Sciences de l'Ingénieur · Prépa concours post-bac — ENSA & ENSAM

Statique : Équilibre des solides

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Un solide est en équilibre dans un référentiel galiléen si la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures est nulle : $\sum \{ \tau_{ext \to S} \} = \{ 0 \}$ Cela se traduit par deux équations vectorielles :

$\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ (Somme des forces = vecteur nul)
$\sum \vec{M}_{A}(\vec{F}_{ext}) = \vec{0}$ (Somme des moments en un point A = vecteur nul)

Méthodes à maîtriser

Isoler le solide : Définir précisément le système étudié.
Bilan des forces : Lister les forces à distance (poids) et de contact (liaisons).
Choix du point de calcul : Choisir un point A où le maximum de moments s'annulent (souvent le centre d'une liaison pivot).
Projection : Projeter les équations sur les axes du repère choisi $(x, y, z)$ .

Exemples corrigés

Soit une barre AB de poids négligeable, articulée en A et soutenue par un câble en B.

Bilan : $\vec{R}_A$ (pivot), $\vec{T}$ (câble), $\vec{P}$ (poids).
Équilibre : $\sum \vec{F} = \vec{0} \implies \vec{R}_A + \vec{T} + \vec{P} = \vec{0}$ .
Moment en A : $\vec{M}_A(\vec{R}_A) + \vec{M}_A(\vec{T}) + \vec{M}_A(\vec{P}) = \vec{0}$ . Comme $\vec{R}_A$ passe par A, son moment est nul.

Erreurs fréquentes

Oublier le poids du solide si celui-ci n'est pas négligeable.
Se tromper dans le signe du moment (règle de la main droite).
Ne pas projeter correctement les forces sur les axes.
Confondre le torseur d'une liaison avec ses composantes.

L'essentiel du cours

Un solide est en équilibre dans un référentiel galiléen si la somme des torseurs des actions mécaniques extérieures est nulle : $$\sum { \tau_{ext \to S} } = { 0 }$$ Cela se traduit par deux équations vectorielles :

$\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}$ (Somme des forces = vecteur nul)
$\sum \vec{M}{A}(\vec{F}{ext}) = \vec{0}$ (Somme des moments en un point A = vecteur nul)

Méthodes à maîtriser

Isoler le solide : Définir précisément le système étudié.
Bilan des forces : Lister les forces à distance (poids) et de contact (liaisons).
Choix du point de calcul : Choisir un point A où le maximum de moments s'annulent (souvent le centre d'une liaison pivot).
Projection : Projeter les équations sur les axes du repère choisi $(x, y, z)$.

Exemples corrigés

Soit une barre AB de poids négligeable, articulée en A et soutenue par un câble en B.

Bilan : $\vec{R}_A$ (pivot), $\vec{T}$ (câble), $\vec{P}$ (poids).
Équilibre : $\sum \vec{F} = \vec{0} \implies \vec{R}_A + \vec{T} + \vec{P} = \vec{0}$.
Moment en A : $\vec{M}_A(\vec{R}_A) + \vec{M}_A(\vec{T}) + \vec{M}_A(\vec{P}) = \vec{0}$. Comme $\vec{R}_A$ passe par A, son moment est nul.

Erreurs fréquentes

Oublier le poids du solide si celui-ci n'est pas négligeable.
Se tromper dans le signe du moment (règle de la main droite).
Ne pas projeter correctement les forces sur les axes.
Confondre le torseur d'une liaison avec ses composantes.

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🎯 Statique : Équilibre des solides

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La somme des moments des forces extérieures est nulle si :

❓ Questions fréquentes

C'est quoi un torseur nul ?

C'est un torseur dont la résultante $\vec{R}$ est nulle et le moment $\vec{M}$ est nul en tout point.

💡 À retenir : $\{ 0 \} = \begin{Bmatrix} \vec{0} \\ \vec{0} \end{Bmatrix}$ .

C'est un torseur dont la résultante $\vec{R}$ est nulle et le moment $\vec{M}$ est nul en tout point.

💡 À retenir : ${ 0 } = \begin{Bmatrix} \vec{0} \ \vec{0} \end{Bmatrix}$.

C'est quoi la différence entre une force et un moment ?

La force est un vecteur qui tend à déplacer le solide (translation).
Le moment est un vecteur qui tend à faire tourner le solide autour d'un point ou d'un axe.

💡 À retenir : Une force sans bras de levier ne crée pas de moment.

Kifach n3ref wach l'objet f équilibre wla la ?

Vérifie si le solide est immobile par rapport au bâti.
Si la somme des forces et la somme des moments sont nulles, alors il est en équilibre statique.

💡 À retenir : Équilibre = accélération nulle et vitesse nulle.

Est-ce que le poids est toujours appliqué au centre de gravité ?

Oui, le vecteur poids $\vec{P}$ est toujours appliqué au centre de gravité (G) du solide et dirigé vers le bas.

💡 À retenir : $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$ .

Oui, le vecteur poids $\vec{P}$ est toujours appliqué au centre de gravité (G) du solide et dirigé vers le bas.

💡 À retenir : $\vec{P} = m \cdot \vec{g}$.

Chno hiya l'utilité dyal torseur f statique ?

Le torseur permet de regrouper en une seule écriture mathématique la force et le moment d'une action mécanique, ce qui facilite les calculs de somme.

💡 À retenir : $\{ \tau \} = \begin{Bmatrix} \vec{F} \\ \vec{M}_A \end{Bmatrix}$ .

Le torseur permet de regrouper en une seule écriture mathématique la force et le moment d'une action mécanique, ce qui facilite les calculs de somme.

💡 À retenir : ${ \tau } = \begin{Bmatrix} \vec{F} \ \vec{M}_A \end{Bmatrix}$.

Comment choisir le point pour calculer le moment ?

Il faut choisir le point où passent le plus grand nombre de forces inconnues. Cela permet d'annuler leurs moments et de simplifier l'équation.

💡 À retenir : Choisis le point d'intersection des droites d'action des forces inconnues.

Wach momkin nkhdmo b'équilibre ila kan l'objet kayt7rek ?

Non, si l'objet est en mouvement (accélération), on utilise le Principe Fondamental de la Dynamique (PFD) et non la statique.

💡 À retenir : Statique = Vitesse nulle.

Pourquoi on néglige parfois le poids ?

On le néglige quand les autres forces appliquées au système sont beaucoup plus grandes que le poids, pour simplifier les calculs sans perdre en précision.

💡 À retenir : C'est une hypothèse de modélisation courante.

Comment projeter un vecteur sur un axe incliné ?

Il faut utiliser la trigonométrie (cosinus pour l'angle adjacent, sinus pour l'angle opposé) en respectant le sens de l'axe.

💡 À retenir : Projeter = multiplier par le cosinus de l'angle entre le vecteur et l'axe.

Est-ce que le moment dépend du point de calcul ?

Oui, le moment d'une force change si on change le point de réduction. La formule de transport est : $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \vec{BA} \wedge \vec{F}$ .

💡 À retenir : Le moment n'est pas un invariant.

Oui, le moment d'une force change si on change le point de réduction. La formule de transport est : $\vec{M}_B = \vec{M}_A + \vec{BA} \wedge \vec{F}$.

💡 À retenir : Le moment n'est pas un invariant.

Est-ce qu'on doit toujours utiliser le PFS ?

Oui, pour tout problème de statique où l'on cherche des actions mécaniques inconnues, le PFS est l'outil fondamental.

💡 À retenir : PFS = Outil de résolution des inconnues.

Wach l'ordre dyal les étapes f l'exercice important ?

Oui, commence toujours par l'isolement, puis le bilan des forces, puis l'application du PFS. C'est la méthode garantissant la réussite.

💡 À retenir : La rigueur est la clé de la note maximale.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Une poutre AB de longueur $L=2m$ et de masse négligeable est articulée en A et maintenue horizontale par un câble en B faisant un angle $\alpha = 30^\circ$ avec la poutre. Une charge $F = 100N$ est appliquée en son milieu. Déterminer les actions en A et la tension du câble.

Exercice 1

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