Relations d'équivalence et relations d'ordre

Un élément $m$ est maximal s'il n'existe aucun élément $x$ dans l'ensemble tel que $mRx$ avec $m \neq x$.

💡 À retenir : "Maximal" ne veut pas dire "plus grand que tous les autres".

Non, on peut définir plusieurs relations d'ordre différentes sur un même ensemble. Par exemple, sur $\mathbb{N}$, on a l'ordre usuel $\le$ et la relation de divisibilité $a|b$.

💡 À retenir : La relation dépend de la règle choisie.

Parce qu'elle relie deux éléments (un couple) de l'ensemble. On travaille toujours avec des paires $(x, y)$.

💡 À retenir : "Binaire" = deux.

Non, jamais. Une relation d'équivalence est symétrique, alors qu'une relation d'ordre est antisymétrique. Si une relation est à la fois d'équivalence et d'ordre, c'est forcément l'égalité ($xRy \iff x=y$).

💡 À retenir : Symétrie et antisymétrie sont incompatibles sauf pour l'égalité.

1. Tu écris la définition : $\text{cl}(a) = {x \in E / xRa}$.
2. Tu remplaces $xRa$ par la condition donnée dans l'énoncé.
3. Tu résous l'équation ou l'inéquation pour trouver tous les $x$ possibles.

💡 À retenir : La classe d'équivalence est un ensemble, n'oublie pas les accolades ${ \dots }$.

Un ordre est total si pour tout couple $(x, y)$, on peut toujours comparer $x$ et $y$ ($xRy$ ou $yRx$). Il est partiel s'il existe au moins un couple d'éléments qu'on ne peut pas comparer.

💡 À retenir : $\le$ dans $\mathbb{R}$ est total, mais $\subset$ dans les ensembles est partiel.

L'antisymétrie signifie que si $x$ est en relation avec $y$ ET que $y$ est en relation avec $x$, alors obligatoirement $x$ et $y$ sont le même élément.

💡 À retenir : C'est la condition clé pour définir un ordre.

Non, car une relation d'ordre doit être réflexive ($\forall x, xRx$). La relation vide ne contient aucun couple, donc elle ne peut pas être réflexive sur un ensemble non vide.

💡 À retenir : La réflexivité est obligatoire pour l'ordre et l'équivalence.

1. Tu prends trois éléments $x, y, z$ tels que $xRy$ et $yRz$.
2. Tu utilises les définitions de $xRy$ et $yRz$ pour obtenir des égalités ou des inégalités.
3. Tu manipules ces expressions pour montrer que $xRz$ est vraie.

💡 À retenir : La transitivité est souvent l'étape la plus longue à rédiger.

Non. Par réflexivité, chaque élément $x$ est en relation avec lui-même ($xRx$), donc $x$ appartient toujours à sa propre classe $\text{cl}(x)$. La classe est donc au moins composée de ${x}$.

💡 À retenir : Les classes d'équivalence forment une partition de l'ensemble.

Non, on peut définir un ordre sur n'importe quel ensemble. Par exemple, la relation d'inclusion $\subset$ sur l'ensemble des parties d'un ensemble $E$ est une relation d'ordre.

💡 À retenir : L'ordre est une notion abstraite qui dépasse les simples nombres.

Il suffit de trouver un contre-exemple pour l'une des trois propriétés (réflexivité, symétrie ou transitivité). Un seul exemple suffit pour invalider la relation.

💡 À retenir : Un contre-exemple est une preuve suffisante.