Logique et raisonnement · Prépa concours post-bac — ENA Architecture

Analyse combinatoire et dénombrement

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Cardinal : Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$ est noté $card(E)$ .
Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, avec $n_1, n_2, ..., n_k$ choix possibles, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_k$ .
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$ .
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$ .
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ (sans ordre) : $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$ .

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise $A_n^p$ ou $n^p$ . S'il ne compte pas, on utilise $C_n^p$ .
Tirages :
- Simultané : $C_n^p$ .
- Successif sans remise : $A_n^p$ .
- Successif avec remise : $n^p$ .
Le complémentaire : Parfois, il est plus facile de calculer le nombre de cas contraires : $card(A) = card(E) - card(\bar{A})$ .

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir un bureau de 3 personnes parmi 10 élèves : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ .
Exemple 2 : Nombre de mots de 3 lettres distinctes parmi 26 : $A_{26}^3 = 26 \times 25 \times 24 = 15600$ .

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est toujours plus petit car on divise par $p!$ .
Oublier que $0! = 1$ .
Mal définir l'univers $E$ lors d'un tirage.

L'essentiel du cours

Cardinal : Le nombre d'éléments d'un ensemble fini $E$ est noté $card(E)$.
Principe multiplicatif : Si une expérience se déroule en $k$ étapes, avec $n_1, n_2, ..., n_k$ choix possibles, le nombre total est $n_1 \times n_2 \times ... \times n_k$.
Permutations : Nombre de façons d'ordonner $n$ éléments : $n! = n \times (n-1) \times ... \times 1$.
Arrangements : Nombre de façons de choisir et ordonner $p$ éléments parmi $n$ : $A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}$.
Combinaisons : Nombre de façons de choisir $p$ éléments parmi $n$ (sans ordre) : $C_n^p = \binom{n}{p} = \frac{n!}{p!(n-p)!}$.

Méthodes à maîtriser

Identifier l'ordre : Si l'ordre compte, on utilise $A_n^p$ ou $n^p$. S'il ne compte pas, on utilise $C_n^p$.
Tirages :
- Simultané : $C_n^p$.
- Successif sans remise : $A_n^p$.
- Successif avec remise : $n^p$.
Le complémentaire : Parfois, il est plus facile de calculer le nombre de cas contraires : $card(A) = card(E) - card(\bar{A})$.

Exemples corrigés

Exemple 1 : Nombre de façons de choisir un bureau de 3 personnes parmi 10 élèves : $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
Exemple 2 : Nombre de mots de 3 lettres distinctes parmi 26 : $A_{26}^3 = 26 \times 25 \times 24 = 15600$.

Erreurs fréquentes

Confondre $A_n^p$ et $C_n^p$ : Rappelez-vous que $C_n^p$ est toujours plus petit car on divise par $p!$.
Oublier que $0! = 1$.
Mal définir l'univers $E$ lors d'un tirage.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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Défi flash : 4 questions

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🎯 Analyse combinatoire et dénombrement

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Combien de façons de ranger 4 livres sur une étagère ?

❓ Questions fréquentes

Est-ce que Cn^p peut être nul ?

Oui, si $p > n$ . Tu ne peux pas choisir 5 objets dans un ensemble qui n'en contient que 3.

💡 À retenir : $C_n^p = 0$ si $p > n$ .

Oui, si $p > n$. Tu ne peux pas choisir 5 objets dans un ensemble qui n'en contient que 3.

💡 À retenir : $C_n^p = 0$ si $p > n$.

Qu'est-ce qu'une permutation ?

C'est le nombre de façons d'ordonner tous les éléments d'un ensemble. Si tu as $n$ objets, tu as $n!$ façons de les ranger.

💡 À retenir : Une permutation est un arrangement de $n$ éléments parmi $n$ .

C'est le nombre de façons d'ordonner tous les éléments d'un ensemble. Si tu as $n$ objets, tu as $n!$ façons de les ranger.

💡 À retenir : Une permutation est un arrangement de $n$ éléments parmi $n$.

Kifach n3ref wach nst3mel An^p wla Cn^p ?

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si oui (ex: podium, code secret), utilise $A_n^p$ .
Si non (ex: équipe, main de cartes), utilise $C_n^p$ .

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre indifférent = Combinaison.

Pose-toi la question : "Est-ce que l'ordre des éléments choisis change le résultat ?"
Si oui (ex: podium, code secret), utilise $A_n^p$.
Si non (ex: équipe, main de cartes), utilise $C_n^p$.

💡 À retenir : Ordre important = Arrangement ; Ordre indifférent = Combinaison.

Chno hiya lfar9 bin tirage avec remise w sans remise ?

Avec remise : Après chaque tirage, tu remets l'objet dans l'urne. Le nombre de choix reste constant ( $n$ choix à chaque fois).
Sans remise : L'objet tiré n'est pas remis. Le nombre de choix diminue à chaque étape ( $n, n-1, n-2...$ ).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ( $n^p$ ) ; Sans remise = factorielle ou arrangement.

Avec remise : Après chaque tirage, tu remets l'objet dans l'urne. Le nombre de choix reste constant ($n$ choix à chaque fois).
Sans remise : L'objet tiré n'est pas remis. Le nombre de choix diminue à chaque étape ($n, n-1, n-2...$).

💡 À retenir : Avec remise = puissance ($n^p$) ; Sans remise = factorielle ou arrangement.

Kifach n7seb Cn^p ila kan n kbir bzaf ?

Utilise la formule de symétrie : $C_n^p = C_n^{n-p}$ .
Si $p$ est proche de $n$ , calcule $C_n^{n-p}$ qui sera beaucoup plus simple.
Exemple : $C_{100}^{98} = C_{100}^2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$ .

💡 À retenir : La symétrie est ton alliée pour simplifier les calculs.

Utilise la formule de symétrie : $C_n^p = C_n^{n-p}$.
Si $p$ est proche de $n$, calcule $C_n^{n-p}$ qui sera beaucoup plus simple.
Exemple : $C_{100}^{98} = C_{100}^2 = \frac{100 \times 99}{2} = 4950$.

💡 À retenir : La symétrie est ton alliée pour simplifier les calculs.

Comment calculer le nombre de parties d'un ensemble ?

Si un ensemble a $n$ éléments, le nombre de ses parties (l'ensemble des parties) est $2^n$ .

💡 À retenir : Chaque élément a deux choix : être dans la partie ou ne pas y être.

Si un ensemble a $n$ éléments, le nombre de ses parties (l'ensemble des parties) est $2^n$.

💡 À retenir : Chaque élément a deux choix : être dans la partie ou ne pas y être.

Pourquoi 0! = 1 ?

Par convention mathématique pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{0!} = n!$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : $0!$ est toujours égal à 1.

Par convention mathématique pour que les formules comme $A_n^n = \frac{n!}{0!} = n!$ fonctionnent correctement.

💡 À retenir : $0!$ est toujours égal à 1.

Est-ce que l'ordre compte dans un tirage simultané ?

Non, car on prend tout en même temps. C'est comme si on prenait les objets un par un sans regarder l'ordre.

💡 À retenir : Tirage simultané = Combinaison ( $C_n^p$ ).

Non, car on prend tout en même temps. C'est comme si on prenait les objets un par un sans regarder l'ordre.

💡 À retenir : Tirage simultané = Combinaison ($C_n^p$).

Comment gérer les contraintes (ex: "il doit y avoir au moins une fille") ?

Calcule le nombre total de cas.
Calcule le nombre de cas contraires (ex: "aucune fille", donc "que des garçons").
Soustrais le contraire du total.

💡 À retenir : Passer par le complémentaire simplifie souvent le problème.

Peut-on utiliser An^p pour des tirages avec remise ?

Non, $A_n^p$ est strictement pour les tirages sans remise. Avec remise, on utilise le principe multiplicatif : $n \times n \times ... \times n = n^p$ .

💡 À retenir : Remise = Puissance ; Sans remise = Arrangement.

Non, $A_n^p$ est strictement pour les tirages sans remise. Avec remise, on utilise le principe multiplicatif : $n \times n \times ... \times n = n^p$.

💡 À retenir : Remise = Puissance ; Sans remise = Arrangement.

C'est quoi un arrangement avec répétition ?

C'est le cas où chaque élément peut être choisi plusieurs fois. Pour $p$ places, on a $n$ choix pour chaque place, soit $n^p$ .

💡 À retenir : C'est le principe multiplicatif appliqué aux tirages avec remise.

C'est le cas où chaque élément peut être choisi plusieurs fois. Pour $p$ places, on a $n$ choix pour chaque place, soit $n^p$.

💡 À retenir : C'est le principe multiplicatif appliqué aux tirages avec remise.

Est-ce que la formule Cn^p = frac{n!}{p!(n-p)!} est toujours vraie ?

Oui, pour tout entier $n \geq p \geq 0$ . Elle est fondamentale pour tout le chapitre.

💡 À retenir : Apprends cette formule par cœur.

Oui, pour tout entier $n \geq p \geq 0$. Elle est fondamentale pour tout le chapitre.

💡 À retenir : Apprends cette formule par cœur.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Un sac contient 8 jetons : 5 rouges et 3 bleus. On tire simultanément 3 jetons.

Combien y a-t-il de tirages possibles ?
Combien de tirages contiennent exactement 2 jetons rouges ?

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Exercice 2

On veut former un code de 4 chiffres en utilisant les chiffres de 0 à 9.

Combien de codes possibles si les chiffres peuvent se répéter ?
Combien de codes possibles si les chiffres sont distincts ?

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Exercice 3

Dans une classe de 20 élèves, on veut élire un président, un secrétaire et un trésorier.

Combien de bureaux différents peut-on former ?
Si le président doit être une fille (il y a 12 filles et 8 garçons), combien de bureaux sont possibles ?

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