Logique et raisonnement · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Transformations géométriques et symétries

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Une transformation $f$ du plan est une application qui associe à tout point $M$ un point $M' = f(M)$ .

Translation de vecteur $\vec{u}$ : $M' = t_{\vec{u}}(M) \iff \vec{MM'} = \vec{u}$ .
Homothétie de centre $\Omega$ et rapport $k \in \mathbb{R}^*$ : $h(M) = M' \iff \vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$ .
Rotation de centre $\Omega$ et angle $\theta$ : $r(M) = M' \iff \Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \theta [2\pi]$ .
Symétrie centrale : C'est une homothétie de rapport $k = -1$ .
Symétrie axiale : Réflexion par rapport à une droite $\Delta$ .

Méthodes à maîtriser

Pour démontrer qu'une transformation est une translation, montrer que $\vec{MM'}$ est constant pour tout $M$ .
Pour une homothétie, utiliser la relation vectorielle $\vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$ .
Pour une composée, appliquer $f$ puis $g$ : $(g \circ f)(M) = g(f(M))$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $t_{\vec{u}}$ avec $\vec{u}(2, 3)$ . L'image de $M(x, y)$ est $M'(x+2, y+3)$ .
Exemple 2 : Homothétie $h$ de centre $O(0,0)$ et $k=2$ . $M'(2x, 2y)$ .

Erreurs fréquentes

Confondre le rapport $k$ d'une homothétie (peut être négatif) avec une distance (toujours positive).
Oublier le modulo $2\pi$ dans les angles de rotation.
Inverser l'ordre dans la composée $g \circ f$ (on commence par $f$ ).

L'essentiel du cours

Une transformation $f$ du plan est une application qui associe à tout point $M$ un point $M' = f(M)$.

Translation de vecteur $\vec{u}$ : $M' = t_{\vec{u}}(M) \iff \vec{MM'} = \vec{u}$.
Homothétie de centre $\Omega$ et rapport $k \in \mathbb{R}^*$ : $h(M) = M' \iff \vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$.
Rotation de centre $\Omega$ et angle $\theta$ : $r(M) = M' \iff \Omega M = \Omega M'$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \theta [2\pi]$.
Symétrie centrale : C'est une homothétie de rapport $k = -1$.
Symétrie axiale : Réflexion par rapport à une droite $\Delta$.

Méthodes à maîtriser

Pour démontrer qu'une transformation est une translation, montrer que $\vec{MM'}$ est constant pour tout $M$.
Pour une homothétie, utiliser la relation vectorielle $\vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$.
Pour une composée, appliquer $f$ puis $g$ : $(g \circ f)(M) = g(f(M))$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Soit $t_{\vec{u}}$ avec $\vec{u}(2, 3)$. L'image de $M(x, y)$ est $M'(x+2, y+3)$.
Exemple 2 : Homothétie $h$ de centre $O(0,0)$ et $k=2$. $M'(2x, 2y)$.

Erreurs fréquentes

Confondre le rapport $k$ d'une homothétie (peut être négatif) avec une distance (toujours positive).
Oublier le modulo $2\pi$ dans les angles de rotation.
Inverser l'ordre dans la composée $g \circ f$ (on commence par $f$).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Transformations géométriques et symétries

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Quelle transformation conserve les distances ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que la translation est une isométrie ?

Oui, la translation conserve les distances. Si $M_1$ et $M_2$ sont deux points, alors la distance $M_1M_2$ est égale à la distance $M'_1M'_2$ après translation.

💡 À retenir : Toute translation, rotation et symétrie est une isométrie.

Oui, la translation conserve les distances. Si $M_1$ et $M_2$ sont deux points, alors la distance $M_1M_2$ est égale à la distance $M'_1M'_2$ après translation.

💡 À retenir : Toute translation, rotation et symétrie est une isométrie.

Kifach n7seb l'image dyal wahed l-noukta b rotation?

7ded l-markaz $\Omega$ w z-zawiya $\theta$ .
St3mel l-mou3adalat l-parametric aw l-a3dad l-ouqadiya (si niveau terminale).
7seb l-i7datiyat dyal $M'$ b t-tariqa l-handasiya aw l-jabr.

💡 À retenir : Rotation = conservation de la distance au centre et de l'angle.

7ded l-markaz $\Omega$ w z-zawiya $\theta$.
St3mel l-mou3adalat l-parametric aw l-a3dad l-ouqadiya (si niveau terminale).
7seb l-i7datiyat dyal $M'$ b t-tariqa l-handasiya aw l-jabr.

💡 À retenir : Rotation = conservation de la distance au centre et de l'angle.

C'est quoi la différence entre homothétie et translation ?

La translation déplace tous les points selon le même vecteur $\vec{u}$ .
L'homothétie "agrandit" ou "réduit" la figure par rapport à un point fixe (le centre).

💡 À retenir : La translation est une homothétie de rapport $k=1$ (cas limite).

La translation déplace tous les points selon le même vecteur $\vec{u}$.
L'homothétie "agrandit" ou "réduit" la figure par rapport à un point fixe (le centre).

💡 À retenir : La translation est une homothétie de rapport $k=1$ (cas limite).

Chno hiya l-farq bin symétrie centrale w rotation?

La symétrie centrale est un cas particulier de rotation où l'angle est $\pi$ (ou $-\pi$ ).

💡 À retenir : Rotation de $180^\circ$ = Symétrie centrale.

La symétrie centrale est un cas particulier de rotation où l'angle est $\pi$ (ou $-\pi$).

💡 À retenir : Rotation de $180^\circ$ = Symétrie centrale.

Est-ce que l'ordre compte dans la composée de deux transformations ?

Oui, en général $f \circ g \neq g \circ f$ . Il faut toujours appliquer la transformation de droite vers la gauche.

💡 À retenir : La composition n'est pas commutative.

Oui, en général $f \circ g \neq g \circ f$. Il faut toujours appliquer la transformation de droite vers la gauche.

💡 À retenir : La composition n'est pas commutative.

Kifach n3ref wach wahed t-tahwil homothétie?

Il faut vérifier s'il existe un point $\Omega$ et un réel $k$ tels que $\vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$ pour tout point $M$ .

💡 À retenir : Le rapport $k$ doit être constant.

Il faut vérifier s'il existe un point $\Omega$ et un réel $k$ tels que $\vec{\Omega M'} = k\vec{\Omega M}$ pour tout point $M$.

💡 À retenir : Le rapport $k$ doit être constant.

Peut-on composer deux homothéties ?

Oui, la composée de deux homothéties de rapports $k_1$ et $k_2$ est soit une homothétie (si $k_1k_2 \neq 1$ ), soit une translation (si $k_1k_2 = 1$ ).

💡 À retenir : Le produit des rapports détermine la nature du résultat.

Oui, la composée de deux homothéties de rapports $k_1$ et $k_2$ est soit une homothétie (si $k_1k_2 \neq 1$), soit une translation (si $k_1k_2 = 1$).

💡 À retenir : Le produit des rapports détermine la nature du résultat.

Est-ce que la symétrie axiale change l'orientation ?

Oui, la symétrie axiale est une isométrie indirecte : elle inverse l'orientation des figures (le sens des aiguilles d'une montre devient l'inverse).

💡 À retenir : Seule la symétrie axiale change l'orientation.

C'est quoi un point invariant ?

C'est un point $M$ tel que $f(M) = M$ . Par exemple, le centre d'une rotation est son seul point invariant.

💡 À retenir : Chercher les points invariants permet de trouver le centre d'une transformation.

C'est un point $M$ tel que $f(M) = M$. Par exemple, le centre d'une rotation est son seul point invariant.

💡 À retenir : Chercher les points invariants permet de trouver le centre d'une transformation.

Est-ce que l'homothétie conserve les angles ?

Oui, l'homothétie conserve les mesures des angles géométriques, mais elle ne conserve pas les distances.

💡 À retenir : L'homothétie est une similitude.

Comment trouver l'image d'une droite par une homothétie ?

Prends deux points distincts $A$ et $B$ sur la droite.
Trouve leurs images $A'$ et $B'$ par l'homothétie.
La droite $(A'B')$ est l'image de la droite $(AB)$ .

💡 À retenir : L'image d'une droite est une droite parallèle.

Prends deux points distincts $A$ et $B$ sur la droite.
Trouve leurs images $A'$ et $B'$ par l'homothétie.
La droite $(A'B')$ est l'image de la droite $(AB)$.

💡 À retenir : L'image d'une droite est une droite parallèle.

Est-ce que la rotation conserve le parallélisme ?

Oui, comme toutes les isométries, la rotation conserve le parallélisme, les angles et les distances.

💡 À retenir : Les transformations affines conservent le parallélisme.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1, 2)$ et de rapport $k = -2$ . Déterminer l'image du point $A(3, 4)$ par $h$ .

Exercice 1

Soit $h$ l'homothétie de centre $\Omega(1, 2)$ et de rapport $k = -2$. Déterminer l'image du point $A(3, 4)$ par $h$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit $t$ la translation de vecteur $\vec{u}(1, -1)$ . Déterminer l'image de la droite $(D)$ d'équation $x + y - 2 = 0$ par $t$ .

Exercice 2

Soit $t$ la translation de vecteur $\vec{u}(1, -1)$. Déterminer l'image de la droite $(D)$ d'équation $x + y - 2 = 0$ par $t$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Soit $r$ la rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $\pi/2$ . Déterminer l'image du point $B(2, 0)$ par $r$ .

Exercice 3

Soit $r$ la rotation de centre $O(0,0)$ et d'angle $\pi/2$. Déterminer l'image du point $B(2, 0)$ par $r$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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