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Les nombres réels

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Corps des réels ( $\mathbb{R}$ ) : $\mathbb{R}$ est un corps commutatif totalement ordonné et archimédien.
Borne supérieure : Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ (Axiome de la borne supérieure).
Valeur absolue : $|x| = \max(x, -x)$ . Inégalité triangulaire : $|x+y| \leq |x| + |y|$ .
Densité : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, x < y \implies \exists q \in \mathbb{Q}, x < q < y$ .
Partie entière : Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , il existe un unique entier $n = \lfloor x \rfloor$ tel que $n \leq x < n+1$ .

Méthodes à maîtriser

Démontrer une borne supérieure : Pour montrer que $M = \sup A$ $M = sup A$ , vérifier :
1. $\forall x \in A, x \leq M$ (M est un majorant).
2. $\forall \epsilon > 0, \exists x \in A, x > M - \epsilon$ (M est le plus petit des majorants).
Utiliser la partie entière : Encadrer $x$ par $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$ .
Raisonnement par l'absurde : Souvent utilisé pour démontrer des propriétés de densité ou d'irrationnalité.

Exemples corrigés

Borne supérieure : Soit $A = \{1 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^*\}$ $A = {1 - \frac{1}{n} ∣ n \in N^{*}}$ . On montre que $\sup A = 1$ $sup A = 1$ .
1. $1 - \frac{1}{n} < 1$ pour tout $n$ .
2. Soit $\epsilon > 0$ . On cherche $n$ tel que $1 - \frac{1}{n} > 1 - \epsilon \iff \frac{1}{n} < \epsilon \iff n > \frac{1}{\epsilon}$ . Il suffit de prendre $n = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor + 1$ .
Inégalité : Montrer que $|x| - |y| \leq |x-y|$ . On a $|x| = |x-y+y| \leq |x-y| + |y|$ , donc $|x| - |y| \leq |x-y|$ .

Erreurs fréquentes

Confondre majorant et borne supérieure (la borne supérieure appartient à l'ensemble si et seulement si c'est un maximum).
Oublier la condition "non vide" pour l'existence de la borne supérieure.
Appliquer la propriété d'Archimède sans vérifier que les réels sont strictement positifs.

L'essentiel du cours

Corps des réels ($\mathbb{R}$) : $\mathbb{R}$ est un corps commutatif totalement ordonné et archimédien.
Borne supérieure : Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$ (Axiome de la borne supérieure).
Valeur absolue : $|x| = \max(x, -x)$. Inégalité triangulaire : $|x+y| \leq |x| + |y|$.
Densité : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, x < y \implies \exists q \in \mathbb{Q}, x < q < y$.
Partie entière : Pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe un unique entier $n = \lfloor x \rfloor$ tel que $n \leq x < n+1$.

Méthodes à maîtriser

Démontrer une borne supérieure : Pour montrer que $M = \sup A$, vérifier :
1. $\forall x \in A, x \leq M$ (M est un majorant).
2. $\forall \epsilon > 0, \exists x \in A, x > M - \epsilon$ (M est le plus petit des majorants).
Utiliser la partie entière : Encadrer $x$ par $\lfloor x \rfloor \leq x < \lfloor x \rfloor + 1$.
Raisonnement par l'absurde : Souvent utilisé pour démontrer des propriétés de densité ou d'irrationnalité.

Exemples corrigés

Borne supérieure : Soit $A = {1 - \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^*}$. On montre que $\sup A = 1$.
1. $1 - \frac{1}{n} < 1$ pour tout $n$.
2. Soit $\epsilon > 0$. On cherche $n$ tel que $1 - \frac{1}{n} > 1 - \epsilon \iff \frac{1}{n} < \epsilon \iff n > \frac{1}{\epsilon}$. Il suffit de prendre $n = \lfloor \frac{1}{\epsilon} \rfloor + 1$.
Inégalité : Montrer que $|x| - |y| \leq |x-y|$. On a $|x| = |x-y+y| \leq |x-y| + |y|$, donc $|x| - |y| \leq |x-y|$.

Erreurs fréquentes

Confondre majorant et borne supérieure (la borne supérieure appartient à l'ensemble si et seulement si c'est un maximum).
Oublier la condition "non vide" pour l'existence de la borne supérieure.
Appliquer la propriété d'Archimède sans vérifier que les réels sont strictement positifs.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Les nombres réels

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La borne supérieure de l'ensemble $\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^* \}$ est :

La borne supérieure de l'ensemble ${ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N}^* }$ est :

❓ Questions fréquentes

Est-ce que tout ensemble majoré possède un maximum ?

Non, pas forcément. Un ensemble majoré possède toujours une borne supérieure, mais pas nécessairement un maximum. Le maximum est la borne supérieure qui appartient à l'ensemble. Exemple : l'intervalle $I = [0, 1[$ . Il est majoré par 1, sa borne supérieure est 1, mais il n'a pas de maximum car $1 \notin I$ .

💡 À retenir : Borne supérieure $\neq$ Maximum.

Non, pas forcément. Un ensemble majoré possède toujours une borne supérieure, mais pas nécessairement un maximum. Le maximum est la borne supérieure qui appartient à l'ensemble. Exemple : l'intervalle $I = [0, 1[$. Il est majoré par 1, sa borne supérieure est 1, mais il n'a pas de maximum car $1 \notin I$.

💡 À retenir : Borne supérieure $\neq$ Maximum.

kifach n7seb la borne sup d'un ensemble li fih les fractions bhal { frac{n}{n+1} / n in mathbb{N} } ?

Calcule les premiers termes pour deviner la borne : $0, 1/2, 2/3, 3/4 \dots$ ça tend vers 1.
Montre que 1 est un majorant : $\frac{n}{n+1} < 1$ car $n < n+1$ .
Montre que pour tout $\epsilon > 0$ , il existe un élément proche de 1 : résous $\frac{n}{n+1} > 1 - \epsilon$ .
Tu trouveras $n > \frac{1-\epsilon}{\epsilon}$ . Comme $\mathbb{N}$ n'est pas majoré, un tel $n$ existe toujours.

💡 À retenir : La borne sup est souvent la limite de la suite quand $n \to +\infty$ .

Calcule les premiers termes pour deviner la borne : $0, 1/2, 2/3, 3/4 \dots$ ça tend vers 1.
Montre que 1 est un majorant : $\frac{n}{n+1} < 1$ car $n < n+1$.
Montre que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un élément proche de 1 : résous $\frac{n}{n+1} > 1 - \epsilon$.
Tu trouveras $n > \frac{1-\epsilon}{\epsilon}$. Comme $\mathbb{N}$ n'est pas majoré, un tel $n$ existe toujours.

💡 À retenir : La borne sup est souvent la limite de la suite quand $n \to +\infty$.

C'est quoi la différence entre la borne supérieure et la borne inférieure ?

La borne supérieure ( $\sup$ ) est le plus petit des majorants. Elle "bloque" l'ensemble par le haut.
La borne inférieure ( $\inf$ ) est le plus grand des minorants. Elle "bloque" l'ensemble par le bas.
Si $A$ est minoré, $\inf A = -\sup(-A)$ .

💡 À retenir : $\sup$ est le plafond, $\inf$ est le plancher.

La borne supérieure ($\sup$) est le plus petit des majorants. Elle "bloque" l'ensemble par le haut.
La borne inférieure ($\inf$) est le plus grand des minorants. Elle "bloque" l'ensemble par le bas.
Si $A$ est minoré, $\inf A = -\sup(-A)$.

💡 À retenir : $\sup$ est le plafond, $\inf$ est le plancher.

wach darouri n'biyen bli l'ensemble non vide bach n'golo 3ando borne sup ?

Oui, c'est une condition obligatoire. L'axiome de la borne supérieure stipule que toute partie de $\mathbb{R}$ non vide et majorée admet une borne supérieure. Si l'ensemble est vide, la notion n'a pas de sens mathématique dans ce contexte.

💡 À retenir : Vérifie toujours que l'ensemble n'est pas vide avant de chercher sa borne.

Comment montrer qu'un ensemble n'est pas majoré ?

Pour montrer qu'un ensemble $A$ n'est pas majoré, il faut montrer que : $\forall M \in \mathbb{R}, \exists x \in A, x > M$ . Tu dois donc prendre un réel $M$ quelconque et trouver un élément de ton ensemble qui est plus grand que $M$ .

💡 À retenir : La négation de "être majoré" est "pour tout $M$ , il existe un élément plus grand".

Pour montrer qu'un ensemble $A$ n'est pas majoré, il faut montrer que : $\forall M \in \mathbb{R}, \exists x \in A, x > M$. Tu dois donc prendre un réel $M$ quelconque et trouver un élément de ton ensemble qui est plus grand que $M$.

💡 À retenir : La négation de "être majoré" est "pour tout $M$, il existe un élément plus grand".

kifach n'biyen bli sqrt{2} n'est pas rationnel ?

Suppose $\sqrt{2} = p/q$ avec $p/q$ irréductible.
Alors $2 = p^2/q^2 \implies p^2 = 2q^2$ .
Donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair ( $p=2k$ ).
$4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2$ .
Donc $q$ est pair.
Contradiction : $p$ et $q$ sont tous deux pairs, donc la fraction n'était pas irréductible.

💡 À retenir : Raisonnement par l'absurde classique sur la parité.

Suppose $\sqrt{2} = p/q$ avec $p/q$ irréductible.
Alors $2 = p^2/q^2 \implies p^2 = 2q^2$.
Donc $p^2$ est pair, donc $p$ est pair ($p=2k$).
$4k^2 = 2q^2 \implies q^2 = 2k^2$.
Donc $q$ est pair.
Contradiction : $p$ et $q$ sont tous deux pairs, donc la fraction n'était pas irréductible.

💡 À retenir : Raisonnement par l'absurde classique sur la parité.

Est-ce que sup(A cup B) = max(sup A, sup B) ?

Oui, si $A$ et $B$ sont des parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$ .

Le plus petit majorant de la réunion est le plus grand des deux plafonds.
C'est une propriété très utile pour manipuler les bornes supérieures.

💡 À retenir : $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$ .

Oui, si $A$ et $B$ sont des parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$.

Le plus petit majorant de la réunion est le plus grand des deux plafonds.
C'est une propriété très utile pour manipuler les bornes supérieures.

💡 À retenir : $\sup(A \cup B) = \max(\sup A, \sup B)$.

C'est quoi la propriété d'Archimède ?

Elle dit que pour tout réel $x$ , il existe un entier $n$ tel que $n > x$ . En d'autres termes, les entiers ne sont pas majorés dans $\mathbb{R}$ .

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}, n > x$ .

Elle dit que pour tout réel $x$, il existe un entier $n$ tel que $n > x$. En d'autres termes, les entiers ne sont pas majorés dans $\mathbb{R}$.

💡 À retenir : $\forall x \in \mathbb{R}, \exists n \in \mathbb{N}, n > x$.

Est-ce que tout intervalle de mathbb{R} contient un rationnel ?

Oui, c'est la propriété de densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$ . Entre deux réels distincts, il existe toujours un nombre rationnel.

💡 À retenir : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .

Oui, c'est la propriété de densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$. Entre deux réels distincts, il existe toujours un nombre rationnel.

💡 À retenir : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.

wach l'ensemble des nombres irrationnels est dense dans mathbb{R} ?

Oui, l'ensemble $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est aussi dense dans $\mathbb{R}$ . Entre deux réels, il existe toujours un irrationnel.

💡 À retenir : $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont tous les deux denses dans $\mathbb{R}$ .

Oui, l'ensemble $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ est aussi dense dans $\mathbb{R}$. Entre deux réels, il existe toujours un irrationnel.

💡 À retenir : $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ sont tous les deux denses dans $\mathbb{R}$.

Comment utiliser la valeur absolue dans une équation ?

Si $|x| = a$ avec $a > 0$ , alors $x = a$ ou $x = -a$ .
Si $|x| = |y|$ , alors $x = y$ ou $x = -y$ .
Pour les inéquations, $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$ .

💡 À retenir : La valeur absolue se traite souvent en distinguant les cas selon le signe de l'expression.

Si $|x| = a$ avec $a > 0$, alors $x = a$ ou $x = -a$.
Si $|x| = |y|$, alors $x = y$ ou $x = -y$.
Pour les inéquations, $|x| \leq a \iff -a \leq x \leq a$.

💡 À retenir : La valeur absolue se traite souvent en distinguant les cas selon le signe de l'expression.

Est-ce que inf(A) leq sup(A) ?

Oui, si $A$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$ . Si $A$ est un singleton $\{x\}$ , alors $\inf A = \sup A = x$ . Si $A$ contient au moins deux éléments distincts, alors $\inf A < \sup A$ .

💡 À retenir : Toujours vrai pour toute partie non vide.

Oui, si $A$ est une partie non vide de $\mathbb{R}$. Si $A$ est un singleton ${x}$, alors $\inf A = \sup A = x$. Si $A$ contient au moins deux éléments distincts, alors $\inf A < \sup A$.

💡 À retenir : Toujours vrai pour toute partie non vide.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $A = \{ \frac{x}{1+|x|} \mid x \in \mathbb{R} \}$ . Déterminer $\sup A$ et $\inf A$ .

Exercice 1

Soit $A = { \frac{x}{1+|x|} \mid x \in \mathbb{R} }$. Déterminer $\sup A$ et $\inf A$.

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Exercice 2

Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ . Soit $B = \{ x+y \mid x \in A, y \in [0, 1] \}$ . Montrer que $\sup B = \sup A + 1$ .

Exercice 2

Soit $A$ une partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$. Soit $B = { x+y \mid x \in A, y \in [0, 1] }$. Montrer que $\sup B = \sup A + 1$.

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Exercice 3

Soit $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$ . Montrer que $\sup(A+B) = \sup A + \sup B$ , où $A+B = \{a+b \mid a \in A, b \in B\}$ .

Exercice 3

Soit $A$ et $B$ deux parties non vides et majorées de $\mathbb{R}$. Montrer que $\sup(A+B) = \sup A + \sup B$, où $A+B = {a+b \mid a \in A, b \in B}$.

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