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Limites et continuité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite en un point : Soit $f$ définie au voisinage de $a$ . $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in D_f, 0 < |x-a| < \alpha \implies |f(x)-\ell| < \varepsilon$ .
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .
Image d'un segment : L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$ , alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$ .

Méthodes à maîtriser

Retour à la définition : Utiliser les quantificateurs pour prouver une limite.
Opérations sur les limites : Somme, produit, quotient (attention aux formes indéterminées).
Théorèmes de comparaison : Théorème des gendarmes et comparaison par limite infinie.
Prolongement par continuité : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ , on définit $\tilde{f}$ en posant $\tilde{f}(a) = \ell$ .
Recherche de racines : Utiliser le TVI pour montrer l'existence d'une solution à $f(x)=0$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$ . On utilise l'encadrement $-|x| \leq x \sin(1/x) \leq |x|$ , puis le théorème des gendarmes.
Exemple 2 : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ . $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$ . On prolonge $f$ par $\tilde{f}(1)=2$ .

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre "strictement monotone" et "monotone" pour le théorème de la bijection.
Négliger le domaine de définition lors du calcul d'une limite.

L'essentiel du cours

Limite en un point : Soit $f$ définie au voisinage de $a$. $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ si $\forall \varepsilon > 0, \exists \alpha > 0, \forall x \in D_f, 0 < |x-a| < \alpha \implies |f(x)-\ell| < \varepsilon$.
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.
Image d'un segment : L'image d'un segment par une fonction continue est un segment.
Théorème de la bijection : Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ vers $f(I)$.

Méthodes à maîtriser

Retour à la définition : Utiliser les quantificateurs pour prouver une limite.
Opérations sur les limites : Somme, produit, quotient (attention aux formes indéterminées).
Théorèmes de comparaison : Théorème des gendarmes et comparaison par limite infinie.
Prolongement par continuité : Si $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$, on définit $\tilde{f}$ en posant $\tilde{f}(a) = \ell$.
Recherche de racines : Utiliser le TVI pour montrer l'existence d'une solution à $f(x)=0$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$. On utilise l'encadrement $-|x| \leq x \sin(1/x) \leq |x|$, puis le théorème des gendarmes.
Exemple 2 : Soit $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$. $\lim_{x \to 1} f(x) = 2$. On prolonge $f$ par $\tilde{f}(1)=2$.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVI.
Confondre "strictement monotone" et "monotone" pour le théorème de la bijection.
Négliger le domaine de définition lors du calcul d'une limite.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites et continuité

1/4

Quelle est la limite de $\frac{\tan x}{x}$ quand $x \to 0$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une fonction continue sur un intervalle ouvert [a, b[ est bornée ?

Non, pas forcément. Par exemple, $f(x) = 1/x$ sur $]0, 1]$ est continue mais n'est pas bornée au voisinage de 0.

💡 À retenir : Le théorème des bornes n'est vrai que sur un segment (fermé et borné).

Non, pas forcément. Par exemple, $f(x) = 1/x$ sur $]0, 1]$ est continue mais n'est pas bornée au voisinage de 0.

💡 À retenir : Le théorème des bornes n'est vrai que sur un segment (fermé et borné).

Wach momkin nkhdem b TVI ila kanet f machi continue ?

Non, la continuité est une condition indispensable. Si la fonction a une discontinuité, elle peut "sauter" la valeur cherchée.

💡 À retenir : Sans continuité, le TVI ne s'applique pas.

Comment savoir si je dois utiliser le théorème des gendarmes ou la définition avec epsilon ?

Si on te demande de "démontrer à partir de la définition", tu n'as pas le choix : utilise $\varepsilon$ et $\alpha$ .
Si on te demande de "calculer la limite", le théorème des gendarmes est beaucoup plus rapide et efficace.

💡 À retenir : La définition est un outil théorique, les théorèmes de comparaison sont des outils de calcul.

Si on te demande de "démontrer à partir de la définition", tu n'as pas le choix : utilise $\varepsilon$ et $\alpha$.
Si on te demande de "calculer la limite", le théorème des gendarmes est beaucoup plus rapide et efficace.

💡 À retenir : La définition est un outil théorique, les théorèmes de comparaison sont des outils de calcul.

Kifach n3ref wach l'intervalle li 3tani fih bijection ola la ?

Vérifie d'abord que la fonction est continue sur l'intervalle.
Vérifie qu'elle est strictement monotone (calcule la dérivée et regarde son signe).
Si les deux sont vraies, alors c'est une bijection de l'intervalle vers son image.

💡 À retenir : Continuité + Stricte monotonie = Bijection.

Comment montrer qu'une fonction admet une limite infinie en un point ?

Tu dois montrer que pour tout $A > 0$ , il existe $\alpha > 0$ tel que si $0 < |x-a| < \alpha$ , alors $f(x) > A$ .
En pratique, on utilise souvent les limites usuelles ou les opérations sur les limites.

💡 À retenir : La limite infinie traduit une croissance sans borne au voisinage de $a$ .

Tu dois montrer que pour tout $A > 0$, il existe $\alpha > 0$ tel que si $0 < |x-a| < \alpha$, alors $f(x) > A$.
En pratique, on utilise souvent les limites usuelles ou les opérations sur les limites.

💡 À retenir : La limite infinie traduit une croissance sans borne au voisinage de $a$.

Kifach n7seb l'image d'un intervalle f(I) ?

Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a, b]$ , alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$ .
Si l'intervalle est ouvert ou infini, calcule les limites aux bornes.

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.

Si $f$ est continue et strictement croissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
Si l'intervalle est ouvert ou infini, calcule les limites aux bornes.

💡 À retenir : L'image d'un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.

Le théorème de la bijection permet-il de trouver la valeur exacte de la solution ?

Non, il garantit seulement l'existence et l'unicité de la solution. Pour la valeur exacte, il faut souvent une méthode numérique ou une résolution algébrique.

💡 À retenir : Le théorème est un outil d'existence, pas de calcul explicite.

Est-ce que toute fonction bornée est continue ?

Absolument pas. La fonction partie entière est bornée sur $[0, 1]$ mais elle n'est pas continue.

💡 À retenir : La réciproque est fausse.

Absolument pas. La fonction partie entière est bornée sur $[0, 1]$ mais elle n'est pas continue.

💡 À retenir : La réciproque est fausse.

Si lim f(x) = ell, est-ce que f(a) = ell ?

Seulement si $f$ est continue en $a$ . Si $f$ n'est pas définie en $a$ ou si elle est discontinue, $f(a)$ peut être différent de $\ell$ ou ne pas exister.

💡 À retenir : La limite ne dépend pas de la valeur de la fonction au point $a$ .

Seulement si $f$ est continue en $a$. Si $f$ n'est pas définie en $a$ ou si elle est discontinue, $f(a)$ peut être différent de $\ell$ ou ne pas exister.

💡 À retenir : La limite ne dépend pas de la valeur de la fonction au point $a$.

Pourquoi on utilise souvent le changement de variable pour les limites ?

Pour ramener une limite complexe à une limite usuelle (comme $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$ ).

💡 À retenir : Le changement de variable simplifie la forme de la fonction.

Pour ramener une limite complexe à une limite usuelle (comme $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$).

💡 À retenir : Le changement de variable simplifie la forme de la fonction.

Est-ce que la somme de deux fonctions discontinues est toujours discontinue ?

Non. Par exemple, $f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$ et $-1$ si $x \notin \mathbb{Q}$ est partout discontinue, mais $f(x) + (-f(x)) = 0$ est continue.

💡 À retenir : La stabilité par addition ne concerne que les fonctions continues.

Non. Par exemple, $f(x) = 1$ si $x \in \mathbb{Q}$ et $-1$ si $x \notin \mathbb{Q}$ est partout discontinue, mais $f(x) + (-f(x)) = 0$ est continue.

💡 À retenir : La stabilité par addition ne concerne que les fonctions continues.

Wach l'image d'un intervalle ouvert est toujours ouvert ?

Non. Par exemple, $f(x) = x^2$ sur $]-1, 1[$ donne $[0, 1[$ . Ce n'est ni ouvert ni fermé.

💡 À retenir : Seule l'image d'un segment est un segment.

Non. Par exemple, $f(x) = x^2$ sur $]-1, 1[$ donne $[0, 1[$. Ce n'est ni ouvert ni fermé.

💡 À retenir : Seule l'image d'un segment est un segment.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 1$ .

Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$ .
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$ .

Exercice 1

Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 + x - 1$.

Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.
Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha \in ]0, 1[$.

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Exercice 2

Étudier la continuité de la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 1$ .

Exercice 2

Étudier la continuité de la fonction $f$ définie par : $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 1$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $f$ une fonction continue sur $[0, 1]$ telle que $f(0) = f(1)$ . Montrer qu'il existe $c \in [0, 1/2]$ tel que $f(c) = f(c + 1/2)$ .

Exercice 3

Soit $f$ une fonction continue sur $[0, 1]$ telle que $f(0) = f(1)$. Montrer qu'il existe $c \in [0, 1/2]$ tel que $f(c) = f(c + 1/2)$.

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