Analyse — MPSI · MPSI

Fonctions usuelles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Le chapitre des fonctions usuelles regroupe les fonctions de référence étudiées en MPSI :

Fonctions puissances : $x \mapsto x^\alpha$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$ , définies sur $]0, +\infty[$ .
Fonctions logarithmes et exponentielles : $\ln$ et $\exp$ , ainsi que les fonctions $x \mapsto a^x = e^{x \ln a}$ .
Fonctions circulaires réciproques : $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Elles sont définies par inversion des restrictions bijectives des fonctions trigonométriques.
Fonctions hyperboliques : $\text{ch}(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$ , $\text{sh}(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$ , $\text{th}(x) = \frac{\text{sh}(x)}{\text{ch}(x)}$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivées : Maîtriser les dérivées de $\arcsin(u)$ , $\arccos(u)$ et $\arctan(u)$ .
Résolution d'équations : Utiliser les propriétés de bijectivité pour résoudre des équations du type $\arctan(x) + \arctan(y) = \dots$ .
Étude de fonctions : Savoir tracer les courbes en utilisant les parités, périodicités et les asymptotes.
Manipulation des fonctions hyperboliques : Utiliser les formules de duplication et les relations fondamentales ( $\text{ch}^2 x - \text{sh}^2 x = 1$ ).

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = \arctan(\sqrt{x})$ . Alors $f'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$ .
Équation : Résoudre $\text{ch}(x) = 2$ . On pose $X = e^x$ , alors $\frac{X + 1/X}{2} = 2 \iff X^2 - 4X + 1 = 0$ . Les solutions sont $X = 2 \pm \sqrt{3}$ . Donc $x = \ln(2 \pm \sqrt{3})$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le domaine de définition de $\arcsin(x)$ ( $[-1, 1]$ ) et $\arctan(x)$ ( $\mathbb{R}$ ).
Oublier que $\sqrt{x^2} = |x|$ lors de la simplification de $\arcsin(\sin x)$ .
Croire que $\text{ch}^2 x + \text{sh}^2 x = 1$ (c'est une erreur, la formule est avec un signe moins).

L'essentiel du cours

Le chapitre des fonctions usuelles regroupe les fonctions de référence étudiées en MPSI :

Fonctions puissances : $x \mapsto x^\alpha$ pour $\alpha \in \mathbb{R}$, définies sur $]0, +\infty[$.
Fonctions logarithmes et exponentielles : $\ln$ et $\exp$, ainsi que les fonctions $x \mapsto a^x = e^{x \ln a}$.
Fonctions circulaires réciproques : $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. Elles sont définies par inversion des restrictions bijectives des fonctions trigonométriques.
Fonctions hyperboliques : $\text{ch}(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$, $\text{sh}(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2}$, $\text{th}(x) = \frac{\text{sh}(x)}{\text{ch}(x)}$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de dérivées : Maîtriser les dérivées de $\arcsin(u)$, $\arccos(u)$ et $\arctan(u)$.
Résolution d'équations : Utiliser les propriétés de bijectivité pour résoudre des équations du type $\arctan(x) + \arctan(y) = \dots$.
Étude de fonctions : Savoir tracer les courbes en utilisant les parités, périodicités et les asymptotes.
Manipulation des fonctions hyperboliques : Utiliser les formules de duplication et les relations fondamentales ($\text{ch}^2 x - \text{sh}^2 x = 1$).

Exemples corrigés

Dérivée : Soit $f(x) = \arctan(\sqrt{x})$. Alors $f'(x) = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \times \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$.
Équation : Résoudre $\text{ch}(x) = 2$. On pose $X = e^x$, alors $\frac{X + 1/X}{2} = 2 \iff X^2 - 4X + 1 = 0$. Les solutions sont $X = 2 \pm \sqrt{3}$. Donc $x = \ln(2 \pm \sqrt{3})$.

Erreurs fréquentes

Confondre le domaine de définition de $\arcsin(x)$ ($[-1, 1]$) et $\arctan(x)$ ($\mathbb{R}$).
Oublier que $\sqrt{x^2} = |x|$ lors de la simplification de $\arcsin(\sin x)$.
Croire que $\text{ch}^2 x + \text{sh}^2 x = 1$ (c'est une erreur, la formule est avec un signe moins).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Fonctions usuelles

1/4

Quel est l'ensemble de définition de $f(x) = \arcsin(2x)$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que arcsin(sin x) = x est toujours vrai ?

Non, c'est faux. La fonction $\arcsin$ est la réciproque de la restriction de $\sin$ à $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ .

Si $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ , alors $\arcsin(\sin x) = x$ .
En dehors de cet intervalle, il faut utiliser la périodicité et la parité du sinus pour se ramener à cet intervalle.

💡 À retenir : $\arcsin(\sin x)$ est une fonction périodique en "dents de scie".

Non, c'est faux. La fonction $\arcsin$ est la réciproque de la restriction de $\sin$ à $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.

Si $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, alors $\arcsin(\sin x) = x$.
En dehors de cet intervalle, il faut utiliser la périodicité et la parité du sinus pour se ramener à cet intervalle.

💡 À retenir : $\arcsin(\sin x)$ est une fonction périodique en "dents de scie".

kifach n7seb la dérivée dial text{th}(x) ?

Pour calculer la dérivée de $\text{th}(x) = \frac{\text{sh}(x)}{\text{ch}(x)}$ , on utilise la formule $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ :

$(\text{sh}(x))' = \text{ch}(x)$ et $(\text{ch}(x))' = \text{sh}(x)$ .
$\text{th}'(x) = \frac{\text{ch}(x)\text{ch}(x) - \text{sh}(x)\text{sh}(x)}{\text{ch}^2(x)} = \frac{\text{ch}^2(x) - \text{sh}^2(x)}{\text{ch}^2(x)}$ .
Comme $\text{ch}^2(x) - \text{sh}^2(x) = 1$ , on obtient $\text{th}'(x) = \frac{1}{\text{ch}^2(x)} = 1 - \text{th}^2(x)$ .

💡 À retenir : $\text{th}'(x) = 1 - \text{th}^2(x) = \frac{1}{\text{ch}^2(x)}$ .

Pour calculer la dérivée de $\text{th}(x) = \frac{\text{sh}(x)}{\text{ch}(x)}$, on utilise la formule $(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$ :

$(\text{sh}(x))' = \text{ch}(x)$ et $(\text{ch}(x))' = \text{sh}(x)$.
$\text{th}'(x) = \frac{\text{ch}(x)\text{ch}(x) - \text{sh}(x)\text{sh}(x)}{\text{ch}^2(x)} = \frac{\text{ch}^2(x) - \text{sh}^2(x)}{\text{ch}^2(x)}$.
Comme $\text{ch}^2(x) - \text{sh}^2(x) = 1$, on obtient $\text{th}'(x) = \frac{1}{\text{ch}^2(x)} = 1 - \text{th}^2(x)$.

💡 À retenir : $\text{th}'(x) = 1 - \text{th}^2(x) = \frac{1}{\text{ch}^2(x)}$.

Pourquoi text{ch}(x) est toujours positif ?

Par définition, $\text{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ .

La fonction exponentielle $e^x$ est strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$ .
La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive.
Le minimum de $\text{ch}(x)$ est atteint en $x=0$ et vaut $\text{ch}(0) = 1$ .

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, \text{ch}(x) \geq 1$ .

Par définition, $\text{ch}(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$.

La fonction exponentielle $e^x$ est strictement positive pour tout $x \in \mathbb{R}$.
La somme de deux nombres strictement positifs est strictement positive.
Le minimum de $\text{ch}(x)$ est atteint en $x=0$ et vaut $\text{ch}(0) = 1$.

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, \text{ch}(x) \geq 1$.

Est-ce que arctan(x) + arctan(1/x) = pi/2 pour tout x ?

Non, il faut distinguer les cas :

Si $x > 0$ , alors $\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2$ .
Si $x < 0$ , alors $\arctan(x) + \arctan(1/x) = -\pi/2$ .
Pour $x=0$ , $1/x$ n'est pas défini.

💡 À retenir : La formule dépend du signe de $x$ .

Non, il faut distinguer les cas :

Si $x > 0$, alors $\arctan(x) + \arctan(1/x) = \pi/2$.
Si $x < 0$, alors $\arctan(x) + \arctan(1/x) = -\pi/2$.
Pour $x=0$, $1/x$ n'est pas défini.

💡 À retenir : La formule dépend du signe de $x$.

chno hiya l'utilité dial les fonctions hyperboliques ?

Les fonctions hyperboliques sont très utiles en analyse et physique :

Elles permettent de paramétrer l'hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ par $(\text{ch}(t), \text{sh}(t))$ .
Elles simplifient énormément le calcul de certaines primitives et intégrales.
Elles apparaissent naturellement dans les équations différentielles (ex: équation de la chaînette).

💡 À retenir : Elles sont les analogues des fonctions trigonométriques pour l'hyperbole.

Les fonctions hyperboliques sont très utiles en analyse et physique :

Elles permettent de paramétrer l'hyperbole $x^2 - y^2 = 1$ par $(\text{ch}(t), \text{sh}(t))$.
Elles simplifient énormément le calcul de certaines primitives et intégrales.
Elles apparaissent naturellement dans les équations différentielles (ex: équation de la chaînette).

💡 À retenir : Elles sont les analogues des fonctions trigonométriques pour l'hyperbole.

Comment simplifier cos(arcsin x) ?

On utilise la relation $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ .

Soit $\theta = \arcsin x$ . On cherche $\cos \theta$ .
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2(\arcsin x) = 1 - x^2$ .
Comme $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ , $\cos \theta$ est toujours positif.
Donc $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$ .

💡 À retenir : $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$ .

On utilise la relation $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$.

Soit $\theta = \arcsin x$. On cherche $\cos \theta$.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2(\arcsin x) = 1 - x^2$.
Comme $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$, $\cos \theta$ est toujours positif.
Donc $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$.

💡 À retenir : $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1-x^2}$.

wach ln(x^2) = 2ln(x) dima ?

Non, attention au domaine de définition :

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$ .
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$ .
Pour $x < 0$ , $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$ .

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$ .

Non, attention au domaine de définition :

$\ln(x^2)$ est défini pour tout $x \neq 0$.
$2\ln(x)$ n'est défini que pour $x > 0$.
Pour $x < 0$, $\ln(x^2) = 2\ln(|x|)$.

💡 À retenir : $\ln(x^2) = 2\ln|x|$.

kifach n7seb text{argsh}(x) ?

C'est la réciproque de $\text{sh}(x) = y$ .

$y = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \implies e^x - e^{-x} = 2y$ .
En posant $X = e^x$ , on a $X - 1/X = 2y \implies X^2 - 2yX - 1 = 0$ .
Résoudre cette équation du second degré en $X$ donne $X = y + \sqrt{y^2+1}$ (car $X > 0$ ).
Donc $x = \ln(y + \sqrt{y^2+1})$ .

💡 À retenir : $\text{argsh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ .

C'est la réciproque de $\text{sh}(x) = y$.

$y = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \implies e^x - e^{-x} = 2y$.
En posant $X = e^x$, on a $X - 1/X = 2y \implies X^2 - 2yX - 1 = 0$.
Résoudre cette équation du second degré en $X$ donne $X = y + \sqrt{y^2+1}$ (car $X > 0$).
Donc $x = \ln(y + \sqrt{y^2+1})$.

💡 À retenir : $\text{argsh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$.

Peut-on dériver ln|x| ?

Oui, la dérivée de $\ln|x|$ est $1/x$ sur tout intervalle ne contenant pas 0.

Si $x > 0$ , $(\ln x)' = 1/x$ .
Si $x < 0$ , $(\ln(-x))' = \frac{-1}{-x} = 1/x$ .

💡 À retenir : $(\ln|x|)' = 1/x$ pour $x \neq 0$ .

Oui, la dérivée de $\ln|x|$ est $1/x$ sur tout intervalle ne contenant pas 0.

Si $x > 0$, $(\ln x)' = 1/x$.
Si $x < 0$, $(\ln(-x))' = \frac{-1}{-x} = 1/x$.

💡 À retenir : $(\ln|x|)' = 1/x$ pour $x \neq 0$.

Est-ce que text{th}(x) est bornée ?

Oui, la fonction $\text{th}(x)$ est bornée sur $\mathbb{R}$ .

$\text{th}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ .
Quand $x \to +\infty$ , $\text{th}(x) \to 1$ .
Quand $x \to -\infty$ , $\text{th}(x) \to -1$ .

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, -1 < \text{th}(x) < 1$ .

Oui, la fonction $\text{th}(x)$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

$\text{th}(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$.
Quand $x \to +\infty$, $\text{th}(x) \to 1$.
Quand $x \to -\infty$, $\text{th}(x) \to -1$.

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, -1 < \text{th}(x) < 1$.

Est-ce que arctan est une fonction impaire ?

Oui, car $\arctan(-x) = -\arctan(x)$ .

La fonction $\tan$ est impaire sur $]-\pi/2, \pi/2[$ .
Sa réciproque $\arctan$ hérite de cette propriété de symétrie.

💡 À retenir : $\arctan$ est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Oui, car $\arctan(-x) = -\arctan(x)$.

La fonction $\tan$ est impaire sur $]-\pi/2, \pi/2[$.
Sa réciproque $\arctan$ hérite de cette propriété de symétrie.

💡 À retenir : $\arctan$ est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Comment dériver a^x ?

On utilise la forme exponentielle : $a^x = e^{x \ln a}$ .

La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$ .
Ici $u(x) = x \ln a$ , donc $u'(x) = \ln a$ .
La dérivée est donc $(\ln a) e^{x \ln a} = (\ln a) a^x$ .

💡 À retenir : $(a^x)' = a^x \ln a$ .

On utilise la forme exponentielle : $a^x = e^{x \ln a}$.

La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$.
Ici $u(x) = x \ln a$, donc $u'(x) = \ln a$.
La dérivée est donc $(\ln a) e^{x \ln a} = (\ln a) a^x$.

💡 À retenir : $(a^x)' = a^x \ln a$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Étudier la fonction $f(x) = \text{argsh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$ .

Exercice 1

Étudier la fonction $f(x) = \text{argsh}(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+1})$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\arctan(x) + \arctan(2x) = \frac{\pi}{4}$ .

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $\arctan(x) + \arctan(2x) = \frac{\pi}{4}$.

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Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3}$ .

Exercice 3

Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin(x) - x}{x^3}$.

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