = 0$ ).
Il est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle ( $x = 0$ ).

💡 À retenir : $z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}$ et $z \in i\mathbb{R} \iff z = -\bar{z}$ .

Un nombre $z = x + iy$ est réel si sa partie imaginaire est nulle ($y = 0$).
Il est imaginaire pur si sa partie réelle est nulle ($x = 0$).

💡 À retenir : $z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}$ et $z \in i\mathbb{R} \iff z = -\bar{z}$.

kifach n7seb l-module dyal chi 3adad complexe fih l-khasra (fraction) ?

Kat7seb l-module dyal l-basst (numérateur) bo7do.
Kat7seb l-module dyal l-maqam (dénominateur) bo7do.
Katqssm l-module dyal l-basst 3la l-module dyal l-maqam.

💡 À retenir : $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ avec $z_2 \neq 0$ .

Kat7seb l-module dyal l-basst (numérateur) bo7do.
Kat7seb l-module dyal l-maqam (dénominateur) bo7do.
Katqssm l-module dyal l-basst 3la l-module dyal l-maqam.

💡 À retenir : $|\frac{z_1}{z_2}| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ avec $z_2 \neq 0$.

Est-ce que le module d'une somme est la somme des modules ?

Non, en général $|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$ . C'est ce qu'on appelle l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ .

💡 À retenir : L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

Non, en général $|z_1 + z_2| \neq |z_1| + |z_2|$. C'est ce qu'on appelle l'inégalité triangulaire : $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$.

💡 À retenir : L'égalité n'a lieu que si les vecteurs sont colinéaires et de même sens.

chno hiya l-3ala9a bin l-kitaba l-ossiya (exponentielle) o l-kitaba l-mothallathiya ?

L-kitaba l-ossiya $re^{i\theta}$ hiya ghir t-tari9a bach nktbo l-kitaba l-mothallathiya $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ b-chakl mختsar (simplifié).

💡 À retenir : $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ (Formule d'Euler).

L-kitaba l-ossiya $re^{i\theta}$ hiya ghir t-tari9a bach nktbo l-kitaba l-mothallathiya $r(\cos \theta + i\sin \theta)$ b-chakl mختsar (simplifié).

💡 À retenir : $e^{i\theta} = \cos \theta + i\sin \theta$ (Formule d'Euler).

Comment déterminer l'argument d'un nombre complexe négatif comme z = -5 ?

On écrit $z = 5 \times (-1)$ .
On sait que $-1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = e^{i\pi}$ .
Donc l'argument est $\pi$ (modulo $2\pi$ ).

💡 À retenir : Pour tout réel $x < 0$ , $\arg(x) \equiv \pi [2\pi]$ .

On écrit $z = 5 \times (-1)$.
On sait que $-1 = \cos(\pi) + i\sin(\pi) = e^{i\pi}$.
Donc l'argument est $\pi$ (modulo $2\pi$).

💡 À retenir : Pour tout réel $x < 0$, $\arg(x) \equiv \pi [2\pi]$.

kifach n3ref wach l-no9at A, B, C moustawiya (alignés) ?

Kat7seb l-3adad $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ .
Ila kan had l-3adad 7a9iqi (réel), idan l-no9at moustawiya.

💡 À retenir : $A, B, C$ alignés $\iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ .

Kat7seb l-3adad $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
Ila kan had l-3adad 7a9iqi (réel), idan l-no9at moustawiya.

💡 À retenir : $A, B, C$ alignés $\iff \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$.

Quelle est la différence entre le conjugué et l'opposé ?

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\bar{z} = a-ib$ (on change le signe de la partie imaginaire).
L'opposé de $z = a+ib$ est $-z = -a-ib$ (on change le signe de toute l'expression).

💡 À retenir : Le conjugué est une symétrie par rapport à l'axe réel.

Le conjugué de $z = a+ib$ est $\bar{z} = a-ib$ (on change le signe de la partie imaginaire).
L'opposé de $z = a+ib$ est $-z = -a-ib$ (on change le signe de toute l'expression).

💡 À retenir : Le conjugué est une symétrie par rapport à l'axe réel.

Comment calculer (1+i)^n pour n grand ?

Passer $1+i$ sous forme exponentielle : $1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$ .
Utiliser la puissance : $(1+i)^n = (\sqrt{2})^n \times (e^{i\pi/4})^n = 2^{n/2} e^{in\pi/4}$ .

💡 À retenir : La forme exponentielle simplifie énormément les calculs de puissances.

Passer $1+i$ sous forme exponentielle : $1+i = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$.
Utiliser la puissance : $(1+i)^n = (\sqrt{2})^n \times (e^{i\pi/4})^n = 2^{n/2} e^{in\pi/4}$.

💡 À retenir : La forme exponentielle simplifie énormément les calculs de puissances.

Pourquoi on utilise i au lieu de j dans les programmes marocains ?

En mathématiques, $i$ est la notation standard pour l'unité imaginaire. La lettre $j$ est souvent réservée à l'électrotechnique pour éviter la confusion avec l'intensité du courant.

💡 À retenir : Dans le cadre du Baccalauréat, utilisez toujours $i$ tel que $i^2 = -1$ .

En mathématiques, $i$ est la notation standard pour l'unité imaginaire. La lettre $j$ est souvent réservée à l'électrotechnique pour éviter la confusion avec l'intensité du courant.

💡 À retenir : Dans le cadre du Baccalauréat, utilisez toujours $i$ tel que $i^2 = -1$.

Est-ce que l'argument est unique ?

Non, l'argument est défini à $2\pi$ près. Si $\theta$ est un argument, alors $\theta + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$ ) est aussi un argument.

💡 À retenir : On cherche souvent l'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$ .

Non, l'argument est défini à $2\pi$ près. Si $\theta$ est un argument, alors $\theta + 2k\pi$ (avec $k \in \mathbb{Z}$) est aussi un argument.

💡 À retenir : On cherche souvent l'argument principal dans l'intervalle $]-\pi, \pi]$.

Comment trouver la racine carrée d'un nombre complexe Z = a+ib ?

Poser $z = x+iy$ tel que $z^2 = Z$ .
Résoudre le système : $x^2 - y^2 = a$ , $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ et $2xy = b$ .

💡 À retenir : Cette méthode est longue, vérifiez toujours si vous ne pouvez pas identifier une identité remarquable.

Poser $z = x+iy$ tel que $z^2 = Z$.
Résoudre le système : $x^2 - y^2 = a$, $x^2 + y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$ et $2xy = b$.

💡 À retenir : Cette méthode est longue, vérifiez toujours si vous ne pouvez pas identifier une identité remarquable.

Est-ce que les nombres complexes permettent de résoudre toutes les équations ?

Dans le cadre du programme, ils permettent de résoudre toutes les équations polynomiales de degré 2. Le théorème de d'Alembert assure que toute équation de degré $n$ admet $n$ racines complexes.

💡 À retenir : Les nombres complexes "ferment" l'ensemble des nombres pour les équations algébriques.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$ .

Calculer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$ .
Écrire $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique.
En déduire la valeur exacte de $\cos(\frac{7\pi}{12})$ et $\sin(\frac{7\pi}{12})$ .

Exercice 1

Soit $z_1 = 1 + i\sqrt{3}$ et $z_2 = 1 - i$.

Calculer le module et un argument de $z_1$ et $z_2$.
Écrire $Z = \frac{z_1}{z_2}$ sous forme algébrique.
En déduire la valeur exacte de $\cos(\frac{7\pi}{12})$ et $\sin(\frac{7\pi}{12})$.

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Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 - (3+i)z + 2+2i = 0$.

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Exercice 3

Dans le plan complexe, on considère les points $A(i)$ , $B(1)$ et $C(1+2i)$ . Déterminer la nature du triangle $ABC$ .

Exercice 3

Dans le plan complexe, on considère les points $A(i)$, $B(1)$ et $C(1+2i)$. Déterminer la nature du triangle $ABC$.

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