Mathématiques · Agronomie, vétérinaire & architecture — IAV Hassan II

Analyse combinatoire

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Principe fondamental : Si une expérience comporte $n$ choix et une seconde $p$ choix, le nombre total est $n \times p$ .
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$ .
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .
Propriétés : $C_n^0 = 1$ , $C_n^n = 1$ , $C_n^1 = n$ , $C_n^p = C_n^{n-p}$ (symétrie).

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium), utiliser $A_n^p$ ou $n^p$ . Si l'ordre ne compte pas (ex: main de cartes), utiliser $C_n^p$ .
Identifier le tirage :
- Simultané : $C_n^p$ .
- Successif sans remise : $A_n^p$ .
- Successif avec remise : $n^p$ .
Utiliser le triangle de Pascal : $C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Former un nombre de 3 chiffres distincts parmi {1, 2, 3, 4, 5} : $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Toujours se demander "Est-ce que changer l'ordre change le résultat ?".
Oublier que $0! = 1$ .
Appliquer $C_n^p$ alors qu'il y a remise : $C_n^p$ est strictement pour "sans remise".

L'essentiel du cours

Principe fondamental : Si une expérience comporte $n$ choix et une seconde $p$ choix, le nombre total est $n \times p$.
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times \dots \times 1$.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ sans ordre : $C_n^p = \frac{A_n^p}{p!} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.
Propriétés : $C_n^0 = 1$, $C_n^n = 1$, $C_n^1 = n$, $C_n^p = C_n^{n-p}$ (symétrie).

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte (ex: podium), utiliser $A_n^p$ ou $n^p$. Si l'ordre ne compte pas (ex: main de cartes), utiliser $C_n^p$.
Identifier le tirage :
- Simultané : $C_n^p$.
- Successif sans remise : $A_n^p$.
- Successif avec remise : $n^p$.
Utiliser le triangle de Pascal : $C_n^p + C_n^{p+1} = C_{n+1}^{p+1}$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Tirer 3 boules parmi 10 simultanément : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Former un nombre de 3 chiffres distincts parmi {1, 2, 3, 4, 5} : $A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Toujours se demander "Est-ce que changer l'ordre change le résultat ?".
Oublier que $0! = 1$.
Appliquer $C_n^p$ alors qu'il y a remise : $C_n^p$ est strictement pour "sans remise".

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

Tu as appris les sciences en arabe ? Touche un mot pour voir sa traduction et une explication en darija.

La question que tu n'oses pas poser en classe ? Pose-la à UstadZéro jugement, même en darija, même à minuit. Il t'explique pas à pas et corrige ta démarche. Gratuit.Commencer gratuitement

Défi flash : 4 questions

Sans compte

🎯 Analyse combinatoire

1/4

Le nombre de façons de choisir 2 élèves parmi 10 est :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi la différence entre arrangement et combinaison ?

Dans l'arrangement, l'ordre des éléments est important (ex: un code secret).
Dans la combinaison, l'ordre n'a aucune importance (ex: choisir une équipe de foot).

💡 À retenir : Arrangement = Ordre compte ; Combinaison = Ordre ne compte pas.

Kifach n-3ref wach n-khdem b Cn^p aw An^p f l-examen ?

Chouf l-mou3tayat: ila galik "f-an wa7id" (simultanément), khdem b $C_n^p$ .
Ila galik "t-t-rtib" (ordre) aw "t-t-waly" (successif) bla r-rjou3, khdem b $A_n^p$ .

💡 À retenir : Simultané = $C_n^p$ ; Successif = $A_n^p$ .

Chouf l-mou3tayat: ila galik "f-an wa7id" (simultanément), khdem b $C_n^p$.
Ila galik "t-t-rtib" (ordre) aw "t-t-waly" (successif) bla r-rjou3, khdem b $A_n^p$.

💡 À retenir : Simultané = $C_n^p$ ; Successif = $A_n^p$.

Est-ce que Cn^p est toujours égal à Cn^{n-p} ?

Oui, c'est la formule de symétrie. Choisir $p$ objets à garder revient au même que de choisir $n-p$ objets à écarter.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$ .

Oui, c'est la formule de symétrie. Choisir $p$ objets à garder revient au même que de choisir $n-p$ objets à écarter.

💡 À retenir : $C_n^p = C_n^{n-p}$.

Chno hiya l-fark bin "avec remise" et "sans remise" ?

"Avec remise" : Après chaque tirage, tu remets l'objet dans l'urne (le nombre total reste constant).
"Sans remise" : Tu gardes l'objet (le nombre total diminue).

💡 À retenir : Avec remise = $n^p$ ; Sans remise = $A_n^p$ ou $C_n^p$ .

"Avec remise" : Après chaque tirage, tu remets l'objet dans l'urne (le nombre total reste constant).
"Sans remise" : Tu gardes l'objet (le nombre total diminue).

💡 À retenir : Avec remise = $n^p$ ; Sans remise = $A_n^p$ ou $C_n^p$.

Comment calculer Cn^p rapidement ?

Utilise la simplification : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)}{p!}$ .

💡 À retenir : Ne développe pas tout le factorielle, simplifie les termes.

Utilise la simplification : $C_n^p = \frac{n \times (n-1) \times \dots \times (n-p+1)}{p!}$.

💡 À retenir : Ne développe pas tout le factorielle, simplifie les termes.

Kifach n-7seb l-3adad dyal l-i7timalat ila kano l-korat m-lounin ?

Hseb l-3adad l-koli dyal l-imkaniyat (l-kardinal).
Hseb l-3adad dyal l-7alat l-mouwafiqa l-7adath.
Dreb l-3adad l-mouwafiq f l-i7timal.

💡 À retenir : Toujours commencer par calculer le cardinal de l'univers.

Pourquoi 0! = 1 ?

Par convention mathématique pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{0!} = n!$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : $0!$ est toujours égal à 1.

Par convention mathématique pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{0!} = n!$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : $0!$ est toujours égal à 1.

Est-ce que je peux utiliser la calculatrice pour Cn^p ?

Oui, la touche $nCr$ est autorisée et recommandée pour gagner du temps, mais écris la formule sur ta copie.

💡 À retenir : Écris la formule avant de donner le résultat de la calculatrice.

Oui, la touche $nCr$ est autorisée et recommandée pour gagner du temps, mais écris la formule sur ta copie.

💡 À retenir : Écris la formule avant de donner le résultat de la calculatrice.

C'est quoi une permutation ?

C'est une disposition ordonnée de tous les éléments d'un ensemble.

💡 À retenir : $P_n = n!$ .

C'est une disposition ordonnée de tous les éléments d'un ensemble.

💡 À retenir : $P_n = n!$.

Si on me demande de tirer 2 boules, est-ce que c'est Cn^2 ?

Si le tirage est simultané, oui. Si c'est successif sans remise, c'est $A_n^2$ .

💡 À retenir : Lis bien le mode de tirage dans l'énoncé.

Si le tirage est simultané, oui. Si c'est successif sans remise, c'est $A_n^2$.

💡 À retenir : Lis bien le mode de tirage dans l'énoncé.

Est-ce que n doit être supérieur à p ?

Oui, on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne.

💡 À retenir : $p \leq n$ .

Oui, on ne peut pas choisir plus d'objets qu'il n'y en a dans l'urne.

💡 À retenir : $p \leq n$.

Comment calculer le nombre de parties d'un ensemble ?

Si l'ensemble a $n$ éléments, le nombre de parties est $2^n$ .

💡 À retenir : Cardinal de $\mathcal{P}(E) = 2^n$ .

Si l'ensemble a $n$ éléments, le nombre de parties est $2^n$.

💡 À retenir : Cardinal de $\mathcal{P}(E) = 2^n$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une urne contient 8 boules : 5 rouges et 3 bleues. On tire simultanément 3 boules.

Calculer le nombre de tirages possibles.
Calculer le nombre de tirages contenant exactement 2 boules rouges.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Un code de cadenas est composé de 4 chiffres choisis parmi {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Combien de codes peut-on former si les chiffres peuvent être répétés ?
Combien de codes peut-on former si les chiffres doivent être distincts ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Dans une classe de 20 élèves, on veut élire un délégué et un adjoint. Combien de choix y a-t-il ?

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Un prof de Mathématiques pour aller plus loin

Les cours du soir avec des profs vérifiés arrivent : inscris-toi pour être prévenu(e) en premier.

Être prévenu(e) gratuitement

Autres chapitres de Mathématiques

Logique et Ensembles Nombres réels et suites numériques Fonctions réelles d'une variable réelle : Limites, Continuité, Dérivabilité Développements limités Calcul intégral : Primitives et intégrales Équations différentielles Nombres complexes Espaces vectoriels et applications linéaires Matrices et systèmes linéaires Probabilités Statistique descriptive