Logique et raisonnement · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Logique élémentaire et connecteurs logiques

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

La logique est le langage fondamental des mathématiques. Une proposition $P$ est une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).

Négation ( $\neg P$ ) : Vrai si $P$ est faux, faux si $P$ est vrai.
Conjonction ( $P \land Q$ ) : Vrai uniquement si $P$ et $Q$ sont vrais.
Disjonction ( $P \lor Q$ ) : Faux uniquement si $P$ et $Q$ sont faux.
Implication ( $P \implies Q$ ) : Faux uniquement si $P$ est vrai et $Q$ est faux.
Équivalence ( $P \iff Q$ ) : Vrai si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

Méthodes à maîtriser

Table de vérité : Pour démontrer une équivalence, on dresse les tables de vérité des deux membres et on vérifie s'ils sont identiques.
Utilisation de la contraposée : Pour montrer $P \implies Q$ , on peut montrer $\neg Q \implies \neg P$ .
Raisonnement par l'absurde : Pour montrer $P$ , on suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $\neg(P \land Q) \iff (\neg P \lor \neg Q)$ . Solution : En dressant la table de vérité, on constate que les deux colonnes finales sont identiques. C'est la loi de De Morgan.
Exemple 2 : Soit $x \in \mathbb{R}$ . Montrer que $x \neq 1 \implies x^2 \neq 1$ est faux. Solution : Il suffit de trouver un contre-exemple : $x = -1$ . Ici $x \neq 1$ est vrai, mais $x^2 = 1$ est vrai, donc l'implication est fausse.

Erreurs fréquentes

Confondre l'implication ( $P \implies Q$ ) avec l'équivalence ( $P \iff Q$ ).
Oublier que la négation de $P \implies Q$ est $P \land \neg Q$ et non $\neg P \implies \neg Q$ .
Penser que $P \implies Q$ est la même chose que $Q \implies P$ (la réciproque).

L'essentiel du cours

La logique est le langage fondamental des mathématiques. Une proposition $P$ est une phrase mathématique qui est soit vraie (V), soit fausse (F).

Négation ($\neg P$) : Vrai si $P$ est faux, faux si $P$ est vrai.
Conjonction ($P \land Q$) : Vrai uniquement si $P$ et $Q$ sont vrais.
Disjonction ($P \lor Q$) : Faux uniquement si $P$ et $Q$ sont faux.
Implication ($P \implies Q$) : Faux uniquement si $P$ est vrai et $Q$ est faux.
Équivalence ($P \iff Q$) : Vrai si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité.

Méthodes à maîtriser

Table de vérité : Pour démontrer une équivalence, on dresse les tables de vérité des deux membres et on vérifie s'ils sont identiques.
Utilisation de la contraposée : Pour montrer $P \implies Q$, on peut montrer $\neg Q \implies \neg P$.
Raisonnement par l'absurde : Pour montrer $P$, on suppose $\neg P$ et on cherche une contradiction.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Montrer que $\neg(P \land Q) \iff (\neg P \lor \neg Q)$. Solution : En dressant la table de vérité, on constate que les deux colonnes finales sont identiques. C'est la loi de De Morgan.
Exemple 2 : Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $x \neq 1 \implies x^2 \neq 1$ est faux. Solution : Il suffit de trouver un contre-exemple : $x = -1$. Ici $x \neq 1$ est vrai, mais $x^2 = 1$ est vrai, donc l'implication est fausse.

Erreurs fréquentes

Confondre l'implication ($P \implies Q$) avec l'équivalence ($P \iff Q$).
Oublier que la négation de $P \implies Q$ est $P \land \neg Q$ et non $\neg P \implies \neg Q$.
Penser que $P \implies Q$ est la même chose que $Q \implies P$ (la réciproque).

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Logique élémentaire et connecteurs logiques

1/4

Quelle est la négation de $P \land \neg Q$ ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce qu'une proposition peut être à la fois vraie et fausse ?

Non, en logique classique (celle du programme), une proposition suit le principe du tiers exclu : elle est soit vraie, soit fausse, et jamais les deux en même temps.

💡 À retenir : Une proposition est une valeur booléenne unique.

Chno hiya l'far9 bin l'implication o l'équivalence ?

L'implication ( $P \implies Q$ ) signifie que si $P$ est vrai, alors $Q$ est obligatoirement vrai. L'équivalence ( $P \iff Q$ ) signifie que $P$ et $Q$ sont indissociables : ils sont vrais ensemble ou faux ensemble.

💡 À retenir : L'équivalence est une double implication ( $P \implies Q$ et $Q \implies P$ ).

L'implication ($P \implies Q$) signifie que si $P$ est vrai, alors $Q$ est obligatoirement vrai. L'équivalence ($P \iff Q$) signifie que $P$ et $Q$ sont indissociables : ils sont vrais ensemble ou faux ensemble.

💡 À retenir : L'équivalence est une double implication ($P \implies Q$ et $Q \implies P$).

Comment démontrer qu'une implication est vraie ?

On suppose que $P$ est vraie.
On utilise des déductions logiques pour arriver à $Q$ .
Si on y arrive, l'implication est démontrée.

💡 À retenir : On ne cherche pas à savoir si $P$ est vraie dans l'absolu, on travaille "sous l'hypothèse" que $P$ est vraie.

On suppose que $P$ est vraie.
On utilise des déductions logiques pour arriver à $Q$.
Si on y arrive, l'implication est démontrée.

💡 À retenir : On ne cherche pas à savoir si $P$ est vraie dans l'absolu, on travaille "sous l'hypothèse" que $P$ est vraie.

Kifach n3ref wach l'expression logique tautologie ?

Il faut construire la table de vérité de l'expression. Si, dans la dernière colonne (celle du résultat final), tu ne trouves que des "V" (Vrai) pour toutes les combinaisons possibles de $P$ et $Q$ , alors c'est une tautologie.

💡 À retenir : Une tautologie est une vérité logique universelle.

La négation de "P et Q" est-elle "non P et non Q" ?

Non, c'est une erreur classique. La négation de $P \land Q$ est $\neg P \lor \neg Q$ (Loi de De Morgan).

💡 À retenir : Le "et" devient "ou" lors de la négation.

Non, c'est une erreur classique. La négation de $P \land Q$ est $\neg P \lor \neg Q$ (Loi de De Morgan).

💡 À retenir : Le "et" devient "ou" lors de la négation.

Wash l'implication P implies Q hiya bid-dabt neg P lor Q ?

Oui, exactement. Si tu fais la table de vérité de $\neg P \lor Q$ , tu verras qu'elle est identique à celle de $P \implies Q$ . C'est une équivalence très utile.

💡 À retenir : $P \implies Q \iff (\neg P \lor Q)$ .

Oui, exactement. Si tu fais la table de vérité de $\neg P \lor Q$, tu verras qu'elle est identique à celle de $P \implies Q$. C'est une équivalence très utile.

💡 À retenir : $P \implies Q \iff (\neg P \lor Q)$.

Qu'est-ce qu'une contraposée ?

C'est une méthode pour démontrer $P \implies Q$ en démontrant sa forme équivalente : $\neg Q \implies \neg P$ .

💡 À retenir : Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité.

C'est une méthode pour démontrer $P \implies Q$ en démontrant sa forme équivalente : $\neg Q \implies \neg P$.

💡 À retenir : Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité.

Peut-on utiliser un contre-exemple pour prouver qu'une implication est vraie ?

Non, le contre-exemple sert uniquement à prouver qu'une implication est fausse. Pour prouver qu'elle est vraie, il faut un raisonnement général.

💡 À retenir : Un seul contre-exemple suffit pour invalider une proposition universelle.

Est-ce que l'ordre des propositions change le résultat d'une conjonction ?

Non, $P \land Q$ est équivalent à $Q \land P$ . C'est la commutativité.

💡 À retenir : La conjonction et la disjonction sont commutatives.

Non, $P \land Q$ est équivalent à $Q \land P$. C'est la commutativité.

💡 À retenir : La conjonction et la disjonction sont commutatives.

Quand est-ce qu'on utilise le raisonnement par l'absurde ?

On l'utilise quand on n'arrive pas à démontrer $P$ directement. On suppose que $P$ est faux ( $\neg P$ ), et on cherche une contradiction logique (ex: $1=0$ ou $x \neq x$ ).

💡 À retenir : Si $\neg P$ mène à une absurdité, alors $P$ est nécessairement vrai.

On l'utilise quand on n'arrive pas à démontrer $P$ directement. On suppose que $P$ est faux ($\neg P$), et on cherche une contradiction logique (ex: $1=0$ ou $x \neq x$).

💡 À retenir : Si $\neg P$ mène à une absurdité, alors $P$ est nécessairement vrai.

Est-ce que la réciproque d'une implication est toujours vraie ?

Non, pas du tout. Par exemple, " $x=2 \implies x^2=4$ " est vraie, mais sa réciproque " $x^2=4 \implies x=2$ " est fausse (car $x$ peut être $-2$ ).

💡 À retenir : Une implication et sa réciproque n'ont pas forcément la même valeur.

Non, pas du tout. Par exemple, "$x=2 \implies x^2=4$" est vraie, mais sa réciproque "$x^2=4 \implies x=2$" est fausse (car $x$ peut être $-2$).

💡 À retenir : Une implication et sa réciproque n'ont pas forcément la même valeur.

Est-ce que "non (non P)" est égal à P ?

Oui, c'est le principe de la double négation. Nier une négation revient à affirmer la proposition initiale.

💡 À retenir : $\neg(\neg P) \iff P$ .

Oui, c'est le principe de la double négation. Nier une négation revient à affirmer la proposition initiale.

💡 À retenir : $\neg(\neg P) \iff P$.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $n \in \mathbb{Z}$ . Montrer par contraposée que : $n^2$ est pair $\implies n$ est pair.

Exercice 1

Soit $n \in \mathbb{Z}$. Montrer par contraposée que : $n^2$ est pair $\implies n$ est pair.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 2

Soient $P$ et $Q$ deux propositions. Montrer par une table de vérité que : $\neg(P \lor Q) \iff (\neg P \land \neg Q)$ .

Exercice 2

Soient $P$ et $Q$ deux propositions. Montrer par une table de vérité que : $\neg(P \lor Q) \iff (\neg P \land \neg Q)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

Exercice 3

Montrer que pour tous $P, Q, R$ : $P \land (Q \lor R) \iff (P \land Q) \lor (P \land R)$ .

Exercice 3

Montrer que pour tous $P, Q, R$ : $P \land (Q \lor R) \iff (P \land Q) \lor (P \land R)$.

Voir la correction détaillée : inscription gratuite

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