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Équations différentielles

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Les équations différentielles linéaires du premier et second ordre sont au cœur du programme.

Premier ordre : $y' + a(x)y = b(x)$ . La solution générale est $y(x) = \lambda e^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int b(x)e^{A(x)} dx$ , où $A$ est une primitive de $a$ .
Second ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = f(x)$ $a y^{''} + b y^{'} + cy = f (x)$ .
- Équation homogène : $ar^2 + br + c = 0$ . On distingue trois cas selon le discriminant $\Delta$ (réelles distinctes, réelle double, complexes conjuguées).
- Solution particulière : Par linéarité, si $f(x) = P(x)e^{\alpha x}$ , on cherche une solution de même forme (en multipliant par $x$ si $\alpha$ est racine de l'équation caractéristique).

Méthodes à maîtriser

Principe de superposition : Si $f = f_1 + f_2$ , la solution particulière est la somme des solutions particulières associées à $f_1$ et $f_2$ .
Variation de la constante : Méthode universelle pour le premier ordre si l'on connaît la solution homogène.
Conditions initiales : Toujours déterminer la constante $\lambda$ (ou $C_1, C_2$ ) à la fin, après avoir trouvé la solution générale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' + 2y = e^x$ . Solution homogène $y_h = \lambda e^{-2x}$ . Solution particulière $y_p = ke^x \implies 3ke^x = e^x \implies k=1/3$ . Solution : $y = \lambda e^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$ .
Exemple 2 : $y'' - 3y' + 2y = 0$ . Éq. carac. : $r^2 - 3r + 2 = 0$ . Racines $r_1=1, r_2=2$ . Solution : $y = \lambda e^x + \mu e^{2x}$ .

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration $\lambda$ .
Se tromper de signe dans l'exponentielle de la solution homogène ( $e^{-A(x)}$ ).
Ne pas vérifier si le second membre est solution de l'équation homogène avant de chercher une solution particulière (risque de multiplication par $x$ oubliée).

L'essentiel du cours

Les équations différentielles linéaires du premier et second ordre sont au cœur du programme.

Premier ordre : $y' + a(x)y = b(x)$. La solution générale est $y(x) = \lambda e^{-A(x)} + e^{-A(x)} \int b(x)e^{A(x)} dx$, où $A$ est une primitive de $a$.
Second ordre à coefficients constants : $ay'' + by' + cy = f(x)$.
- Équation homogène : $ar^2 + br + c = 0$. On distingue trois cas selon le discriminant $\Delta$ (réelles distinctes, réelle double, complexes conjuguées).
- Solution particulière : Par linéarité, si $f(x) = P(x)e^{\alpha x}$, on cherche une solution de même forme (en multipliant par $x$ si $\alpha$ est racine de l'équation caractéristique).

Méthodes à maîtriser

Principe de superposition : Si $f = f_1 + f_2$, la solution particulière est la somme des solutions particulières associées à $f_1$ et $f_2$.
Variation de la constante : Méthode universelle pour le premier ordre si l'on connaît la solution homogène.
Conditions initiales : Toujours déterminer la constante $\lambda$ (ou $C_1, C_2$) à la fin, après avoir trouvé la solution générale.

Exemples corrigés

Exemple 1 : $y' + 2y = e^x$. Solution homogène $y_h = \lambda e^{-2x}$. Solution particulière $y_p = ke^x \implies 3ke^x = e^x \implies k=1/3$. Solution : $y = \lambda e^{-2x} + \frac{1}{3}e^x$.
Exemple 2 : $y'' - 3y' + 2y = 0$. Éq. carac. : $r^2 - 3r + 2 = 0$. Racines $r_1=1, r_2=2$. Solution : $y = \lambda e^x + \mu e^{2x}$.

Erreurs fréquentes

Oublier la constante d'intégration $\lambda$.
Se tromper de signe dans l'exponentielle de la solution homogène ($e^{-A(x)}$).
Ne pas vérifier si le second membre est solution de l'équation homogène avant de chercher une solution particulière (risque de multiplication par $x$ oubliée).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Équations différentielles

1/4

Quelle est la solution homogène de $y'' - 4y' + 4y = 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si je dois chercher une solution particulière sous la forme P(x)e^{alpha x} ou xP(x)e^{alpha x} ?

Identifie la valeur $\alpha$ dans ton second membre $f(x) = P(x)e^{\alpha x}$ .
Regarde si $\alpha$ est racine de l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ .
Si $\alpha$ n'est pas racine, cherche $y_p$ sous la forme $Q(x)e^{\alpha x}$ avec $\deg(Q) = \deg(P)$ .
Si $\alpha$ est racine simple, multiplie par $x$ . Si c'est une racine double, multiplie par $x^2$ .

💡 À retenir : Le facteur $x^k$ dépend de la multiplicité de $\alpha$ en tant que racine de l'équation caractéristique.

Identifie la valeur $\alpha$ dans ton second membre $f(x) = P(x)e^{\alpha x}$.
Regarde si $\alpha$ est racine de l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$.
Si $\alpha$ n'est pas racine, cherche $y_p$ sous la forme $Q(x)e^{\alpha x}$ avec $\deg(Q) = \deg(P)$.
Si $\alpha$ est racine simple, multiplie par $x$. Si c'est une racine double, multiplie par $x^2$.

💡 À retenir : Le facteur $x^k$ dépend de la multiplicité de $\alpha$ en tant que racine de l'équation caractéristique.

Kifach n7seb la solution particulière ila kan le second membre f(x) = sin(x) ?

Écris $\sin(x)$ comme la partie imaginaire de $e^{ix}$ .
Cherche une solution complexe $z_p$ pour $az'' + bz' + cz = e^{ix}$ .
Utilise la méthode des coefficients indéterminés : $z_p = Ae^{ix}$ .
La solution réelle sera $y_p = \text{Im}(z_p)$ .

💡 À retenir : Passer par les complexes simplifie grandement les calculs avec les fonctions trigonométriques.

Écris $\sin(x)$ comme la partie imaginaire de $e^{ix}$.
Cherche une solution complexe $z_p$ pour $az'' + bz' + cz = e^{ix}$.
Utilise la méthode des coefficients indéterminés : $z_p = Ae^{ix}$.
La solution réelle sera $y_p = \text{Im}(z_p)$.

💡 À retenir : Passer par les complexes simplifie grandement les calculs avec les fonctions trigonométriques.

Est-ce que je peux toujours utiliser la méthode de variation de la constante pour le second ordre ?

Oui, c'est une méthode générale, mais elle est souvent longue. Elle nécessite de résoudre un système de deux équations à deux inconnues (les dérivées des constantes) :

$u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0$
$u_1'y_1' + u_2'y_2' = f(x)/a$ Tu obtiens $u_1'$ et $u_2'$ par Cramer, puis tu intègres.

💡 À retenir : Utilise la méthode des coefficients indéterminés quand le second membre est simple (polynôme, exp, sin/cos), garde la variation de la constante pour les cas complexes.

Oui, c'est une méthode générale, mais elle est souvent longue. Elle nécessite de résoudre un système de deux équations à deux inconnues (les dérivées des constantes) :

$u_1'y_1 + u_2'y_2 = 0$
$u_1'y_1' + u_2'y_2' = f(x)/a$ Tu obtiens $u_1'$ et $u_2'$ par Cramer, puis tu intègres.

💡 À retenir : Utilise la méthode des coefficients indéterminés quand le second membre est simple (polynôme, exp, sin/cos), garde la variation de la constante pour les cas complexes.

Chno hiya l'utilité dyal les conditions initiales f l'examen ?

Les conditions initiales servent à déterminer de manière unique les constantes $\lambda$ et $\mu$ de la solution générale. Sans elles, tu as une infinité de solutions.

Trouve la solution générale $y(x) = y_h + y_p$ .
Calcule $y'(x)$ .
Remplace $x$ par la valeur donnée (ex: $x=0$ ) et résous le système pour trouver les constantes.

💡 À retenir : Sans conditions initiales, la solution reste une famille de fonctions.

Les conditions initiales servent à déterminer de manière unique les constantes $\lambda$ et $\mu$ de la solution générale. Sans elles, tu as une infinité de solutions.

Trouve la solution générale $y(x) = y_h + y_p$.
Calcule $y'(x)$.
Remplace $x$ par la valeur donnée (ex: $x=0$) et résous le système pour trouver les constantes.

💡 À retenir : Sans conditions initiales, la solution reste une famille de fonctions.

Pourquoi on multiplie par x quand alpha est racine ?

Parce que si $\alpha$ est racine, la fonction $e^{\alpha x}$ est déjà solution de l'équation homogène. Si tu cherches une solution particulière sous la forme $Ae^{\alpha x}$ , le résultat sera $0$ après injection dans l'équation. Multiplier par $x$ permet de "casser" cette annulation et d'obtenir un terme non nul.

💡 À retenir : La multiplication par $x$ est nécessaire pour rendre la fonction linéairement indépendante des solutions de l'homogène.

Parce que si $\alpha$ est racine, la fonction $e^{\alpha x}$ est déjà solution de l'équation homogène. Si tu cherches une solution particulière sous la forme $Ae^{\alpha x}$, le résultat sera $0$ après injection dans l'équation. Multiplier par $x$ permet de "casser" cette annulation et d'obtenir un terme non nul.

💡 À retenir : La multiplication par $x$ est nécessaire pour rendre la fonction linéairement indépendante des solutions de l'homogène.

Kifach n3ref wach l'équation différentielle linéaire ou non ?

Une équation est linéaire si $y, y', y''$ apparaissent sans puissance (pas de $y^2$ , pas de $\sqrt{y}$ , pas de $\sin(y)$ ).

Vérifie que chaque terme est de la forme $a_n(x)y^{(n)}$ .
Si tu vois $y \cdot y'$ ou $e^y$ , ce n'est pas linéaire.

💡 À retenir : Si l'inconnue $y$ ou ses dérivées sont "à l'intérieur" d'une fonction non linéaire, l'équation n'est pas linéaire.

Une équation est linéaire si $y, y', y''$ apparaissent sans puissance (pas de $y^2$, pas de $\sqrt{y}$, pas de $\sin(y)$).

Vérifie que chaque terme est de la forme $a_n(x)y^{(n)}$.
Si tu vois $y \cdot y'$ ou $e^y$, ce n'est pas linéaire.

💡 À retenir : Si l'inconnue $y$ ou ses dérivées sont "à l'intérieur" d'une fonction non linéaire, l'équation n'est pas linéaire.

Est-ce que le domaine de définition de la solution dépend de l'équation ?

Oui, absolument. La solution est définie sur un intervalle où les fonctions $a(x)$ et $b(x)$ sont continues. Si tu as une équation $y' + \frac{1}{x}y = 1$ , la solution n'est pas définie en $x=0$ .

💡 À retenir : Précise toujours l'intervalle de validité de ta solution dans ta rédaction.

Oui, absolument. La solution est définie sur un intervalle où les fonctions $a(x)$ et $b(x)$ sont continues. Si tu as une équation $y' + \frac{1}{x}y = 1$, la solution n'est pas définie en $x=0$.

💡 À retenir : Précise toujours l'intervalle de validité de ta solution dans ta rédaction.

Est-ce qu'on peut avoir des solutions complexes pour une équation à coefficients réels ?

Oui, mais en MPSI, on cherche généralement les solutions réelles. Si ton équation caractéristique donne des racines complexes $\alpha \pm i\beta$ , la solution générale est $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$ .

💡 À retenir : Les constantes $C_1, C_2$ doivent être réelles pour obtenir une solution réelle.

Oui, mais en MPSI, on cherche généralement les solutions réelles. Si ton équation caractéristique donne des racines complexes $\alpha \pm i\beta$, la solution générale est $y(x) = e^{\alpha x}(C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x))$.

💡 À retenir : Les constantes $C_1, C_2$ doivent être réelles pour obtenir une solution réelle.

Comment gérer le cas où le second membre est une somme de fonctions ?

Utilise le principe de superposition :

Résous $ay'' + by' + cy = f_1(x)$ pour trouver $y_{p1}$ .
Résous $ay'' + by' + cy = f_2(x)$ pour trouver $y_{p2}$ .
La solution particulière totale est $y_p = y_{p1} + y_{p2}$ .

💡 À retenir : C'est beaucoup plus rapide que de chercher une solution pour la somme entière.

Utilise le principe de superposition :

Résous $ay'' + by' + cy = f_1(x)$ pour trouver $y_{p1}$.
Résous $ay'' + by' + cy = f_2(x)$ pour trouver $y_{p2}$.
La solution particulière totale est $y_p = y_{p1} + y_{p2}$.

💡 À retenir : C'est beaucoup plus rapide que de chercher une solution pour la somme entière.

Est-ce que je dois toujours mettre la solution sous la forme yh + yp ?

Oui, c'est la structure obligatoire. $y_h$ est la solution de l'équation sans second membre, et $y_p$ est une solution particulière de l'équation avec second membre.

💡 À retenir : Ne confonds jamais les deux, $y_h$ contient les constantes arbitraires, $y_p$ n'en contient aucune.

Oui, c'est la structure obligatoire. $y_h$ est la solution de l'équation sans second membre, et $y_p$ est une solution particulière de l'équation avec second membre.

💡 À retenir : Ne confonds jamais les deux, $y_h$ contient les constantes arbitraires, $y_p$ n'en contient aucune.

Chno hiya l'erreur li katkhli l'étudiant ydi3 f les points f had l'exercice ?

L'erreur la plus fréquente est de ne pas vérifier les conditions de continuité des coefficients. Par exemple, si tu divises par $x$ pour isoler $y'$ , tu dois traiter le cas $x=0$ à part.

💡 À retenir : Sois toujours rigoureux sur le domaine de définition avant de diviser par une fonction.

L'erreur la plus fréquente est de ne pas vérifier les conditions de continuité des coefficients. Par exemple, si tu divises par $x$ pour isoler $y'$, tu dois traiter le cas $x=0$ à part.

💡 À retenir : Sois toujours rigoureux sur le domaine de définition avant de diviser par une fonction.

Est-ce que les équations différentielles non linéaires sont au programme ?

Non, seules les équations différentielles linéaires du premier et second ordre à coefficients constants (ou variables pour le 1er ordre) sont au programme de MPSI.