Analyse — MPSI · MPSI

Intégration

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

L'intégration au programme de MPSI repose sur l'intégrale de Riemann des fonctions continues par morceaux sur un segment $[a, b]$ .

Linéarité et Chasles : L'intégrale est une forme linéaire. La relation de Chasles permet de découper l'intervalle.
Positivité : Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$ , alors $\int_a^b f(t) dt \geq 0$ .
Inégalité de la moyenne : Si $m \leq f(t) \leq M$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(t) dt \leq M(b-a)$ .
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $\left( \int_a^b f(t)g(t) dt \right)^2 \leq \left( \int_a^b f^2(t) dt \right) \left( \int_a^b g^2(t) dt \right)$ .
Théorème fondamental : Si $f$ est continue sur $I$ , alors $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $a$ .
Intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u(t)v'(t) dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) dt$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de primitives : Maîtriser les formes usuelles (composées, fractions rationnelles simples).
Changement de variable : Poser $t = \phi(u)$ , ne pas oublier de transformer les bornes et de remplacer $dt$ par $\phi'(u)du$ .
Majoration d'intégrale : Utiliser l'inégalité triangulaire : $|\int_a^b f(t) dt| \leq \int_a^b |f(t)| dt$ .
Étude de fonctions définies par une intégrale : Dériver, étudier les variations, puis chercher les limites.

Exemples corrigés

IPP : Calculer $I = \int_0^1 t e^t dt$ . On pose $u=t, v'=e^t \implies u'=1, v=e^t$ . $I = [te^t]_0^1 - \int_0^1 e^t dt = e - (e-1) = 1$ .
Changement de variable : $J = \int_0^1 \frac{1}{1+e^t} dt$ . Poser $u = e^t \implies du = e^t dt = u dt$ . $J = \int_1^e \frac{1}{u(1+u)} du = \int_1^e (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}) du = [\ln(\frac{u}{1+u})]_1^e = \ln(\frac{e}{1+e}) - \ln(1/2) = \ln(\frac{2e}{1+e})$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de la fonction avant d'appliquer le théorème fondamental.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la variable d'intégration (muette) avec la borne de l'intégrale.
Appliquer l'IPP sans vérifier que les fonctions sont de classe $C^1$ .

L'essentiel du cours

L'intégration au programme de MPSI repose sur l'intégrale de Riemann des fonctions continues par morceaux sur un segment $[a, b]$.

Linéarité et Chasles : L'intégrale est une forme linéaire. La relation de Chasles permet de découper l'intervalle.
Positivité : Si $f \geq 0$ sur $[a, b]$, alors $\int_a^b f(t) dt \geq 0$.
Inégalité de la moyenne : Si $m \leq f(t) \leq M$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(t) dt \leq M(b-a)$.
Inégalité de Cauchy-Schwarz : $\left( \int_a^b f(t)g(t) dt \right)^2 \leq \left( \int_a^b f^2(t) dt \right) \left( \int_a^b g^2(t) dt \right)$.
Théorème fondamental : Si $f$ est continue sur $I$, alors $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $a$.
Intégration par parties (IPP) : $\int_a^b u(t)v'(t) dt = [u(t)v(t)]_a^b - \int_a^b u'(t)v(t) dt$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de primitives : Maîtriser les formes usuelles (composées, fractions rationnelles simples).
Changement de variable : Poser $t = \phi(u)$, ne pas oublier de transformer les bornes et de remplacer $dt$ par $\phi'(u)du$.
Majoration d'intégrale : Utiliser l'inégalité triangulaire : $|\int_a^b f(t) dt| \leq \int_a^b |f(t)| dt$.
Étude de fonctions définies par une intégrale : Dériver, étudier les variations, puis chercher les limites.

Exemples corrigés

IPP : Calculer $I = \int_0^1 t e^t dt$. On pose $u=t, v'=e^t \implies u'=1, v=e^t$. $I = [te^t]_0^1 - \int_0^1 e^t dt = e - (e-1) = 1$.
Changement de variable : $J = \int_0^1 \frac{1}{1+e^t} dt$. Poser $u = e^t \implies du = e^t dt = u dt$. $J = \int_1^e \frac{1}{u(1+u)} du = \int_1^e (\frac{1}{u} - \frac{1}{1+u}) du = [\ln(\frac{u}{1+u})]_1^e = \ln(\frac{e}{1+e}) - \ln(1/2) = \ln(\frac{2e}{1+e})$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité de la fonction avant d'appliquer le théorème fondamental.
Ne pas changer les bornes lors d'un changement de variable.
Confondre la variable d'intégration (muette) avec la borne de l'intégrale.
Appliquer l'IPP sans vérifier que les fonctions sont de classe $C^1$.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Intégration

1/4

Quelle est la valeur de $\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que je peux sortir une fonction de l'intégrale ?

Tu peux sortir une constante multiplicative, mais jamais une fonction qui dépend de la variable d'intégration.

💡 À retenir : Seuls les nombres réels peuvent sortir du signe $\int$ .

Tu peux sortir une constante multiplicative, mais jamais une fonction qui dépend de la variable d'intégration.

💡 À retenir : Seuls les nombres réels peuvent sortir du signe $\int$.

Si f leq g, est-ce que inta^b f leq inta^b g ?

Oui, à condition que $a \leq b$ . Si les bornes sont inversées ( $a > b$ ), l'inégalité est inversée.

💡 À retenir : La croissance de l'intégrale dépend de l'ordre des bornes.

Oui, à condition que $a \leq b$. Si les bornes sont inversées ($a > b$), l'inégalité est inversée.

💡 À retenir : La croissance de l'intégrale dépend de l'ordre des bornes.

Est-ce que je peux toujours utiliser la formule de Chasles ?

Oui, la relation de Chasles $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ est valable pour toute fonction intégrable, quels que soient les réels $a, b, c$ . Elle est très utile pour scinder une intégrale en plusieurs morceaux, notamment quand la fonction est définie par morceaux.

💡 À retenir : La relation de Chasles est toujours vraie, même si $b$ n'est pas compris entre $a$ et $c$ .

Oui, la relation de Chasles $\int_a^c f = \int_a^b f + \int_b^c f$ est valable pour toute fonction intégrable, quels que soient les réels $a, b, c$. Elle est très utile pour scinder une intégrale en plusieurs morceaux, notamment quand la fonction est définie par morceaux.

💡 À retenir : La relation de Chasles est toujours vraie, même si $b$ n'est pas compris entre $a$ et $c$.

Kifach n7seb l'intégrale ila kant l'fonction fiha la valeur absolue ?

Étudie le signe de l'expression à l'intérieur de la valeur absolue sur l'intervalle donné.
Découpe l'intégrale en plusieurs morceaux en utilisant la relation de Chasles aux points où la fonction change de signe.
Enlève les barres de valeur absolue sur chaque intervalle en changeant éventuellement le signe.

💡 À retenir : Il faut toujours "casser" l'intégrale aux points d'annulation de la valeur absolue.

Pourquoi on dit que la variable d'intégration est "muette" ?

On dit qu'elle est muette car elle n'apparaît pas dans le résultat final. $\int_a^b f(t) dt$ est exactement la même chose que $\int_a^b f(x) dx$ ou $\int_a^b f(u) du$ . C'est juste un nom pour désigner la variable interne.

💡 À retenir : Tu peux renommer la variable d'intégration comme tu veux sans changer la valeur de l'intégrale.

On dit qu'elle est muette car elle n'apparaît pas dans le résultat final. $\int_a^b f(t) dt$ est exactement la même chose que $\int_a^b f(x) dx$ ou $\int_a^b f(u) du$. C'est juste un nom pour désigner la variable interne.

💡 À retenir : Tu peux renommer la variable d'intégration comme tu veux sans changer la valeur de l'intégrale.

Chno hiya l'utilité dyal l'inégalité de Cauchy-Schwarz ?

Elle permet de majorer le produit de deux fonctions sous une intégrale quand on ne peut pas calculer la primitive directement. C'est un outil puissant pour démontrer des inégalités entre intégrales.

💡 À retenir : Utilise-la quand tu vois un produit de deux fonctions et que tu as des informations sur leurs carrés.

Est-ce que inta^b f(t)^2 dt = (inta^b f(t) dt)^2 ?

Non, absolument pas ! C'est une erreur très grave. L'intégrale d'un carré n'est jamais égale au carré de l'intégrale (sauf cas très particuliers).

💡 À retenir : L'intégrale n'est pas un morphisme pour la multiplication.

Kifach n3ref wach ndir IPP wla changement de variable ?

IPP : Si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: polynôme $\times$ exponentielle, ou polynôme $\times$ logarithme).
Changement de variable : Si tu vois une fonction composée $f(g(t))$ et que la dérivée $g'(t)$ est présente dans l'intégrale.

💡 À retenir : Cherche toujours une forme $u' \cdot f(u)$ pour le changement de variable.

IPP : Si tu as un produit de deux fonctions de natures différentes (ex: polynôme $\times$ exponentielle, ou polynôme $\times$ logarithme).
Changement de variable : Si tu vois une fonction composée $f(g(t))$ et que la dérivée $g'(t)$ est présente dans l'intégrale.

💡 À retenir : Cherche toujours une forme $u' \cdot f(u)$ pour le changement de variable.

Comment dériver une fonction du type F(x) = int{u(x)}^{v(x)} f(t) dt ?

Utilise la formule : $F'(x) = v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x))$ .

Dérive la borne supérieure et multiplie par la fonction évaluée en cette borne.
Soustrais la dérivée de la borne inférieure multipliée par la fonction évaluée en cette borne.

💡 À retenir : C'est une application directe de la composition des fonctions et du théorème fondamental.

Utilise la formule : $F'(x) = v'(x)f(v(x)) - u'(x)f(u(x))$.

Dérive la borne supérieure et multiplie par la fonction évaluée en cette borne.
Soustrais la dérivée de la borne inférieure multipliée par la fonction évaluée en cette borne.

💡 À retenir : C'est une application directe de la composition des fonctions et du théorème fondamental.

Est-ce que toute fonction continue admet une primitive ?

Oui, sur un intervalle, toute fonction continue admet une infinité de primitives (qui diffèrent d'une constante).

💡 À retenir : La continuité est la condition suffisante pour l'existence d'une primitive.

Chno hiya l'inégalité de la moyenne ?

Si $m \leq f(t) \leq M$ pour tout $t \in [a, b]$ , alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(t) dt \leq M(b-a)$ . Elle sert à encadrer une intégrale sans la calculer.

💡 À retenir : Très utile pour les limites quand on ne connaît pas la primitive.

Si $m \leq f(t) \leq M$ pour tout $t \in [a, b]$, alors $m(b-a) \leq \int_a^b f(t) dt \leq M(b-a)$. Elle sert à encadrer une intégrale sans la calculer.

💡 À retenir : Très utile pour les limites quand on ne connaît pas la primitive.

Est-ce que inta^b f(t) dt = 0 implique f = 0 ?

Non, pas forcément. Si $f$ est continue et positive, alors oui. Mais si $f$ change de signe, l'intégrale peut s'annuler sans que $f$ soit nulle.

💡 À retenir : Pour une fonction continue, $\int_a^b |f(t)| dt = 0 \implies f = 0$ .

Non, pas forcément. Si $f$ est continue et positive, alors oui. Mais si $f$ change de signe, l'intégrale peut s'annuler sans que $f$ soit nulle.

💡 À retenir : Pour une fonction continue, $\int_a^b |f(t)| dt = 0 \implies f = 0$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Calculer l'intégrale $I = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$ .

Exercice 1

Calculer l'intégrale $I = \int_0^{\pi/2} \sin^3(x) dx$.

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Exercice 2

Soit $f$ une fonction continue sur $[0, 1]$ . Montrer que $\int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 f(1-t) dt$ . En déduire la valeur de $J = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)} dx$ .

Exercice 2

Soit $f$ une fonction continue sur $[0, 1]$. Montrer que $\int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 f(1-t) dt$. En déduire la valeur de $J = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin(x)}{\sin(x) + \cos(x)} dx$.

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Exercice 3

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=0$ . Montrer que $\int_0^1 f^2(t) dt \leq \int_0^1 (f'(t))^2 dt$ .

Exercice 3

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0, 1]$ telle que $f(0)=0$. Montrer que $\int_0^1 f^2(t) dt \leq \int_0^1 (f'(t))^2 dt$.

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