Logique et raisonnement · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Géométrie analytique et vecteurs dans le plan et l'espace

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Dans le plan : Un point $M(x, y)$ et un vecteur $\vec{u}(a, b)$ . La droite passant par $A(x_A, y_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ a pour équation $ax - by + c = 0$ .
Dans l'espace : Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$ .
Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ .
Plan : Un plan est défini par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ : $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$ .

Méthodes à maîtriser

Vérifier la colinéarité : Calculer le déterminant (plan) ou vérifier la proportionnalité des coordonnées (espace).
Passer de la représentation paramétrique à l'équation cartésienne : Éliminer le paramètre $t$ (et $k$ ).
Calculer une distance : Utiliser la formule $d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ .

Exemples corrigés

Vecteur normal : Pour le plan $2x - y + 3z - 5 = 0$ , le vecteur normal est $\vec{n}(2, -1, 3)$ .
Produit scalaire : $\vec{u}(1, 0, 2)$ et $\vec{v}(3, 1, -1) \implies \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (0)(1) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1$ .

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier la racine carrée dans le calcul de la norme ou de la distance.
Oublier la constante $d$ dans l'équation cartésienne du plan.

L'essentiel du cours

Dans le plan : Un point $M(x, y)$ et un vecteur $\vec{u}(a, b)$. La droite passant par $A(x_A, y_A)$ de vecteur directeur $\vec{u}$ a pour équation $ax - by + c = 0$.
Dans l'espace : Le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$.
Orthogonalité : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
Plan : Un plan est défini par un point $A$ et un vecteur normal $\vec{n}(a, b, c)$ : $a(x-x_A) + b(y-y_A) + c(z-z_A) = 0$.

Méthodes à maîtriser

Vérifier la colinéarité : Calculer le déterminant (plan) ou vérifier la proportionnalité des coordonnées (espace).
Passer de la représentation paramétrique à l'équation cartésienne : Éliminer le paramètre $t$ (et $k$).
Calculer une distance : Utiliser la formule $d(M, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$.

Exemples corrigés

Vecteur normal : Pour le plan $2x - y + 3z - 5 = 0$, le vecteur normal est $\vec{n}(2, -1, 3)$.
Produit scalaire : $\vec{u}(1, 0, 2)$ et $\vec{v}(3, 1, -1) \implies \vec{u} \cdot \vec{v} = (1)(3) + (0)(1) + (2)(-1) = 3 - 2 = 1$.

Erreurs fréquentes

Confondre vecteur directeur d'une droite et vecteur normal d'un plan.
Oublier la racine carrée dans le calcul de la norme ou de la distance.
Oublier la constante $d$ dans l'équation cartésienne du plan.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Géométrie analytique et vecteurs dans le plan et l'espace

1/4

Le produit scalaire de $\vec{u}(1, 2)$ et $\vec{v}(-2, 1)$ est :

❓ Questions fréquentes

Comment savoir si deux droites sont parallèles dans l'espace ?

Identifie les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des deux droites.
Vérifie s'ils sont colinéaires : $\vec{u} = k \vec{v}$ .
Si oui, vérifie qu'un point de la première droite n'appartient pas à la seconde (pour éviter qu'elles soient confondues).

💡 À retenir : Des droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Identifie les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ des deux droites.
Vérifie s'ils sont colinéaires : $\vec{u} = k \vec{v}$.
Si oui, vérifie qu'un point de la première droite n'appartient pas à la seconde (pour éviter qu'elles soient confondues).

💡 À retenir : Des droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Kifach n7seb l'ihdathiyat dyal l'montasaf dyal wahed l'9it3a [AB] ?

Soient $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ .
Le milieu $I$ a pour coordonnées : $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ , $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$ , $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$ .

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités.

Soient $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$.
Le milieu $I$ a pour coordonnées : $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$, $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.

💡 À retenir : C'est la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités.

Est-ce que le produit scalaire est commutatif ?

Oui, pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ , on a $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ .

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs ne change pas le résultat du produit scalaire.

Oui, pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, on a $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.

💡 À retenir : L'ordre des vecteurs ne change pas le résultat du produit scalaire.

Chno hiya l'far9 bin l'mou3adala l'cartésienne dyal mosta9im o dyal mostawa ?

Dans le plan, la droite est $ax + by + c = 0$ .
Dans l'espace, le plan est $ax + by + cz + d = 0$ .
Une droite dans l'espace ne peut pas être définie par une seule équation cartésienne, mais par l'intersection de deux plans.

💡 À retenir : Une équation avec 3 variables ( $x, y, z$ ) représente un plan dans l'espace.

Dans le plan, la droite est $ax + by + c = 0$.
Dans l'espace, le plan est $ax + by + cz + d = 0$.
Une droite dans l'espace ne peut pas être définie par une seule équation cartésienne, mais par l'intersection de deux plans.

💡 À retenir : Une équation avec 3 variables ($x, y, z$) représente un plan dans l'espace.

Comment prouver qu'un vecteur vec{n} est normal à un plan (P) ?

Il faut montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.

💡 À retenir : $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$ .

Il faut montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan.

💡 À retenir : $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.

Kifach n3ref wach wahed l'no9ta katnmi l'mostawa ?

Remplace les coordonnées $(x, y, z)$ de la point dans l'équation du plan.
Si le résultat est égal à 0, alors le point appartient au plan.

💡 À retenir : Les coordonnées doivent vérifier l'équation.

Remplace les coordonnées $(x, y, z)$ de la point dans l'équation du plan.
Si le résultat est égal à 0, alors le point appartient au plan.

💡 À retenir : Les coordonnées doivent vérifier l'équation.

Quelle est la norme du vecteur nul ?

La norme du vecteur nul $\vec{0}$ est égale à 0.

💡 À retenir : $\|\vec{0}\| = 0$ .

La norme du vecteur nul $\vec{0}$ est égale à 0.

💡 À retenir : $|\vec{0}| = 0$.

Peut-on avoir un produit scalaire négatif ?

Oui, le produit scalaire est négatif si l'angle entre les deux vecteurs est obtus (supérieur à 90°).

💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \|\vec{v}\| \cos(\theta)$ .

Oui, le produit scalaire est négatif si l'angle entre les deux vecteurs est obtus (supérieur à 90°).

💡 À retenir : $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\theta)$.

Comment trouver une représentation paramétrique d'une droite ?

Il faut un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ .
Le système est : $x = x_0 + at$ , $y = y_0 + bt$ , $z = z_0 + ct$ avec $t \in \mathbb{R}$ .

💡 À retenir : Le paramètre $t$ décrit toute la droite.

Il faut un point $A(x_0, y_0, z_0)$ et un vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$.
Le système est : $x = x_0 + at$, $y = y_0 + bt$, $z = z_0 + ct$ avec $t \in \mathbb{R}$.

💡 À retenir : Le paramètre $t$ décrit toute la droite.

Est-ce que deux vecteurs orthogonaux sont forcément colinéaires ?

Non, c'est l'inverse : s'ils sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul, alors que s'ils sont colinéaires, ils sont parallèles.

💡 À retenir : Orthogonal $\neq$ colinéaire.

Non, c'est l'inverse : s'ils sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul, alors que s'ils sont colinéaires, ils sont parallèles.

💡 À retenir : Orthogonal $\neq$ colinéaire.

Comment calculer la distance d'un point à un plan ?

Utilise la formule $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ où $(P): ax+by+cz+d=0$ .

💡 À retenir : Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur.

Utilise la formule $d(A, (P)) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ où $(P): ax+by+cz+d=0$.

💡 À retenir : Ne pas oublier la valeur absolue au numérateur.

Est-ce que le produit scalaire dépend du repère ?

Non, le produit scalaire est une valeur géométrique indépendante du choix du repère orthonormé.

💡 À retenir : C'est une propriété intrinsèque des vecteurs.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soient $A(1, 0, 2)$ et $B(2, 1, 0)$ . Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ .

Exercice 1

Soient $A(1, 0, 2)$ et $B(2, 1, 0)$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(AB)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soit le plan $(P): x + 2y - z + 3 = 0$ . Déterminer l'équation du plan $(Q)$ parallèle à $(P)$ passant par $M(1, 1, 1)$ .

Exercice 2

Soit le plan $(P): x + 2y - z + 3 = 0$. Déterminer l'équation du plan $(Q)$ parallèle à $(P)$ passant par $M(1, 1, 1)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Calculer la distance du point $A(0, 1, 2)$ au plan $(P): 2x - y + 2z - 1 = 0$ .

Exercice 3

Calculer la distance du point $A(0, 1, 2)$ au plan $(P): 2x - y + 2z - 1 = 0$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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