Logique et raisonnement · Prépa concours post-bac — ENA Architecture
Ensembles et opérations sur les ensembles
Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.
📘 Fiche de cours
L'essentiel du cours
Définition : Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On note $x \in E$ si $x$ appartient à $E$.
Inclusion : $A \subset B \iff (\forall x, x \in A \implies x \in B)$.
Opérations :
Intersection : $A \cap B = {x / x \in A \text{ et } x \in B}$.
Réunion : $A \cup B = {x / x \in A \text{ ou } x \in B}$.
Différence : $A \setminus B = {x / x \in A \text{ et } x \notin B}$.
Complémentaire : $\complement_E A = E \setminus A$.
Produit cartésien : $A \times B = {(x, y) / x \in A \text{ et } y \in B}$.
Ensemble des parties : $\mathcal{P}(E) = {A / A \subset E}$. Si $card(E) = n$, alors $card(\mathcal{P}(E)) = 2^n$.
Méthodes à maîtriser
Pour montrer $A = B$, montrer $A \subset B$ et $B \subset A$.
Pour montrer $A \subset B$, prendre un élément $x \in A$ et montrer qu'il est dans $B$.
Utiliser les diagrammes de Venn pour visualiser les opérations.
Appliquer les lois de Morgan : $\complement(A \cup B) = \complement A \cap \complement B$ et $\complement(A \cap B) = \complement A \cup \complement B$.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Montrer que $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$.
On montre l'inclusion dans les deux sens par équivalence logique.
Exemple 2 : Si $E = {1, 2}$, alors $\mathcal{P}(E) = {\emptyset, {1}, {2}, {1, 2}}$.
Erreurs fréquentes
Confondre $\in$ (élément) et $\subset$ (ensemble).
Oublier l'ensemble vide $\emptyset$ dans $\mathcal{P}(E)$.
Penser que $A \setminus B = B \setminus A$ (c'est faux en général).
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Non. L'ensemble vide est une partie de tout ensemble ($\emptyset \subset A$), mais il n'est un élément de $A$ que si $A$ contient explicitement l'ensemble vide comme élément.
💡 À retenir : $\emptyset \subset A$ est toujours vrai, mais $\emptyset \in A$ dépend de la définition de $A$.
Kifach n-biyen bli A = B ?
Pour montrer que deux ensembles sont égaux, il faut montrer la double inclusion :
Montrer que $A \subset B$ (tout élément de $A$ est dans $B$).
Montrer que $B \subset A$ (tout élément de $B$ est dans $A$).
💡 À retenir : L'égalité d'ensembles passe toujours par la double inclusion.
Quelle est la différence entre A setminus B et B setminus A ?
$A \setminus B$ contient les éléments qui sont dans $A$ mais pas dans $B$. $B \setminus A$ contient ceux qui sont dans $B$ mais pas dans $A$. Ils sont égaux seulement si $A=B$.
💡 À retenir : La différence n'est pas commutative.
Chno hiya mathcal{P}(E) exactement ?
C'est l'ensemble de toutes les parties (sous-ensembles) de $E$. Si $E={a, b}$, ses parties sont $\emptyset, {a}, {b}, {a, b}$. Donc $\mathcal{P}(E) = {\emptyset, {a}, {b}, {a, b}}$.
💡 À retenir : $\mathcal{P}(E)$ est un ensemble d'ensembles.
Est-ce que A times B = B times A ?
Non, car les éléments de $A \times B$ sont des couples $(a, b)$ avec $a \in A$ et $b \in B$, alors que ceux de $B \times A$ sont $(b, a)$ avec $b \in B$ et $a \in A$.
💡 À retenir : L'ordre dans le couple compte, donc $A \times B \neq B \times A$ sauf si $A=B$.
Kifach n-3ref cardinal dial mathcal{P}(E) ?
Si ton ensemble $E$ possède $n$ éléments, alors le nombre de parties de $E$ est toujours $2^n$.
💡 À retenir : $card(\mathcal{P}(E)) = 2^{card(E)}$.
Est-ce que A cup (B cap C) = (A cup B) cap (A cup C) ?
Oui, c'est la distributivité de la réunion par rapport à l'intersection. C'est une propriété fondamentale des ensembles.
💡 À retenir : La réunion et l'intersection sont distributives l'une par rapport à l'autre.
Si A subset B, que vaut A cup B ?
Si $A$ est inclus dans $B$, alors tous les éléments de $A$ sont déjà dans $B$. Donc $A \cup B = B$.
💡 À retenir : Si $A \subset B$, alors $A \cup B = B$ et $A \cap B = A$.
Comment démontrer que A cap B = emptyset ?
Tu supposes qu'il existe un élément $x$ tel que $x \in A \cap B$, et tu cherches à aboutir à une contradiction (par exemple $x \neq x$ ou une condition impossible).
💡 À retenir : Si l'intersection est vide, les ensembles sont dits disjoints.
Est-ce que (A setminus B) cup B = A ?
Non, c'est faux. Cela donne $A \cup B$. Pour obtenir $A$, il faut que $B \subset A$.
💡 À retenir : Attention aux propriétés de la différence, elles sont souvent contre-intuitives.
C'est quoi le complémentaire de A cap B ?
D'après les lois de Morgan, le complémentaire de $A \cap B$ est $\complement A \cup \complement B$.
💡 À retenir : Le complémentaire transforme l'intersection en réunion et inversement.
Est-ce que l'ensemble vide est inclus dans lui-même ?
Oui, l'ensemble vide est une partie de tout ensemble, y compris de lui-même. $\emptyset \subset \emptyset$ est vrai.
💡 À retenir : L'inclusion est réflexive.
✍️ Exercices type examen national
Exercice 1
Soit $E = {1, 2, 3}$. Déterminer $\mathcal{P}(E)$ et vérifier que son cardinal est $2^3$.
Définition : Un ensemble est une collection d'objets appelés éléments. On note x∈E si x appartient à E.
Inclusion : A⊂B⟺(∀x,x∈A⟹x∈B).
Opérations :
Intersection : A∩B={x/x∈A et x∈B}.
Réunion : A∪B={x/x∈A ou x∈B}.
Différence : A∖B={x/x∈A et x∈/B}.
Complémentaire : ∁EA=E∖A.
Produit cartésien : A×B={(x,y)/x∈A et y∈B}.
Ensemble des parties : P(E)={A/A⊂E}. Si card(E)=n, alors card(P(E))=2n.
Méthodes à maîtriser
Pour montrer A=B, montrer A⊂B et B⊂A.
Pour montrer A⊂B, prendre un élément x∈A et montrer qu'il est dans B.
Utiliser les diagrammes de Venn pour visualiser les opérations.
Appliquer les lois de Morgan : ∁(A∪B)=∁A∩∁B et ∁(A∩B)=∁A∪∁B.
Exemples corrigés
Exemple 1 : Montrer que A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
On montre l'inclusion dans les deux sens par équivalence logique.
Exemple 2 : Si E={1,2}, alors P(E)={∅,{1},{2},{1,2}}.
Erreurs fréquentes
Confondre ∈ (élément) et ⊂ (ensemble).
Oublier l'ensemble vide ∅ dans P(E).
Penser que A∖B=B∖A (c'est faux en général).
Si A⊂B, alors A∩B est égal à :
Non. L'ensemble vide est une partie de tout ensemble (∅⊂A), mais il n'est un élément de A que si A contient explicitement l'ensemble vide comme élément.
💡 À retenir : ∅⊂A est toujours vrai, mais ∅∈A dépend de la définition de A.
Pour montrer que deux ensembles sont égaux, il faut montrer la double inclusion :
Montrer que A⊂B (tout élément de A est dans B).
Montrer que B⊂A (tout élément de B est dans A).
💡 À retenir : L'égalité d'ensembles passe toujours par la double inclusion.
A∖B contient les éléments qui sont dans A mais pas dans B. B∖A contient ceux qui sont dans B mais pas dans A. Ils sont égaux seulement si A=B.
💡 À retenir : La différence n'est pas commutative.
C'est l'ensemble de toutes les parties (sous-ensembles) de E. Si E={a,b}, ses parties sont ∅,{a},{b},{a,b}. Donc P(E)={∅,{a},{b},{a,b}}.
💡 À retenir : P(E) est un ensemble d'ensembles.
Non, car les éléments de A×B sont des couples (a,b) avec a∈A et b∈B, alors que ceux de B×A sont (b,a) avec b∈B et a∈A.
💡 À retenir : L'ordre dans le couple compte, donc A×B=B×A sauf si A=B.
Si ton ensemble E possède n éléments, alors le nombre de parties de E est toujours 2n.
💡 À retenir : card(P(E))=2card(E).
Si A est inclus dans B, alors tous les éléments de A sont déjà dans B. Donc A∪B=B.
💡 À retenir : Si A⊂B, alors A∪B=B et A∩B=A.
Tu supposes qu'il existe un élément x tel que x∈A∩B, et tu cherches à aboutir à une contradiction (par exemple x=x ou une condition impossible).
💡 À retenir : Si l'intersection est vide, les ensembles sont dits disjoints.
Non, c'est faux. Cela donne A∪B. Pour obtenir A, il faut que B⊂A.
💡 À retenir : Attention aux propriétés de la différence, elles sont souvent contre-intuitives.
D'après les lois de Morgan, le complémentaire de A∩B est ∁A∪∁B.
💡 À retenir : Le complémentaire transforme l'intersection en réunion et inversement.
Oui, l'ensemble vide est une partie de tout ensemble, y compris de lui-même. ∅⊂∅ est vrai.
💡 À retenir : L'inclusion est réflexive.
Exercice 1
Soit E={1,2,3}. Déterminer P(E) et vérifier que son cardinal est 23.
Exercice 2
Soient A et B deux parties d'un ensemble E. Montrer que A∖B=A∩∁EB.
Exercice 3
Soient A,B,C trois parties de E. Montrer que A∩(B∖C)=(A∩B)∖(A∩C).