Analyse — MPSI · MPSI

Séries numériques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une série numérique $\sum u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$ .

Convergence : La série converge si la suite $(S_n)$ admet une limite finie $S$ . On note $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$ .
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$ . (La réciproque est fausse).
Séries à termes positifs : La suite $(S_n)$ est croissante. Elle converge si et seulement si $(S_n)$ est majorée.
Séries de référence :
- Série géométrique $\sum q^n$ : converge ssi $|q| < 1$ .
- Série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ : converge ssi $\alpha > 1$ .
- Série exponentielle $\sum \frac{x^n}{n!}$ : converge pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Méthodes à maîtriser

Utiliser les sommes télescopiques : Écrire $u_n = v_{n+1} - v_n$ pour calculer $S_n$ .
Critères de comparaison : Si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
Équivalents : Si $u_n \sim v_n$ avec $u_n, v_n \geq 0$ , les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
Règle de d'Alembert : Si $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$ , alors : si $\ell < 1$ (convergence), si $\ell > 1$ (divergence).

Exemples corrigés

Série géométrique : $\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{3})^n = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$ .
Série de Riemann : $\sum \frac{1}{n^2}$ converge car $\alpha = 2 > 1$ .
Série divergente : $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge car $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n}$ et $\sum \frac{1}{n}$ diverge (série harmonique).

Erreurs fréquentes

Oublier que $\lim u_n = 0$ n'est pas suffisant pour la convergence (ex: série harmonique).
Appliquer d'Alembert quand la limite est 1 (cas douteux).
Confondre la nature de la série avec la limite du terme général.

L'essentiel du cours

Une série numérique $\sum u_n$ est la suite des sommes partielles $S_n = \sum_{k=0}^{n} u_k$.

Convergence : La série converge si la suite $(S_n)$ admet une limite finie $S$. On note $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$.
Condition nécessaire : Si $\sum u_n$ converge, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$. (La réciproque est fausse).
Séries à termes positifs : La suite $(S_n)$ est croissante. Elle converge si et seulement si $(S_n)$ est majorée.
Séries de référence :
- Série géométrique $\sum q^n$ : converge ssi $|q| < 1$.
- Série de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ : converge ssi $\alpha > 1$.
- Série exponentielle $\sum \frac{x^n}{n!}$ : converge pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Méthodes à maîtriser

Utiliser les sommes télescopiques : Écrire $u_n = v_{n+1} - v_n$ pour calculer $S_n$.
Critères de comparaison : Si $0 \leq u_n \leq v_n$ et $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.
Équivalents : Si $u_n \sim v_n$ avec $u_n, v_n \geq 0$, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature.
Règle de d'Alembert : Si $\lim_{n \to +\infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \ell$, alors : si $\ell < 1$ (convergence), si $\ell > 1$ (divergence).

Exemples corrigés

Série géométrique : $\sum_{n=0}^{+\infty} (\frac{1}{3})^n = \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{3}{2}$.
Série de Riemann : $\sum \frac{1}{n^2}$ converge car $\alpha = 2 > 1$.
Série divergente : $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ diverge car $\frac{1}{\sqrt{n}} \geq \frac{1}{n}$ et $\sum \frac{1}{n}$ diverge (série harmonique).

Erreurs fréquentes

Oublier que $\lim u_n = 0$ n'est pas suffisant pour la convergence (ex: série harmonique).
Appliquer d'Alembert quand la limite est 1 (cas douteux).
Confondre la nature de la série avec la limite du terme général.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Séries numériques

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Quelle est la condition nécessaire pour qu'une série $\sum u_n$ converge ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que si lim{n to +infty} un = 0, alors la série sum un converge forcément ?

Non, c'est une erreur classique. La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante.

Prends l'exemple de la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ .
On sait que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$ .
Pourtant, la série diverge vers $+\infty$ .

💡 À retenir : La limite nulle est une condition de survie, pas une garantie de convergence.

Non, c'est une erreur classique. La condition $\lim u_n = 0$ est nécessaire mais pas suffisante.

Prends l'exemple de la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$.
On sait que $\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$.
Pourtant, la série diverge vers $+\infty$.

💡 À retenir : La limite nulle est une condition de survie, pas une garantie de convergence.

Kifach n7seb la nature dial la série sum frac{n+1}{n^3+2} ?

Pour ce genre de série, utilise la méthode des équivalents :

Cherche le terme dominant au numérateur et au dénominateur : $u_n \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$ .
La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$ , donc elle converge.
Par comparaison, $\sum u_n$ converge aussi.

💡 À retenir : Dès que tu vois un quotient de polynômes, pense immédiatement aux équivalents.

Pour ce genre de série, utilise la méthode des équivalents :

Cherche le terme dominant au numérateur et au dénominateur : $u_n \sim \frac{n}{n^3} = \frac{1}{n^2}$.
La série $\sum \frac{1}{n^2}$ est une série de Riemann avec $\alpha = 2 > 1$, donc elle converge.
Par comparaison, $\sum u_n$ converge aussi.

💡 À retenir : Dès que tu vois un quotient de polynômes, pense immédiatement aux équivalents.

Est-ce qu'on peut utiliser la règle de d'Alembert pour n'importe quelle série ?

Non, elle ne fonctionne pas toujours.

Elle est très efficace pour les factorielles ( $n!$ ) ou les puissances ( $a^n$ ).
Elle échoue (donne $\ell = 1$ ) pour les séries de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ ou les fractions rationnelles.

💡 À retenir : Si le terme général contient des factorielles, d'Alembert est ton premier réflexe. Sinon, privilégie les équivalents.

Non, elle ne fonctionne pas toujours.

Elle est très efficace pour les factorielles ($n!$) ou les puissances ($a^n$).
Elle échoue (donne $\ell = 1$) pour les séries de Riemann $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ ou les fractions rationnelles.

💡 À retenir : Si le terme général contient des factorielles, d'Alembert est ton premier réflexe. Sinon, privilégie les équivalents.

Chno hiya la différence bin la suite et la série ?

C'est simple :

Une suite $(u_n)$ est une liste de nombres.
Une série $\sum u_n$ est la somme de tous les termes de cette suite.
La série est en fait une nouvelle suite : celle des sommes partielles $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$ .

💡 À retenir : La série, c'est l'accumulation des termes de la suite.

C'est simple :

Une suite $(u_n)$ est une liste de nombres.
Une série $\sum u_n$ est la somme de tous les termes de cette suite.
La série est en fait une nouvelle suite : celle des sommes partielles $S_n = u_0 + u_1 + ... + u_n$.

💡 À retenir : La série, c'est l'accumulation des termes de la suite.

Kifach n3ref wach la série sum (-1)^n converge ?

Pour cette série :

Regarde le terme général $u_n = (-1)^n$ .
Il ne tend pas vers 0 (il oscille entre -1 et 1).
Comme la condition nécessaire de convergence n'est pas respectée, la série diverge.

💡 À retenir : Si $\lim u_n \neq 0$ , la série diverge immédiatement.

Pour cette série :

Regarde le terme général $u_n = (-1)^n$.
Il ne tend pas vers 0 (il oscille entre -1 et 1).
Comme la condition nécessaire de convergence n'est pas respectée, la série diverge.

💡 À retenir : Si $\lim u_n \neq 0$, la série diverge immédiatement.

Est-ce que la somme de deux séries divergentes est toujours divergente ?

Pas forcément !

Soit $u_n = 1$ et $v_n = -1$ .
$\sum u_n$ diverge et $\sum v_n$ diverge.
Mais $\sum (u_n + v_n) = \sum 0 = 0$ , qui converge.

💡 À retenir : Attention aux opérations sur les séries divergentes, il n'y a pas de règle simple.

Pas forcément !

Soit $u_n = 1$ et $v_n = -1$.
$\sum u_n$ diverge et $\sum v_n$ diverge.
Mais $\sum (u_n + v_n) = \sum 0 = 0$, qui converge.

💡 À retenir : Attention aux opérations sur les séries divergentes, il n'y a pas de règle simple.

Comment justifier la convergence d'une série avec des valeurs absolues ?

Si la série est à termes quelconques, on étudie la convergence absolue :

On regarde $\sum |u_n|$ .
Si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge (c'est la convergence absolue).
Si $\sum |u_n|$ diverge, il faut étudier la série $\sum u_n$ par d'autres moyens.

💡 À retenir : La convergence absolue implique la convergence.

Si la série est à termes quelconques, on étudie la convergence absolue :

On regarde $\sum |u_n|$.
Si $\sum |u_n|$ converge, alors $\sum u_n$ converge (c'est la convergence absolue).
Si $\sum |u_n|$ diverge, il faut étudier la série $\sum u_n$ par d'autres moyens.

💡 À retenir : La convergence absolue implique la convergence.

Est-ce que je peux multiplier une série par une constante ?

Oui, absolument.

Si $\sum u_n$ converge vers $S$ , alors $\sum (\lambda \cdot u_n)$ converge vers $\lambda \cdot S$ .
Cela découle de la linéarité de la limite des sommes partielles.

💡 À retenir : La linéarité est valable pour les séries convergentes.

Oui, absolument.

Si $\sum u_n$ converge vers $S$, alors $\sum (\lambda \cdot u_n)$ converge vers $\lambda \cdot S$.
Cela découle de la linéarité de la limite des sommes partielles.

💡 À retenir : La linéarité est valable pour les séries convergentes.

Chno hiya série de Riemann ?

C'est une série de la forme $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ .

Elle converge si et seulement si $\alpha > 1$ .
Elle diverge si $\alpha \leq 1$ .

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour comparer tes séries.

C'est une série de la forme $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$.

Elle converge si et seulement si $\alpha > 1$.
Elle diverge si $\alpha \leq 1$.

💡 À retenir : C'est l'outil principal pour comparer tes séries.

Comment prouver qu'une série est majorée pour montrer qu'elle converge ?

Pour une série à termes positifs :

Montre que $S_n$ est croissante (évident car $u_n \geq 0$ ).
Trouve une majoration $S_n \leq M$ .
Par le théorème de la limite monotone, $S_n$ converge.

💡 À retenir : Croissance + Majoration = Convergence.

Pour une série à termes positifs :

Montre que $S_n$ est croissante (évident car $u_n \geq 0$).
Trouve une majoration $S_n \leq M$.
Par le théorème de la limite monotone, $S_n$ converge.

💡 À retenir : Croissance + Majoration = Convergence.

Est-ce que sum frac{1}{n^2+n} est une série télescopique ?

Oui, en utilisant la décomposition en éléments simples :

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$ .
La somme partielle devient $(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n+1))$ .
Tout s'annule sauf le premier et le dernier terme.

💡 À retenir : La décomposition en éléments simples est la clé des séries télescopiques.

Oui, en utilisant la décomposition en éléments simples :

$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$.
La somme partielle devient $(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/n - 1/(n+1))$.
Tout s'annule sauf le premier et le dernier terme.

💡 À retenir : La décomposition en éléments simples est la clé des séries télescopiques.

Est-ce que je peux utiliser les développements limités pour les séries ?

Oui, c'est très puissant pour trouver un équivalent du terme général.

Si $u_n$ est complexe, fais un DL de $u_n$ au voisinage de $+\infty$ (en posant $x = 1/n$ ).
Le premier terme non nul du DL te donne l'équivalent.

💡 À retenir : Les DL sont parfaits pour les séries dont le terme général est difficile à comparer.

Oui, c'est très puissant pour trouver un équivalent du terme général.

Si $u_n$ est complexe, fais un DL de $u_n$ au voisinage de $+\infty$ (en posant $x = 1/n$).
Le premier terme non nul du DL te donne l'équivalent.

💡 À retenir : Les DL sont parfaits pour les séries dont le terme général est difficile à comparer.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \ln(1 + \frac{1}{n^2})$ .

Exercice 1

Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \ln(1 + \frac{1}{n^2})$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Calculer la somme de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$ .

Exercice 2

Calculer la somme de la série $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Étudier la nature de la série $\sum \frac{n^n}{n! 3^n}$ .

Exercice 3

Étudier la nature de la série $\sum \frac{n^n}{n! 3^n}$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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