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Limites, continuité et dérivabilité

Le cours expliqué simplement, les questions que tous les élèves se posent et des exercices type examen national. Programme marocain, gratuit.

📘 Fiche de cours

L'essentiel du cours

Limite : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$ .
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ .
Dérivabilité : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ existe et est finie.
TVR : Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$ .

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser les formes indéterminées (FI) : factorisation, conjugaison, ou taux d'accroissement.
Étude de continuité : Vérifier la limite à gauche, à droite et la valeur en $a$ .
Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
TVR : Utiliser pour montrer l'existence de solutions à $f(x) = 0$ .

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ .
Dérivée : $(x^n)' = nx^{n-1}$ .
Continuité : $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVR.
Confondre la dérivabilité en un point et la dérivabilité sur un intervalle.
Mal gérer les signes lors de l'étude du signe de la dérivée.

L'essentiel du cours

Limite : $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ signifie que $f(x)$ se rapproche de $\ell$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Continuité : $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Dérivabilité : $f$ est dérivable en $a$ si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ existe et est finie.
TVR : Si $f$ est continue sur $[a, b]$, alors pour tout $y$ entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = y$.

Méthodes à maîtriser

Calcul de limites : Utiliser les formes indéterminées (FI) : factorisation, conjugaison, ou taux d'accroissement.
Étude de continuité : Vérifier la limite à gauche, à droite et la valeur en $a$.
Étude de dérivabilité : Calculer la limite du taux d'accroissement.
TVR : Utiliser pour montrer l'existence de solutions à $f(x) = 0$.

Exemples corrigés

Limite : $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$.
Dérivée : $(x^n)' = nx^{n-1}$.
Continuité : $f(x) = x^2$ est continue sur $\mathbb{R}$ car c'est une fonction polynôme.

Erreurs fréquentes

Oublier de vérifier la continuité avant d'appliquer le TVR.
Confondre la dérivabilité en un point et la dérivabilité sur un intervalle.
Mal gérer les signes lors de l'étude du signe de la dérivée.

🌉 Jisr : les mots du chapitre FR ⇄ AR

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🎯 Limites, continuité et dérivabilité

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La limite $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}$ est égale à :

❓ Questions fréquentes

Kifach n3ref wach l-founction moustamira f-chi no9ta?

Pour vérifier la continuité en $a$ :

Calcule $f(a)$ .
Calcule $\lim_{x \to a^+} f(x)$ et $\lim_{x \to a^-} f(x)$ .
Si les deux limites sont égales à $f(a)$ , alors $f$ est continue en $a$ .

💡 À retenir : La limite doit exister et être égale à l'image.

Pour vérifier la continuité en $a$ :

Calcule $f(a)$.
Calcule $\lim_{x \to a^+} f(x)$ et $\lim_{x \to a^-} f(x)$.
Si les deux limites sont égales à $f(a)$, alors $f$ est continue en $a$.

💡 À retenir : La limite doit exister et être égale à l'image.

Chno hiya l-far9 bin l-i7ti9a9 w-l-itisal?

L'itisal (continuité) signifie que la courbe est tracée sans lever le stylo.
L'i7ti9a9 (dérivabilité) est plus fort : la courbe doit être continue ET ne pas avoir de "pointe" (angle).

💡 À retenir : Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ , mais la réciproque est fausse.

L'itisal (continuité) signifie que la courbe est tracée sans lever le stylo.
L'i7ti9a9 (dérivabilité) est plus fort : la courbe doit être continue ET ne pas avoir de "pointe" (angle).

💡 À retenir : Toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$, mais la réciproque est fausse.

Kifach n7seb l-mou3adal dyal t-taghyour?

Le taux d'accroissement entre deux points $a$ et $x$ est la formule : $\tau = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ .

Remplace $f(x)$ et $f(a)$ par leurs expressions.
Simplifie par $(x-a)$ .
Calcule la limite quand $x \to a$ .

💡 À retenir : C'est la base pour définir le nombre dérivé.

Le taux d'accroissement entre deux points $a$ et $x$ est la formule : $\tau = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.

Remplace $f(x)$ et $f(a)$ par leurs expressions.
Simplifie par $(x-a)$.
Calcule la limite quand $x \to a$.

💡 À retenir : C'est la base pour définir le nombre dérivé.

Comment lever une indétermination du type infty - infty ?

Factorise par le terme de plus haut degré.
Si ce sont des racines carrées, utilise la quantité conjuguée.
Simplifie les expressions pour faire apparaître des limites usuelles.

💡 À retenir : Ne jamais conclure directement sans transformer l'expression.

Qu'est-ce qu'un prolongement par continuité ?

Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$ , on définit une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x)=f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a)=\ell$ .

💡 À retenir : Cela permet de "boucher le trou" dans la courbe.

Si $f$ n'est pas définie en $a$ mais que $\lim_{x \to a} f(x) = \ell$, on définit une nouvelle fonction $g$ telle que $g(x)=f(x)$ pour $x \neq a$ et $g(a)=\ell$.

💡 À retenir : Cela permet de "boucher le trou" dans la courbe.

Quelle est la condition pour appliquer le TVR ?

La fonction doit être strictement continue sur l'intervalle $[a, b]$ .

💡 À retenir : La continuité est indispensable, sinon le théorème ne s'applique pas.

La fonction doit être strictement continue sur l'intervalle $[a, b]$.

💡 À retenir : La continuité est indispensable, sinon le théorème ne s'applique pas.

Comment montrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle ?

Vérifie si elle est composée de fonctions usuelles dérivables (polynômes, sinus, cosinus, etc.).
Vérifie que le dénominateur ne s'annule pas sur l'intervalle.

💡 À retenir : Les opérations sur les fonctions dérivables conservent la dérivabilité.

Quelle est la relation entre le signe de f' et les variations de f ?

Si $f'(x) > 0$ , alors $f$ est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$ , alors $f$ est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$ , alors $f$ admet un extremum local.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Si $f'(x) > 0$, alors $f$ est strictement croissante.
Si $f'(x) < 0$, alors $f$ est strictement décroissante.
Si $f'(x) = 0$, alors $f$ admet un extremum local.

💡 À retenir : Le signe de la dérivée donne le sens de variation.

Comment trouver l'équation de la tangente ?

La formule est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ .

Calcule $f(a)$ .
Calcule $f'(a)$ .
Remplace dans la formule.

💡 À retenir : C'est la droite qui "colle" le mieux à la courbe au point $a$ .

La formule est : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

Calcule $f(a)$.
Calcule $f'(a)$.
Remplace dans la formule.

💡 À retenir : C'est la droite qui "colle" le mieux à la courbe au point $a$.

Peut-on dériver une fonction en un point où elle n'est pas continue ?

Non, c'est impossible. La dérivabilité implique la continuité.

💡 À retenir : Si elle n'est pas continue, elle n'est pas dérivable.

Qu'est-ce qu'une asymptote oblique ?

C'est une droite $y = ax + b$ telle que $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax + b)) = 0$ .

💡 À retenir : La courbe se rapproche de la droite à l'infini.

C'est une droite $y = ax + b$ telle que $\lim_{x \to \infty} (f(x) - (ax + b)) = 0$.

💡 À retenir : La courbe se rapproche de la droite à l'infini.

Comment étudier la concavité ?

Il faut étudier le signe de la dérivée seconde $f''(x)$ .

Si $f''(x) > 0$ , la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$ , la courbe est concave (tournée vers le bas).

💡 À retenir : Le point où $f''$ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion.

Il faut étudier le signe de la dérivée seconde $f''(x)$.

Si $f''(x) > 0$, la courbe est convexe (tournée vers le haut).
Si $f''(x) < 0$, la courbe est concave (tournée vers le bas).

💡 À retenir : Le point où $f''$ s'annule en changeant de signe est un point d'inflexion.

✍️ Exercices type examen national

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$ .

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$ .
Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 1$ .

Exercice 1

Soit $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$ pour $x \neq 1$ et $f(1) = 2$.

Étudier la continuité de $f$ en $x_0 = 1$.
Étudier la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 1$.

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Exercice 2

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $[0, 1]$ .

Exercice 2

Montrer que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une unique solution dans $[0, 1]$.

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Exercice 3

Déterminer l'équation de la tangente à $f(x) = \sqrt{x}$ au point $a = 4$ .

Exercice 3

Déterminer l'équation de la tangente à $f(x) = \sqrt{x}$ au point $a = 4$.

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